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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,17,章 一元二次方程,17.1,一元二次方程,第17章 一元二次方程17.1一元二次方程,导入新课,复习引入,没有未知数,1.,下列式子哪些是,方程？,2+6=8,2,x,+3,5,x,+6=22,x,+3,y,=8,x,-5,18,代数式,一元一次方程,二元一次方程,不等式,分式方程,导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=8,2.,什么叫方程？我们学过哪些方程？,含有未知数的等式叫做方程,.,我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及,分式方程，,其中前两种方程是,整式方程,.,3.,什么叫一元一次方程？,含有一个未知数，且未知数的次数是,1,的,整式方程,叫做一元一次方程,.,想一想：什么叫一元二次方程呢？,2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.,问题情境,1,:,某蔬菜队,2009,年全年无公害蔬菜产量为,100,t,，,计划,2011,年无公害蔬菜的产量比,2009,年,翻一番,（即为,200,t,）要实现这一目标，,2010,年和,2011,年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？,分析：,如果设这个队,2010,2011,年无公害蔬,菜产量的年平均增长率为,x,，那么：,2010,年无公,害蔬菜产量为,100+100,x,100,(,1+,x,)(,t,),；,2011,年,无公害蔬菜产量为,:,100,(,1+,x,),+100,(,1+,x,),x,=100,(,1+,x,),2,(,t,),.,问题情境1:某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为1,根据题意，,2011,年无公害蔬菜产量为,200,t,，得,100,(,1+,x,),2,200,即,(,1+,x,),2,2,整理，得：,x,2,+2,x,-,1,0,根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得100(1+,问题,2,在一块宽,20m,、长,32m,的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为,570,m,2,，问小路的宽应为多少？,32,20,x,问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的,1,.若设小路的宽是,x,m，那么横向小路的,面,积,_,m,2,，纵向小路的面积是,m,2,两者重叠的面积是,m,2,.,32,x,2,.由于花坛的总面积是570m,2,.你能根据题意，列出方程吗？,整理以上方程可得：,思考：,2,20,x,32,20,(32,x,220,x,),2,x,2,=570,2,x,2,x,2,-36,x,35,=0,32,20,x,1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积_m2，,想一想：,还有其它的列法吗？试说明原因.,(20-,x,)(32-2,x,)=570,32-2,x,20-,x,32,20,想一想：还有其它的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2,观察与思考,方程、,都不是一元一次方程,.,那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点,:,都是整式方程,;,只含一个未知数,;,未知数的最高次数是,2,.,x,2,-36,x,35,=0,x,2,+2,x-,1,0,观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这两个,（,1,）都是整式方程,;,（,2,）只含一个未知数,;,（,3,）未知数的,最高次数,是,2.,总结归纳,:,讨论,:,什么叫做一元二次方程,？,（1）都是整式方程;（2）只含一个未知数;（3）未知数的最高,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数,(,一元,),，并且未知数的最高次数是,2,(,二次,),的方程叫做,一元二次方程,是一元二次方程吗？,探究新知：,一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式,只,一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于,x,的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把,(,a,b,c,为常数，,a,0,）称为,一元二次方程的一般形式,.,为什么要限制,a,0,，,b,c,可以为零吗？,想一想,一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元,想一想,为什么一般形式中,ax,2,+,bx,+,c,=0,要限制,a,0,，,b,、,c,可以为零吗？,当,a,=0,时,bx,c,=0,当,a,0,，,b,=0,时,，,ax,2,c,=0,当,a,0,，,c,=0,时,，,ax,2,b,x,=0,当,a,0，,b,=,c,=0,时,，,ax,2,=0,总结：只要满足,a,0,，,b,，,c,可以为,任意实数,.,想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b,一元二次方程的一般形式,结构认识,a x,2,+,b x,+,c,=,0,(,a,0,),二次项系数,一次项系数,常数项,二次项,一次项,一元二次方程的一般形式 a x 2+b x+c=,下,列方程中哪些是一元二次方程？,是一元二次方程的有：,例题,1,下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：例题1,典例精析,例,2,下列选项中，关于,x,的一元二次方程的是（）,C,不是整式方程,含两个未知数,化简整理成,x,2,-3,x,+2=0,少了限制条件,a,0,提示,判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断,.,典例精析例2 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C,例,3,：,将方程,3,x,(,x,-1)=5(,x,+2),化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数,.,解：,去括号，得,3,x,2,-3,x,=5,x,+10.,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式,3,x,2,-8,x,-10=0.,其中二次项是,3,x,2,系数是,3,；一次项是,-8,x,系数是,-8,；常数项是,-10.,系数和项均包含前面的符号,.,注意,例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分,练习,将方程（,3,x,-,2,）,(,x,+1)=8,x,-,3,化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项,。,解：去括号，得,3,x,2,+,3,x,-,2,x,-,2,=,8,x,-,3,移项，合并同类项得,3,x,2,-,7,x,+,1,=,0,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,练习 将方程（3x-2）(x+1)=8x-3,例,2:,a,为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1),ax,2,x,=2,x,2,(2)(,a,1),x,|,a,|,+1,2,x,7=0.,解：,(1),将方程式转化为一般形式，得,(,a,-2),x,2,-,x,=0,所以当,a,-20,，即,a,2,时，原方程是一元二次方程,.,(2),由,a,+1=2,，且,a,-1 0,知，当,a,=-1,时，原方程是一元二次方程,.,方法点拨：,用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于,2,，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于,0,的字母的值,例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=,例题讲解,解：当,a,2,时是一元二次方程；当,a,2,，,b,0,时是一元一次方程；,例题,4,方程,(2,a,4),x,2,2,bx,+,a,=0,在什么条件下,此方程为一元二次方程？在什么条件下此方,程为一元一次方程？,例题讲解 解：当a2时是一元二次方程；,一元二次方程的根,二,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）,.,练一练：,下面哪些数是方程,x,2,x,6=0,的解,?,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,解：,3,和,-2.,你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根,.,一元二次方程的根二一元二次方程的根 使一元二次方程等,例,4,：已知,a,是方程,x,2,+,2,x,2,=,0,的一个实数根,求,2,a,2,+,4,a,+,2017,的值,.,解：由题意得,方法点拨：,求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,例4：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根,1.,下列方程中,无论,a,为何值,总是关于,x,的一元二次方程的是,(,),A.,(,2,x,-,1,)(,x,2,+,3,),=2,x,2,-,a,B.,ax,2,+,2,x,+,4=0,C.,ax,2,+,x,=,x,2,-,1 D.,(,a,2,+,1,),x,2,=0,D,随堂练习,1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是(,2.,当,m,为何值时,方程,是关于,x,的一元二次方程,.,解：由题意，得：,4,m,-2=2,解得：,4,m,=4,m,=1,又,m,+10,m,-,1,m,=1,2.当m为何值时,方程 解：由题意，得：4m-2=2,3,.,将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项,.,3.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二,解：方程,(,1,),整理为,5,x,2,-,4,x,-,1=0,；其中二次项系数为,5,，一次项系数为,-,4,，常数项为,-,1.,方程,(,2,),整理为,4,x,2,-,81=0,；其中二次项系数为,4,，一次项系数为,0,，常数项为,-,81.,解：方程(1)整理为5x2-4x-1=0；其中二次,1,.,一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是,2,的整式方程叫做一元二次方程。,2,.,一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于,x,的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把,(,a,b,c,为常数，,a,0,）称为,一元二次方程的一般形式,。,1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次,巩固练习,1.,一元二次方程,3,y,(,y,1,),=7,(,y,2,),5,化为一般形式为,；其中二次项系数为,_,；一次项系数为,；常数项为,。,3,y,2,-,4,y,-,9,=,0,3,-4,-9,2.,已知关于,x,的方程,(,k,2,-,1,),x,2,+,kx,-,1,=,0,为一元二次方程，则,k,.,1,巩固练习 1.一元二次方程3y(y1)=7(y2,再见！,再见！,
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