自动控制原理5-2奈氏判据

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4,奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据,(,简称奈氏判据,),是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。,具有以下特点：,(1),应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。,(2),便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。,(3),很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。,(4),奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。,5.4.1,辅助函数,F,(,s,),如图示的控制系统，,G,(,s,),和,H,(,s,),是两个多项式之比,G,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),+,H,(,s,),1,开环传递函数为,闭环传递函数为,把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作,F,(,s,),，,F,(,s,),仍是复变量,s,的函数。,=1+,G,k,(,s,),2,显然，辅助函数和开环传函之间只相差,1,。考虑到物理系统中，开环传函中,m,n,，故,F,(,s,),的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为,n,，,F,(,s,),可改写为：,F,(,s,),具有如下特征：,1,）其,零点,和,极点,分别是,闭环,和,开环,特征根；,2,）零点和极点个数相同；,3,）,F,(,s,),和,G,(,s,),H,(,s,),只相差常数,1,。,式中，,z,i,和,p,i,分别为,F,(,s,),的零点和极点,。,3,F,(,s,),曲线从,B,点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。,j,0,s,z,i,A,F,(,s,),Im,Re,0,F,B,5.4.,2,幅角原理,在,s,平面上任选一点,A,通过映射,F,(,s,),平面上,F,(,A,),。,设,s,只包围,z,i,，,不包围也不通过任何极点和其他零点。,从,A,点出发顺时针转一周回到,A,4,幅角原理：,如果封闭曲线内有,Z,个,F,(,s,),的零点，,P,个,F,(,s,),的极点，则,s,沿封闭曲线,s,顺时针方向转一圈时，在,F,(,s,),平面上，曲线,F,(,s,),绕其原点逆时针转过的圈数,R,为,P,和,Z,之差，即,R=P,Z,N,若为负，顺时针。,5.4.3,奈氏判据,（,1,）,0,型系统,s,为,包围虚轴和整个右半平面。,s,平面,s,映射,F,(,s,),正虚轴,j,(,:0),F,(,j,),(,:0),负虚轴,j,(,:,0),F,(,j,),(,:,0),半径,的,半圆,(,1,j,0),点,0,j,s,+,5,F,(,j,),和,G,(,j,),H,(,j,),只相差常数,1,。,F,(,j,),包围原点就是,G,(,j,),H,(,j,),包围,(-1,，,j0),点。,GH,平面,0,F,平面,1,对于,G,(,j,),H,(,j,),:0 ,，开环极坐标图；,:0,，与开环极坐标图以,轴镜像对称；,F,平面,(,1,j,0),点就是,GH,平面的坐标原点。,6,奈氏判据：,已知开环系统特征方程式在,s,右半平面根的个数为,P,，,开环奈氏曲线（,:0 ,）包围,(,1,，,j0,),点的圈数为,R,，,则闭环系统特征方程式在,s,右半平面根的个数为,Z,，,且有,Z,=P,R,若,Z,=0,，,闭环系统是稳定的。若,Z,0,，,闭环系统是不稳定的。,或,当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围,(,1,，,j0),点时，则闭环系统是稳定的。,当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围,(,1,，,j0),点,P,圈时，闭环系统是稳定的。,7,例,5-10,判断系统稳定性,（,2,）,p,=0,，,R,2,z,p,R,2,0,闭环系统不稳定的。,Re,p,=0,Re,Im,0,=0,解：由图知,（,1,）,p,=0,且,R,=0,闭环系统是稳定的。,Re,Im,0,1,p,=0,=0,8,（,3,）,p,=0,，,R,0,闭环系统是稳定的。,Re,Im,0,1,=0,p,=0,9,试用奈氏判据判断系统的稳定性。,例,5-11,一单位反馈系统，其开环传函,当,=0,，,G,k,(,j,0)=,k,180,当,，,G,k,(,j,)=0,90,Re,Im,0,=0,k,解：已知,p,=1,频率特性,10,当,k,1,，,R,=1,z,=,p,R,=0,闭环系统是稳定的。,当,k,1,，,k,1,15,(3),由奈氏判据判稳的实际方法,用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制,从,0,时的开环幅相曲线，然后按其包围,(,-1,，,j0,),点的圈数,R,（,逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在,s,右半平面根的个数,P,，,根据公式,Z,=P,2,R,来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果,Z,=0,，,闭环系统是,稳定的,。否则，闭环系统是不稳定的。,如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为,N,，则绘制开环极坐标图后，应从,=0,+,对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转,N,90,的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。,16,重新做例,5-10,判断系统稳定性。,（,2,）,p,=0,，,R,1,z,p,2,R,2,0,闭环系统不稳定的。,Re,p,=0,Re,Im,0,=0,解：由图知,（,1,）,p,=0,且,R,=0,闭环系统是稳定的。,Re,Im,0,1,p,=0,=0,17,（,3,）,p,=0,，,R,0,闭环系统是稳定的。,Re,Im,0,1,=0,p,=0,18,例,5-13,已知系统的开环传函为,起点：,G,k,(,j,0)=,27,0,终点：,G,k,(,j,)=0,9,0,与坐标轴交点：,x,=10,1/2,Re(,x,)=,0.1,k,开环极坐标图如图,0,j,-10,1,用奈氏判据判断稳定性。,解,：（,1,）,从开环传递函数知,p,=1,（,2,）,作开环极坐标图,19,Im,Re,0,=0,增补线,1,0.,1,k,(3),稳定性判别,:,因为是,1,型系统，需作增补线如图,当,0.1,k,10,时，,R,=1/2,，,z,=,p,2,R,=0,闭环系统是稳定的。,20,Re,Im,0,1,(+),(,),5.4.4,伯德图上的稳定性判据,由图可知，幅相曲线不包围,(,1,，,j0),点。此结果也可以根据,增加时幅相曲线自下向上,(,幅角减小,),和自上向下,(,幅角增加,),穿越实轴区间,(,，,1),的次数决定。,R,=,N,N,自实轴区间（,，,1,）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（,，,1,）开始向上的穿越为半次负穿越。,21,-180,(,)/(,),0,L,(,)/dB,(,),(+),对数频率稳定判据：,一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数,Z,，,可以根据开环传递函数,s,右半平面极点数,P,和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与,180,2,k,线的正负穿越次数之差,R,=,N,N,确定,Z,=,P,2,R,Z,为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。,22,例,5-14,一反馈控制系统其开环传递函数,解：由开环传递函数知,P,=0,，,作系统的开环对数频率特性曲线,180,(,)/(,),0,L,(,)/dB,1/,T,40,dB,/dec,60,dB,/dec,270,辅助线,用对数稳定判据判断系统稳定性。,23,显见,N,=0,，,N,=1,R,=,N,N,=,1,Z,=,P,2,R,=2,故系统不稳定。,G,(,s,),H,(,s,),有两个积分环节,N,=2,，故补画了,0,到,180,的辅助线。,24,例,5-15,一反馈控制系统其开环传递函数,解,：,由开环传递函数知,P,=1,。,作系统的开环对数频率特性曲线。,(,),=,90,+arctan,T,2,(180 arctan,T,1,),（,T,1,T,2,）,当,(,),=,18,0,时，,g,=(1/,T,1,T,2,),1/2,，,A,(,g,)=,k,T,2,稳定性判别。,G,(,s,),H,(,s,),有一个积分环节,N,=1,，故补画了,180,到,270,的辅助线。,用对数稳定判据判断系统稳定性。,25,L,(,)/dB,1/,T,1,40,dB,/dec,180,(,)/(,),0,270,1/,T,2,20,dB,/dec,20,dB,/dec,90,g,c,（,T,1,T,2,）,26,(),当,g,1,，,N,=1,，,N,=1/2,R,=,N,N,=,1/2,Z,=,P,2,R,=0,故系统稳定。,(),当,g,c,时，即,A,(,g,),1,，,N,=0,，,N,=1/2,R,=,N,N,=,1/2,Z,=,P,2,R,=2,故系统不稳定。,27,