高等数学概率的基本公式

,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,返回,第二节 概率的基本公式,一、概率的加法,定理,1.,设,A;B,为任意两个事件,则,:,P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB),AB,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),例题,1,右图,A,B,开关的开与关概率均为,1/2,求灯亮的概率,.,解,:,P(,灯亮,)=P(A+B),=P(A)+P(B)-P(AB),=,A,B,法,2,：,推论,1.,若,A.B,为,互不相容,的两个事件,则,P(A+B)=P(A)+P(B),一般地,若,A,1,A,2,A,n,两两互不相容,则,推论,2,对任一事件,A,有,推论,3,若事件,A B,则,P(A-B)=P(A)-P(B),例题,2,盒中有,32,只红球,4,只白球,从中任取,2,支,求,:,至少有,1,只白球的概率,.,解：,P(,恰好,1,只白球,)=P(A),=,P(,恰好,2,只白球,)=P(B),=,P(,至少,1,只白球,)=P(A+B)=P(A)+P(B),=0.2032+0.0095=0.2127,解法,2:,例题,3,10,名学生为同一年出生,问至少二人同一天生日的概率,.,解,:,P(,二人同一天,)=1-P(,没有人同一天生日,),=1-,例题,4,一盒试样共,20,支，放置一段时间后，其中有,6,支澄明度较差，有,5,只标记不清，有,4,只澄明度和标记都不合要求，现从中任取,1,支，求这只无上述问题的概率。,解：,A=,澄明度较差；,B=,标记不清,二、概率的乘法公式,1.,条件概率,定义,:,事件,A,和,B,若,P(A)0,则下式称为在,事件,A,发生的条件下,B,发生的概率,或,B,A,例题,1,10,件物品中有,2,件次品,若不放回地抽取,问,:,第一次取到正品后第二次取得正品的概率,.,解,:,设,A=,第一次取到正品,B=,第二次取到正品,则所求概率为,:,例题,2,一群人中,聋子的概率为,0.005,盲人的概率为,0.0085,而聋子中是盲人的概率为,0.12,求某人又聋又盲的概率,.,解,:,设,A=,聋子,;B=,盲人,则,:P(A)=0.005;P(B)=0.0085;P(B/A)=0.12,所求概率：,P(,又聋又盲,)=P(AB),条件概率的性质,:,1.P(B/A)0,2.P(U/A)=1,P(V/A)=0,3.P(B/A)=1-P(B/A),4.P(B,1,+B,2,/A)=P(B,1,/A)+P(B,2,/A)-P(B,1,B,2,/A),特别地,:,当条件,A=U,时,条件概率就变成无条件概率了,.,即,:P(B/U)=P(B),2.,独立事件与乘法公式,独立事件,定义,:,若,P(B)=P(B/A),则称事件,B,与事件,A,独立,由于：,定理,2:,事件,A,与,B,相互独立,例题,1,甲打中的概率为,0.7,乙打中的概率为,0.9,。,设,A=,甲打中；,B=,乙打中，则,:,P(A)=0.7;P(B)=0.9,1.,甲乙两人都打中的概率为,:,P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63,2.,目标被打中的概率为,:,P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.97,3.P(,甲脱靶,/,目标击中,),=0.3*0.9/0.97=0.278,例题,2,甲,.,乙,.,丙三人能破译某密码的概率分别为,问密码能被破译出来的概率,.,解,:,例题,3,(,见,142,页例,6-18),例题,4:,彩电使用,10000,小时无故障的概率为,95%,使用,15000,小时无故障的概率为,60%;,现有一台彩电已使用了,10000,小时无故障,问该彩电继续使用到,15000,小时无故障的概率,?,解,:,设,A=,使用,10000,小时无故障,;,B=,使用,15000,小时无故障,所求概率为,:,P(B/A)=,=0.6/0.95=0.63,三、全概率公式及,Bayes,公式,完备事件组,:,事件,A,1,A,2,A,n,两两互不相容,且,P(A,i,)0;,.,全概率公式,设事件,A,1,A,2,A,n,为一完备事件组,则对任一事件,B,都有,:,证明,:,A,1,A,2,A,i,A,n,B,例题,1,口袋中有,3,红,2,白球，现,无放回,地取,2,球，问第二次取到红球的概率？,解：,设,A,：第一次取到红球,B,：第二次取到红球,例,2,：,甲、乙、丙三车间的次品率分别为,1%,，,1.5%,，,2%,，且全厂各车间产品所占比例为,25%,，,35%,，,40%,，求全厂的次品率？,解：,设,A,i,(I=1,2,3),：分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品,B,：表示抽到次品。,则：,P,（,B,）,Bayes,公式（逆概率公式）,另：,例,3,：,患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为,0.95,，而未患病的人误诊的概率为,0.002,，又知某城镇居民的结核病患病率为,0.001,，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？,解：,设,A,：被诊断为结核病；,B,：确实患有结核病,P,（,B/A,）,四、独立重复试验和伯努利（,Bernoulli),概型,独立重复试验：,在相同条件下重复试验，各次试验的结果相互独立的随机试验。,伯努利（,Bernoulli),试验：,每次试验结果只有,A,与,A,的独立重复试验。,例：扔硬币；射击等,定理：,n,次,Bernoulli,试验中，事件,A,出现,k,次的概率为：,并且,其中,P(A)=p,，,p+q=1,例,1,：扔,5,次硬币正面出现,3,次的概率为：,例,2,：,5,个细菌随机出现在,3,个试管溶液中，则第一个试管溶液中的细菌不多于一个的概率？,解：,设：,P(A)=P(,某个细菌落在第一个试管,),