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返回,后页,前页,3,收敛定理的证明,本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先,证明两个预备定理.,预备定理1,(,贝塞尔(Bessel)不等式,),若函数,f,在,上可积,则,为,其中,的傅里叶系数.,(1),式称为贝塞尔不等,式.,返回,3 收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,证,令,考察积分,由于,证 令考察积分由于,根据傅里叶系数公式,(1(10),可得,对于,的积分.应用三角函数的正交性,有,根据傅里叶系数公式(1(10)可得对于的积分.应用三角函,将,(3),(4),代入,(2),，可得,因而,将(3),(4)代入(2)，可得因而,它对任何正整数,m,成立.而,为有限值,所以正项级数,的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式,(1),成立.,它对任何正整数m成立.而 为有限值,所以正项级数的部分,推论1,若,f,为可积函数,则,因为(1)的左边级数收敛,所以当,时,通项,亦即有,与,这就是,(5),式,这个推论称为,黎曼,勒贝格定理,.,推论,2,若,f,为可积函数,则,推论1 若 f 为可积函数,则 因为(1,证,由于,所以,证 由于 所以,其中,其中,式右端两项积分的极限在,时都等于零.所以,左边的极限为零.,同样可以证明,上可积,则它的傅里叶级数的部分和,可写成,显见 与 和,f,一样在 上可积.由推论,1,(7),预备定理2,若,是以,2,为周期的函数,且在,式右端两项积分的极限在 时都等于零.所以 左边的极限为,当,t,=,0,时,被积函数中的不定式由极限,来确定.,当 t=0 时,被积函数中的不定式由极限 来确定.,证,在傅里叶级数部分和,中,用傅里叶系数公式代入,可得,证 在傅里叶级数部分和中,用傅里叶系数公式代入,可得,令,得,因此在,上的积分等于,上的积,分,再由第十二章,3 的(21),式,即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为,的函数,令,得 因此在上的积分等于上的积 分,再由第十二章3,这就得到,(8),式也称为,f,的,傅里叶级数部分和的积分表达式,.,这就得到(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.,现在证明定理,15.3,(收敛定理).重新叙述如下:,光滑,则在每一点,的傅里叶级数收敛,于,f,在点,x,的左、右极限的算术平均值,即,其中,为,的傅里叶系数.,定理15.3,若以 为周期的函数,在,上按段,现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:光滑,则,证,只要证明在每一点,x,处下述极限成立:,即,或证明同时,有,证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:即或证明同时有,与,先证明,(10),式.对,(9),式积分后得到,与先证明(10)式.对(9)式积分后得到,由于上式左边为偶函数,因此两边乘以,后,又得到,由于上式左边为偶函数,因此两边乘以后 又得到,从而,(10),式可改写为,令,从而(10)式可改写为令,由,1,(13),式得到,则函数,在点,再令,右连续.,因,为,在 上至多只有有限个第一类间断点,所以 在 上可积.根据预备定理,1,和推论,2,由1,(13)式得到 则函数在点再令右连续.,这就证得,(12),式成立,从而,(10),式成立.,用同样方法可证,(11),也成立.,这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.用同样方法可,
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