抽象函数模型归纳总结（八大题型）（解析版）

抽象函数模型归纳总结 目录01方法技巧与总结202题型归纳总结3题型一：一次函数模型3题型二：二次函数模型5题型三：幂函数模型7题型四：指数函数模型8题型五：对数函数模型10题型六：正弦函数模型13题型七：余弦函数模型15题型八：正切函数模型1803过关测试20一次函数（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为二次函数（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为幂函数（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是指数函数（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是其中对数函数（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是其中三角函数（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：题型一：一次函数模型 【例1】已知且，则不等于ABCD【答案】D【解析】，构造函数，则，且，令，则，令，得，即，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，则.，合乎题意；，合乎题意；故选D.【变式1-1】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（）ABC函数是偶函数D函数是减函数【答案】C【解析】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C【变式1-2】（2024河南新乡一模）已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】令，得.令，得，解得，则不等式转化为，因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选：A【变式1-3】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（）A0B1CD【答案】D【解析】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，令得，即，于是，则，从而，有.故选：D题型二：二次函数模型 【例2】（2024高三河北保定期末）已知函数满足：，成立，且，则（）ABCD【答案】C【解析】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，则当时，则，当时，上式也成立，所以，所以.故选：C.【变式2-1】（2024山东济南三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（）AB为偶函数C有最小值D在上单调递增【答案】C【解析】由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C【变式2-2】（2024陕西西安模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（）AB方程有解C是偶函数D是偶函数【答案】C【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.【变式2-3】（2024河南三模）已知函数满足：，且，则的最小值是（）A135B395C855D990【答案】C【解析】由，得，令，得，令，得，故，又，所以，所以，因为，当时，的最小值为855故选：C题型三：幂函数模型【例3】已知函数的定义域为，且，则（）ABC是偶函数D没有极值点【答案】D【解析】令，则，所以，且为定义域内任意值，故为常函数.令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；所以不恒成立，不一定成立，A、B错.故选：D【变式3-1】（2024河北模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（）A是奇函数且在上单调递减B是奇函数且在上单调递增C是偶函数且在上单调递减D是偶函数且在上单调递增【答案】A【解析】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.故选：A.题型四：指数函数模型 【例4】（多选题）（2024山西晋中三模）已知函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（）AB为非奇非偶函数C若，则D对任意恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：.对于A，由恒等式可得，而，故，所以，即，故A正确；对于B，由于满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误；对于C，由恒等式可得，故.若，则，故C正确；对于D，由恒等式可得.而，故和同号（同为正数，或同为负数，或同为0），从而再由可知，即，故D正确.故选：ACD.【变式4-1】已知函数满足，则的值为（）A15B30C60D75【答案】B【解析】因此故选：B【变式4-2】如果且，则（）ABCD【答案】C【解析】，故选：C【变式4-3】已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（）ABCD【答案】C【解析】函数对一切实数满足，且数列是等比数列，首项为2，公比为2所以所以数列的前项和为故选：C题型五：对数函数模型 【例5】（多选题）已知函数的定义域为，则（）ABC是偶函数D为的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为，对于A，令，故正确.对于B，令，则，故B正确.对于C，令，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，故正确.对于B，令，则，故B正确.对于C，令，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（）ABCD【答案】C【解析】令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，依次类推可得。故选：C【变式5-2】（2024四川凉山三模）已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（）个；若当时，则函数在单调递增；对，；若，则.A1B2C3D4【答案】C【解析】令有，令有. 所以正确.，因为，所以，所以，又因为，且当时，所以. 所以正确.当时由可得成立；当时，由得，所以，所以，累加得，即 ，所以，所以正确令，由得，又因为，所以，由得，所以， 所以 ，所以错误故选：C【变式5-3】（2024山西一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（）ABC为偶函数D为奇函数【答案】C【解析】令，则，故，A选项错误；令，则，故，B选项错误；令，则，故为偶函数，C选项正确；因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C题型六：正弦函数模型 【例6】（多选题）（2024辽宁模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（）A为偶函数BCD【答案】BD【解析】令，则.另令，则，由，所以不成立，所以，所以函数为奇函数，故A错误；令，则，故B正确；令，则，又，所以，故C错；令得.且，.所以；所以，又，所以；所以；所以所以，故D正确.故选：BD【变式6-1】（多选题）（2024全国模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（）A为偶函数BCD【答案】BC【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：证明过程如下：由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误因为，故选项B正确因为，故选项C正确因为，故，故选项D错误方法二：对于选项A，因为的定义域为，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误对于选项B，令，则而，所以，故选项B正确对于选项C，由选项B可知，令，则，所以又因为为奇函数，所以，故C正确对于选项D，由选项B以及，可得，所以，同理可得因为，故，故D错误故选：BC题型七：余弦函数模型 【例7】（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则（）AB是偶函数CD【答案】BC【解析】A.，令，则，故A错误；令，则，又，所以，令，则，所以函数关于对称，令，则，令，且，则，所以，又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确；令，则，又，所以，故C正确；因为，所以，所以函数的一个周期为8，令，则，所以，所以，所以，所以，所以，故D错误.故选：BC【变式7-1】（多选题）（2024辽宁二模）已知定义城为R的函数满足，且，则（）AB是偶函数CD【答案】ABC【解析】对于A项，由，令，则，故A项正确；对于B项，令，则，因，故，令，则，所以函数关于点成中心对称，令，则，令，则，由可得：，由可知：，且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因为，代入上式中得，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为4，故，令，则，所以，则，故D项错误故选：ABC【变式7-2】（2024吉林模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（）ABC0D1【答案】D【解析】由题意知函数的定义域为，且，令，则，即，故为偶函数；又，令，则，又由，得，即的图象关于点成中心对称，则；，即，又结合为偶函数，则，故，即4为的周期，故，故，故选：D【变式7-3】（2024安徽模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（）A0B-1C2D1【答案】D【解析】令，则有，又，.令，.则有，.令，则有.，.故选：D.题型八：正切函数模型 【例8】定义在上的函数满足：，当时，有，且设，则实数与的大小关系为（）ABCD不确定【答案】C【解析】 函数 满足，令 得 ；令 得 在 为奇函数，又时，有，所以时，有，设，所以，所以，则，所以，即，在是单调减函数，在时，又 ， ，即 ，故选：C.【变式8-1】（2024浙江二模）已知函数满足对任意的且都有，若，则（）ABCD【答案】D【解析】函数满足对任意的且都有令，则，.故选：D1已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】函数对于一切实数均有成立，令得，又，令得，即，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，令，则在上单调递增，要使当时，恒成立，则在上恒成立，当时，不成立，当时，则有，所以.故选：D.2设函数f：RR满足f(0)1，且对任意，都有，则（ ）A0B2018C2 017D1【答案】B【解析】，令，得，令，又，故选B.3满足对任意的实数都有，且，则（）A2017B2018C4034D4036【答案】B【解析】满足对任意的实数都有令得， ， ，故选B.4如果函数对任意满足，且，则A4032B2016C1008D504【答案】B【解析】在中令，则有，所以，所以 ，故选B考点：1、函数解析式；2、新定义5设函数的定义域为，对任意实数，只要，就有成立，则函数（）A一定是奇函数B一定是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【解析】令,则，,即,其中,.,.,.综上,知,函数既是奇函数又是偶函数.故选：C6（2024全国模拟预测）已知函数的定义域为，则（）ABC为偶函数D为奇函数【答案】D【解析】当时，不恒成立，故，A错误B：解法一令，得，又，所以，故，B错误解法二令，得，又，所以，B错误C：解法一由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确解法二令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确综上可知，选D故选：D.7设函数的定义域为，若，则等于（）AB2CD【答案】D【解析】因为，令，则，即，可得；令，则，即，可得；令，可得.故选：D.8（多选题）（2024全国模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（）A为偶函数BCD【答案】BD【解析】因为，令，得，即，所以函数为奇函数，故选项A不正确；用替换，令，得，即，又函数为奇函数，所以，所以，故选项B正确；令，得，即，即，所以，所以函数的周期为2，再由，令，可得，由函数的周期性可知，所以，故选项C不正确；由，令，得，即由，令，得，即，可得由+整理后可得，即，故选项D正确.故选：BD9（多选题）已知函数的定义域为，则（）ABC的一个周期为3D【答案】ABD【解析】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以，令，则，令，则，所以，因为，所以，所以，因为，所以，B选项正确；令，则，所以，所以，所以，由此可知：的一个周期为6，C选项错误；因为，且，令，令，且，所以，由可知，所以，因为的一个周期为6，且，所以，D选项正确.故选：ABD10（多选题）（2024江西九江二模）已知函数的定义域为，则下列命题正确的是（）A为奇函数B为上减函数C若，则为定值D若，则【答案】ACD【解析】因为，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；令可得，所以，故C正确；令可得，因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD11（多选题）（2024江苏南京二模）已知函数满足，则（）ABC是偶函数D是奇函数【答案】AC【解析】令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC12（多选题）（2024广西二模）已知函数的定义域与值域均为，且，则（）AB函数的周期为4CD【答案】ACD【解析】令得，即，令，得，联立，故A正确；令，得，由，将它们代入整理可得，所以由，故D对；由可知为一元二次函数，设，则有，整理得，又由，所以，经验证满足题设要求，故B错C对，故选：ACD.13（多选题）已知非常数函数的定义域为，且，则（）AB或C是上的增函数D是上的增函数【答案】AC【解析】在中，令，得，即因为函数为非常数函数，所以，A正确令，则令，则，令，则，由，解得，从而，B错误令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误故选：AC14（多选题）已知是定义在上的函数，且，则（）AB是偶函数C的最小值是1D不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于A，令，得，解得或2.因为，所以，则A错误.对于BC，令，得，则，从而是偶函数，且，故B，C正确.对于D，因为是偶函数，在上单调递增，且，所以不等式等价于，所以，解得，则正确.故选：BCD.15（多选题）已知函数满足，则（）ABCD【答案】ABC【解析】对于A，故A正确；对于B， ，故B正确；对于C，故C正确；对于D，故D错误故选：ABC16（多选题）（2024高三云南昆明开学考试）已知函数的定义域为，且，则（）ABC是奇函数D是偶函数【答案】ABD【解析】令，则，即. A正确. 令，则. 令，则，则.故. B正确. 是非奇非偶函数. C不正确. 是偶函数. D正确.故选：ABD.17（多选题）（2024重庆三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，则（）ABCD【答案】ABD【解析】令，得，代入，得，当为正整数时，所以，所以，代入，得，所以，又当时，也符合题意，所以.当不为正整数时，经验证也满足，故为任意实数时，都有.所以，故A正确；，故B正确；所以，故C不正确；所以，令，则，所以，所以，所以，故D正确.故选：ABD18（多选题）（2024全国模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，则（）AB函数在区间单调递增C函数是奇函数D函数的一个解析式为【答案】ABD【解析】A项：因为，当时，令，则，解得，A正确；B项：任取：，则，因为当时，所以，所以，即，所以函数在区间单调递增，B正确；C项：令，则，解得或，当，且时，令，则，若为奇函数，则，即，解得，与题意矛盾；当时不为奇函数综上所述，函数不是奇函数，C错误；D项：当，则，所以，易得在上单调递增，所以时，故函数的一个解析式为，D正确故选 :ABD19（多选题）已知函数，对于任意，则（）ABCD【答案】ACD【解析】令，故A正确；由已知，令满足题干要求，则，故B错误；由可知，令，则，又因为，则，所以，故C正确；因为，所以，又由，令，则，所以，故D正确.故选：ACD.20（多选题）（2024高三辽宁期中）已知函数的定义域为，且，当时，则（）AB是偶函数C当A，B是锐角的内角时，D当，且，时，【答案】AD【解析】令xy0，得，故A正确令x0，则，所以为奇函数，故B错误任取，且，则因为，所以，所以因为，所以，即在上单调递增因为A，B是锐角的内角，所以，所以，所以因为，所以，故C错误因为，且，所以令yx，则，令，则，所以因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确故选：AD21（多选题）函数的定义域为，若，则下列选项正确的有（）ABC函数是增函数D函数是奇函数【答案】ABD【解析】令，得，因为，所以；令，得，因为，所以，即选项A正确；由选项A知的图象过点、，令，则得，所以，因为，所以选项B正确；因为是减函数，所以选项C错误；因为，所以为奇函数，即选项D正确；故选：ABD22（多选题）定义在上的函数，对，均有，当时，令，则下列说法正确的是（）ABCD【答案】AD【解析】对，均有，令可得，所以，则，故A正确；，可令得，所以，则，故B不正确；令，可得，因为当时，又，所以，故，所以，所以，则，故C不正确；令，得，则，以此类推可得：，所以，故D正确.故选：AD.23（多选题）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，下式成立的有（）ABCD【答案】BCD【解析】,B选项正确;,C选项正确;,D选项正确;定义在上的函数满足：对，都有，设,A选项错误.故选:BCD.24（2024山西临汾三模）已知函数的定义域为，且，则 【答案】【解析】令，则，因为，所以，令，则，得，令，则，即，所以，所以所以，所以，即，是以6为周期的周期函数，所以，故答案为：.25已知函数的定义域为R，且，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）【答案】1,（答案不唯一）【解析】令，则，又，所以，即，所以函数为偶函数，不妨取偶函数，则，也可取，则，满足题意.故答案为：,（答案不唯一）26已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 .【答案】（不唯一）【解析】由题意，累乘可得，即，令，则，所以，故答案为：（不唯一）27（2024高三江苏扬州开学考试）写出满足的函数的解析式 【答案】【解析】中，令，得；令得，故，则故答案为：28（2024高三河南开学考试）已知函数f（x）满足：对，；请写出一个符合上述条件的函数f（x） 【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【解析】因为对，；所以在上可能为对数函数，故满足条件，又，所以，故符合上述条件的函数可能为：，故答案为：（答案不唯一）.29已知函数，且，则满足条件的函数的一个解析式为 .【答案】【解析】由已知得，又，故答案为：30若函数满足，写出一个符合要求的解析式 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数满足，所以x，故答案为：x,答案不唯一31同时满足下列两个条件：；的函数可以为 .【答案】（答案不唯一）【解析】由可知函数为增函数，再由可知可以为对数函数，故可以填，或者其它底数大于的对数函数故答案为：（答案不唯一）