建立方程定解条件课件

上页,下页,返回,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,建立方程、定解条件,方程的导出,定解条件和定解问题,变分原理,分离变量法,1 建立方程、定解条件方程的导出,1,1.,方程的导出,本章研究,调和方程,（又称,拉普拉斯方程,）,以及,泊松方程,的基本定解问题及解的性质。,(1.1),(1.2),1.方程的导出 本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）以及泊松,2,(1),引力位势,(1)引力位势,3,经计算可得：,直接计算可得：,还可进一步验证：,经计算可得：直接计算可得：还可进一步验证：,4,(2),静电场的电位势,应用高斯公式，上式可改写为：,(2)静电场的电位势 应用高斯公式，上式可改写为：,5,由区域,G,的任意性得：,静电场方程,由于静电场是无旋场，因而存在电势,u,，,从而静电场的电势,u,应当满足,泊松方程,如果静电场的某一区域里没有电荷，即,=0,，则,静电场方程在该区域上简化为,拉普拉斯方程,由区域G的任意性得：静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电,6,(3),稳定温度分布,(3)稳定温度分布,7,2.,定解条件和定解问题,(1),第一边值问题（,Dirichlet,问题）,(2),第二边值问题（,Neumann,问题）,2.定解条件和定解问题(1)第一边值问题（Dirichle,8,(3)Dirichlet,外问题,(4)Neumann,外问题,注,：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：,(3)Dirichlet外问题(4)Neumann外问,9,其它边界条件,(5),第三类边界条件,(6),等值面边界条件,（总流量边界条件）,其它边界条件(5)第三类边界条件(6)等值面边界条件,10,3.,变分原理,膜的平衡问题,：,3.变分原理膜的平衡问题：,11,建立方程定解条件课件,12,外力作功,总位能,应变能,外力作功总位能应变能,13,即：,即：,14,(1),问题,2,的解答：,(1)问题2的解答：,15,建立方程定解条件课件,16,建立方程定解条件课件,17,(3),(3),18,(5),(4),即,(5)(4)即,19,建立方程定解条件课件,20,4.,分离变量法求解,Laplace,方程,(1),矩形区域上,Laplace,方程的第一边值问题,代入方程,(1),得：,分离变量：,4.分离变量法求解Laplace方程(1)矩形区域上Lap,21,由此得,X,，,Y,满足得常微分方程,：,由边界条件,(2),知：,得固有值问题：,解之得：,由此得 X，Y 满足得常微分方程：由边界条件(2)知：得固有,22,通解为,其中,A,k,，,B,k,为任意常数。,因此,是满足方程,(1),和边界条件,(2),的解,。,通解为其中Ak，Bk为任意常数。因此 是满足方程(1)和边界,23,叠加所有的,U,k,，,即,代入边界条件,(3),，,得,：,叠加所有的Uk，即 代入边界条件(3)，得：,24,由傅里叶正弦展式的系数公式得,解得：,由傅里叶正弦展式的系数公式得解得：,25,(2),圆形区域上,Laplace,方程的第一边值问题,(2)圆形区域上Laplace方程的第一边值问题,26,(3),(4),即：,(3)(4)即：,27,由此得,R,，,满足得常微分方程,：,由周期性条件,(4),得,:,固有值问题的讨论,：,得固有值问题：,(5),由此得 R，满足得常微分方程：由周期性条件(4)得:固有,28,(6),(6),29,因此,是满足方程,(1),和自然边界条件,(3),以及周期性条件,(4),的解,。,由叠加原理，满足,(1)(3)(4),的解可表为：,因此 是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件由叠,30,代入边界条件,(2),得：,故,代入边界条件(2)得：故,31,代入级数得：,证明,代入级数得：证明,32,建立方程定解条件课件,33,(3),圆形区域上热传导方程的混合问题,(3)圆形区域上热传导方程的混合问题,34,即：,于是有：,由,(2),知：,另有自然边界条件：,即：于是有：由(2)知：另有自然边界条件：,35,得偏微分方程,固有值问题：,即：,得偏微分方程即：,36,于是：,于是：,37,建立方程定解条件课件,38,