实变函数与泛函分析点集 (3)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节 聚点、内点、界点(.p35.),第二章 点集,I.欧氏空间中各类点的定义(p35.36),边界点不一定属于E,内点一定属于E,P,0,为 E,c,的,内点,:,1.P,0,为 E的,内点,：,P,0,为 E的,外点,：,2.P,0,为 E的,边界点,：,记 为 E的内部（内点全体）,记 为 E的边界,（,边界点,全体）,I.,欧氏空间中各类点的定义,(,p36,.37,),接触点、聚点,不一定属于E,孤立点一定属于E,点P,0,的,邻域,：,P,0,为 E的,接触点,：,3.P,0,为 E的,聚点,：,P,0,为 E的,孤立点,：,记 为 E的闭包（接触点全体）,记 为 E的导集（聚点全体.）,P,0,为 E的,聚点:,P,o,的,任一领域内都含有无穷多个属于E的点.,注：,接触点、聚点、边界,点不一定属于E，,内点、孤立点,一定属于E。,例,（1）,令 E=Q，则,（2）令,E=1,1/2,1/3,，1/k,则,对一切,1/k(k=1,2,3,)均为E的,孤立点,。,接触点、聚点表示它与集合,紧挨,;,内点表示它周围的点都在,集合内,练习：p51.2.3,由定义可知,外点、接触点、内点的关系,P,0,为 E的接触点：,P,0,为 E的内点：,P,0,为 E的外点：,1.结论1.设p,0,是,E,的聚点,证明,p,0,的任意邻域内都含有无穷多个,属于,E,而异于p,0,的点.,这与（*）矛盾，,所以 为无限集。,证明：由条件知,P,0,P,n,II.结论：,2.,结论2.E中的,孤立点,集,或为,有限集,或为,可数集,。,这与,（*）,式矛盾，,所以是一簇两两不交的开区间，,从而A至多可数。,证明：设A为孤立点集，由孤立点,的定义知,3.聚点的等价描述,证明,：显然，下证,定理3.：下列条件等价：,(1)p,0,为E的聚点,(3)存在E中,互异的,点所成点列p,n,使得,P,0,P,n,定义：称点列p,n,收敛于p,0,记为：,(2)点p,0,的任意邻域内，,至少含有一个,属于E而异于p,0,的点,设p,0,是,E,的聚点，证明,存在,E,中的,互异的,点所成的点列,p,n,使,则上述取出的点列P,n,是互异点列,且,证明：由聚点的定义知,保证收敛,保证点列互异,P,0,为,E,的接触点：,P,0,为,E,的聚点：,注：聚点的等价条件的证明中 ，,1/n,是为,了保证,收敛,，而,d(p,n-1,p,0,),是为了保证点列,两两互异,。,p,0,是,E,的,聚点,的,充要条件,为,存在,E,中的,互异的,点所成的点列,p,n,使得,P,0,P,n,p,0,为E的,接触点,的充要条件,为存在E中点列p,n,使得,4.接触点与聚点关系,5.几大定理,TH2.若,TH3.,TH4.E为R n中有界无穷集，则E至少有一个聚点.,(补：.R n中有界点列有收敛子列),TH5.(P40.TH5.)界点存在性,