常微分方程数值解法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Numerical Analysis,*,第九章 常微分方程初值问题数值解法,数值分析,2024/11/13,1,Numerical Analysis,第九章 常微分方程初值问题数值解法数值分析2023/10,本章内容,简单的数值方法,欧拉法与后退欧拉法,梯形方法,改进欧拉公式,单步法的局部截断误差与阶,龙格-库塔方法,显式龙格-库塔法的一般形式,二阶显式,R-K,方法,三阶与四阶显式,R-K,方法,2024/11/13,2,Numerical Analysis,本章内容简单的数值方法2023/10/82Numerical,9.1 引 言,科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题.这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的,一阶方程的初值问题,我们知道，只有,f,(,x,y,),适当光滑譬如关于,y,满足,利普希茨(,Lipschitz),条件,理论上就可以保证初值问题的解,y,f,(,x,),存在并且唯一.,2024/11/13,3,Numerical Analysis,9.1 引 言 科学技术中常常需要,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.,所谓,数值解法,就是寻求解,y,(,x,),在一系列离散节点,上的近似值,y,1,y,2,y,n,y,n,+1,.,相邻两个节点的间距,h,n,=,x,n,+1,-,x,n,称为,步长,.今后如不特别说明，总是假定,h,i,=,h,(,i,=1,2,),为,定数,这时节点为,x,n,=,x,0,+,nh,(,i,=0,1,2,),(,等距节点,).,2024/11/13,4,Numerical Analysis,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解,初值问题的,数值解法,有个,基本特点,，他们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息,y,n,y,n,-,1,y,n,-,2,计算,y,n,+1,的递推公式.,首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式.一类是计算,y,n,+1,时只用到前一点的值,y,n,，,称为,单步法,.另一类是用到,y,n,+1,前面,k,点的值,y,n,y,n,-1,y,n,-,k,+1,，,称为,k,步法,.其次，要研究公式的,局部截断误差,和,阶,，数值解,y,n,与精确解,y,(,x,n,),的,误差估计,及,收敛性,，还有递推公式的,计算稳定性,等问题.,2024/11/13,5,Numerical Analysis,初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采取,9.2 简单的数值方法与基本概念,9.2.1 欧拉法与后退欧拉法,我们知道，在,xy,平面上，微分方程,(1.1)式,的解,y,=,f,(,x,),称作它的,积分曲线,，,积分曲线,上一点,(,x,y,),的切线斜率等于函数,f,(,x,y,),的值.如果按,f,(,x,y,),在,xy,平面上建立一个方向场，那么，,积分曲线,上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.,基于上述几何解释，我们从初始点,P,0,(,x,0,y,0,),出发,先依方向场在该点的方向推进到,x,=,x,1,上一点,P,1,，,然后再从,P,1,点依方向场在该点的方向推进到,x,=,x,2,上一点,P,2,循环前进做出一条,折线,P,0,P,1,P,2,.,2024/11/13,6,Numerical Analysis,9.2 简单的数值方法与基本概念9.2.1 欧拉法与后,一般地，设已做出该折线的顶点,P,n,过,P,n,(,x,n,y,n,),依方向场的方向再推进到,P,n,+1,(,x,n,+1,y,n,+1,),，,显然两个顶点,P,n,P,n,+1,的坐标有关系,这就是著名的,(显式)欧拉(,Euler,),公式,.若初值,y,0,已知，则依公式,(2.1),可逐次逐步算出各点数值解.,即,2024/11/13,7,Numerical Analysis,一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn,y,例1,用欧拉公式求解初值问题,解,取步长,h,=0.1,，,欧拉公式的具体形式为,其中,x,n,=,nh,=0.1,n,(,n,=0,1,10),已知,y,0,=1,由此式可得,2024/11/13,8,Numerical Analysis,例1 用欧拉公式求解初值问题 解 取步长h=0,依次计算下去，,部分计算结果,见下表.,与准确解 相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.,x,n,欧拉公式数值解,y,n,准确解,y,(,x,n,),误差,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.191818,1.358213,1.508966,1.649783,1.784770,1.183216,1.341641,1.483240,1.612452,1.732051,0.008602,0.016572,0.025726,0.037331,0.052719,2024/11/13,9,Numerical Analysis,依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解,欧拉公式具有明显的几何意义,就是,用折线近似代替方程的解曲线,，因而常称公式,(2.1),为,欧拉折线法,.,还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设,y,n,=,y,(,x,n,),即顶点,P,n,落在积分曲线,y,=,y,(,x,),上，那么，,按欧拉方法做出的折线,P,n,P,n,+1,便是,y,=,y,(,x,),过点,P,n,的切线.从图形上看,这样定出的顶点,P,n,+1,显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是,相当粗糙,的.,2024/11/13,10,Numerical Analysis,欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程,为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将,y,(,x,n,+1,),在,x,n,处展开，则有,在,y,n,=,y,(,x,n,),的前提下，,f,(,x,n,y,n,)=,f,(,x,n,y,(,x,n,)=,y,(,x,n,),.,于是可得欧拉法,(2.1),的,公式误差,为,称为此方法的,局部截断误差,.,2024/11/13,11,Numerical Analysis,为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将y(xn+,如果对方程,(1.1),从,x,n,到,x,n,+1,积分，得,右端积分用,左矩形公式,hf,(,x,n,y,(,x,n,),近似，再以,y,n,代替,y,(,x,n,),，,y,n,+1,代替,y,(,x,n,+1,),也得到欧拉公式(2.1)，局部截断误差也是(2.3).,称为,(隐式),后退的欧拉公式,.,如果右端积分用,右矩形公式,hf,(,x,n,+1,y,(,x,n,+1,),近似，则得到另一个公式,2024/11/13,12,Numerical Analysis,如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得右端积分,后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别,后者是关于,y,n,+1,的一个直接计算公式，这类公式称作是,显式的,；前者公式的,右端含有未知的,y,n,+1,，,它实际上是关于,y,n,+1,的一个函数方程,这类方程称作是,隐式的,.,显式,与,隐式,两类方法各有特点，考了到数值稳定性等其他因素，人们有时需要选用,隐式,方法，但使用,显式,算法远比,隐式,方便.,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是,逐步,显式化,.,2024/11/13,13,Numerical Analysis,后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别,后,设用欧拉公式,给出迭代初值,，用它代入,(2.5)式的,右端，使之转化为显式，直接计算得,然后再用 代入,(2.5)式，又有,如此反复进行，得,2024/11/13,14,Numerical Analysis,设用欧拉公式给出迭代初值 ，用它代入(2.5),由于,f,(,x,y,),对,y,满足,Lipschitz,条件,(1.3).由(2.6)减(2.5)得,由此可知，只要,hL,我们反复将步长折半计算,直至,为,止,这时取最终得到的 作为结果；,2.如果,为止，这时再将步长折半计算一次，就得到所要的结果.,2024/11/13,48,Numerical Analysis,来判定所选的步长是否合适，具体地说，将区分以下两种情况处理：,2024/11/13,49,Numerical Analysis,2023/10/849Numerical Analysis,