北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

一选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（ ）A.0 B.1 C. D.22.如图，在平行六面体中，（ ）A. B. C. D.3.已知，则的坐标为（ ）A. B. C. D.4.如图，已知正方体的棱长为（ ）A.1 B. C. D.5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（ ）A. B. C.3 D.6.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（ ）A. B. C. D.7.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是（ ）A. B. C. D.或9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，则两点间的距离为（ ）A. B. C. D.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D.二填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为_.12.已知向量且，则_，_.13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为_.14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的余弦值为_；在的投影向量_.15.以下关于空间向量的说法：若非零向量满足，则任意向量满足若为空间向量的一组基底，且，则四点共面已知向量，若，则为钝角其中正确命题的序号是_.三解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.（1）求证：；（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离.17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.如图，在平行六面体中，与相交于点，设.（1）试用基底表示向量；（2）求的长；（3）求直线与直线所成角.19.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.参考答案一选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.【详解】依题意，则.故选：C2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】故选：C3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，所以故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，且，所以.故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.【详解】，且分别是平面的法向量，则，则有，故，则.故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【详解】直线方向向量，直线方向向量，所以两向量夹角为，直线和所成角为，故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，与不能构成空间基底；故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，所以，因为点关于轴的对称点为点，所以，所以，故选：D10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得，又分别是的中点，所以，且，所以即为异面直线和的夹角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夹角的余弦值为.故选：A二填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或【分析】求出，再根据求解即可.【详解】因为向量，所以，所以，所以与共线的单位向量为或.故答案为：或.12.【答案】（1）（2）【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，当时，所以，所以；因为，所以.故答案为：；.13.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到直线的距离.【详解】如图，过点作于点由题意得，所以.故答案为：3.14.【答案】【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，在的投影向量为.故答案为：.15.【答案】【分析】根据向量共线定理可判断；由向量数量积的运算律可判断；根据可判断；当时可判断.【详解】对于，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，故，所以，故正确；对于，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故不正确；对于，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，且，所以，则四点共面，所以正确；对于，当时，反向共线，有为，所以不正确.故答案为：.三解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；（3）.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.【小问1详解】因为是正方体，故可得面，又面，故可得.【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：则可得：，设平面的法向量为，则，即，取，可得，故平面的一个法向量为.【小问3详解】设点到平面的距离为，则.故点到平面的距离为.17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以设平面的法向量为，所以，即，令，所以，即为平面的一个法向量，所以，又因为平面，所以平面；【小问2详解】由（1）知，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】【小问2详解】，所以，由（1）知，所以，所以；【小问3详解】，所以与所成角为，所以直线与直线所成角为.19.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可证明；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系如图.设底面边长为，则高.于是，故，从而.（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求角为，则平面与平面的夹角为.（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且.设，则而，即当时，而不在平面内，故平面.