陕西省重点高中2023-2024学年高二上学期期中试题 数学[含答案]

高二数学试题（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 2. 下列关于空间向量的说法中正确的是()A.若向量，平行，则，所在的直线平行B.若，则，的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足，则 D.相等向量其方向必相同3. 已知点若直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是()A B C或 D4. 如图1，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则() 图1 ABCD5. 已知、，则原点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，则下列选项错误的是（ ）A. 两圆的圆心距离是B. 两圆有条公切线C.两圆相交D. 公共弦长7.如图2，平面，平面，与平面成30角，则间的距离为() 图2A B C. D. 8. 若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A B C D二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）A. 直线一定过定点 B. 的充要条件是C.若，则 D. 点到直线的距离的最大值为10. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）ABCD11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图3所示，已知它的近地点(离地心最近的一点)距地面，远地点(离地心最远的一点)距地面，并且三点在同一直线上，地球半径约为，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则() 图3A BC D12. 如图4，在菱形中，沿对角线将折起，使点之间的距离为，若分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（ ）图4A平面平面B线段的最小值为C当，时，点D到直线的距离为D当分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）13. 已知圆与圆外切，则_14. 已知，是空间两个向量，若，则_.15. 已知正方形，以该正方形其中一边的端点为焦点，且过另外两点的椭圆的离心率为_16. 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分8分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.与直线垂直；过点；与直线平行.问题：已知直线过点，且_.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于点，求弦的长.18. （本小题满分8分） 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是.（1）求椭圆的标准方程； （2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求的面积19. （本小题满分8分） 如图5，在正方体中，为的中点. 图5（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分8分） 已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程.21. （本小题满分8分） 中国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍是茅草屋顶”现有一个刍甍如图6所示，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，图6(1)当点为线段的中点时，求证：直线平面；(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围 高二数学试题答案一 选择题12345678BDDAADCC二 选择题9101112ACDBCABDABD三 填空题13. 14. 15. 16.四 解答题17. 【解析】方案一选条件.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.（4分）（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）方案二选条件.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即. （4分）（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）方案三选条件.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为.依题意，直线的方程为，即. （4分）（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）第（2）问也可以用弦长公式求解18. 解析：(1)由题意知，椭圆的标准方程是1； （4分）（2）由已知a2，b，所以c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入解得|PF1|，SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202.因此所求PF1F2的面积是. （8分） 19. (1)证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，设平面的法向量为，由于，可得，可取，因为，所以，又平面，所以平面； （4分）(2)，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为. （8分）20. 解(1)设M(x，y)，动点P(x0，y0)，由中点坐标公式得解得x02x4，y02y，又由xy36，得(2x4)2(2y)236，即(x2)2y29，点M的轨迹方程是(x2)2y29. （4分）(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x0，与圆M交于A(0，)，B(0，)，此时x1x20，不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykx3，则由消去y，得(1k2)x2(46k)x40，则(46k)244(1k2)0，x1x2，x1x2.由，得xxx1x2，即(x1x2)2x1x2，整理得7k224k170，k1，k，经检验0.此时直线l的方程为xy30或17x7y210.综上：直线l的方程为xy30或17x7y210. （8分）21. 【解析】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且，所以，因为，且四边形ABCD为正方形，故，所以，而平面，故平面； （4分）（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为，设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面，连接平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由题意可知四边形为等腰梯形，故,平面，故平面，故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，因为，则，又，故，设到底面的距离为h，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且，故，故，则，设平面的一个法向量为，则，令，设平面的一个法向量为，则，令，故，令，则，令，则，令，则在上单调递增，故当时，当时，故，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为. （8分）