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单击此处编辑母版文本样式,返回导航,高考总复习,数学,(,文,),第七章立体几何,立体几何,第 七 章,第,40,讲直线、平面垂直的判定及其性质,考纲要求,考情分析,命题趋势,1.,能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理,2,能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题,.,2017,全国卷,，,18,2017,全国卷,，,19,2017,江苏卷，,15,2017,浙江卷，,19,与直线、平面垂直有关的命题判断；线线、线面、面面垂直的证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置,.,分值：,5,6,分,板 块 一,板 块 二,板 块 三,栏目导航,1,直线与平面垂直,(1),直线和平面垂直的定义,如果一条直线,l,与平面,内的,_,直线都垂直，就说直线,l,与平面,互相垂直,任意一条,(2),判定定理和性质定理,两条相交直线,a,，,b,a,b,O,l,a,l,b,平行,a,b,2,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的定义,两个平面相交，如果它们所成的二面角是,_,，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2),判定定理和性质定理,垂线,l,l,交线,l,a,l,a,1思维辨析(在括号内打“或“),(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，那么l.(),(2)过一点作直线的垂面有且只有一个(),(3)假设两条直线垂直，那么这两条直线相交(),(4)假设两平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面,(),(5)假设平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么.(),解析(1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l.,(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直,(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面,(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线,(5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直,2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，那么“是“ab的(),A充分不必要条件,B必要不充分条件,C充要条件,D既不充分也不必要条件,解析由面面垂直的性质定理可知，当时，b.,又因为a，那么ab，如果am，ab，不能得到，,故“是“ab的充分不必要条件应选A,A,3m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是(),A，且mB，且m,Cmn，且nDmn，n，且,C,4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，那么一定互相垂直的平面有_对,解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，,平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC，,平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7对,7,5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.,(1)假设PAPBPC，那么点O是ABC的_心；,(2)假设PAPB，PBPC，PCPA，那么点O是ABC的_心,解析(1)假设PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC，,故O是ABC的外心,(2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，那么PABC.,又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，那么AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心,外,垂,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质,(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直那么需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的根本思想,(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直,一直线与平面垂直的判定与性质,【例1】(2021天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.,(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；,(2)求证：PD平面PBC；,(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值,二平面与平面垂直的判定与性质,(1)判定面面垂直的方法：,面面垂直的定义；,面面垂直的判定定理(a，a),(2)在平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,三垂直关系中的探索性问题,解决垂直关系中的探索性问题的方法,同“平行关系中的探索性问题的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明,【例3】如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.,(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；,(2)假设EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？假设存在，请确定点G的位置；假设不存在，请说明理由,1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面(),A假设mn，n，那么m,B假设m，那么m,C假设m，n，n，那么m,D假设mn，n，那么m,解析对于A，B，D项，均能举出m的反例；对于C项，假设m，n，那么mn，又n，m.应选C,C,2如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：,BDAC；,BAC是等边三角形；,三棱锥DABC是正三棱锥；,平面ADC平面ABC.,其中正确的选项是(),A BCD,解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错误应选B,B,3,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AB,AD,AC,CD,，,ABC,60,，,PA,AB,BC,，,E,是,PC,的中点,证明：,(1),CD,AE,；,(2),PD,平面,ABE,.,证明,(1),在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,CD,平面,ABCD,，,PA,CD,.,AC,CD,，,PA,AC,A,，,CD,平面,PAC,，,而,AE,平面,PAC,，,CD,AE,.,(2),由,PA,AB,BC,，,ABC,60,，可得,AC,PA,.,E,是,PC,的中点，,AE,PC,.,由,(1),知,AE,CD,，且,PC,CD,C,，,AE,平面,PCD,.,而,PD,平面,PCD,，,AE,PD,.,PA,底面,ABCD,，,PA,AB,.,又,AB,AD,且,PA,AD,A,，,AB,平面,PAD,，而,PD,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,AB,AE,A,，,PD,平面,ABE,.,4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点,(1)求证：CD平面SAD；,(2)求证：PQ平面SCD；,(3)假设SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论,解析(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.,又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，,所以CD平面SAD.,(3),存在点,N,为,SC,的中点，使得平面,DMN,平面,ABCD,.,连接,PC,，,DM,交于点,O,，连接,PM,，,SP,，,NM,，,ND,，,NO,.,因为,PD,CM,，且,PD,CM,，,所以四边形,PMCD,为平行四边形，,所以,PO,CO,.,又因为,N,为,SC,的中点，所以,NO,SP,.,易知,SP,AD,，,因为平面,SAD,平面,ABCD,，平面,SAD,平面,ABCD,AD,，且,SP,AD,，,所以,SP,平面,ABCD,，所以,NO,平面,ABCD,.,又因为,NO,平面,DMN,，所以平面,DMN,平面,ABCD,.,错因分析：当中给出了线面垂直，求证的是线线平行时，假设忽略线面垂直的性质定理，那么觉得论证无从下手，从而造成解题困难,易错点使用线面垂直的性质进行判定时犯错,【,例,1】,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,M,，,N,分别在,BD,，,B,1,C,上，且,MN,BD,MN,B,1,C,，求证：,MN,AC,1,.,证明,连接,A,1,D,，,A,1,B,，,AC,.,MN,B,1,C,，,B,1,C,A,1,D,，,MN,A,1,D,.,又,MN,BD,，,BD,A,1,D,D,，,MN,平面,A,1,BD,.,CC,1,底面,ABCD,，,CC,1,BD,.,又,BD,AC,，,AC,CC,1,C,，,BD,平面,ACC,1,.,BD,AC,1,.,同理,AC,1,A,1,B,.,又,A,1,B,BD,B,，,AC,1,平面,A,1,BD,.,又,MN,平面,A,1,BD,，,MN,AC,1,.,【跟踪训练1】(2021全国卷)如图，正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.,(1)证明：G是AB的中点；,(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积,解析(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.,又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.,又由可得，PAPB，从而G是AB的中点,
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