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2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO+OB=DO+OC，则四边形ABCD是()A. 空间四边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 矩形2.已知向量a=4,2,3，b=1,5,x，满足ab，则x的值为()A. 2B. 2C. 143D. 1433.直线 3xy4=0的倾斜角是()A. 30B. 60C. 120D. 1504.已知椭圆x2k+2+y27=1的一个焦点坐标为0,2，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 815.已知直线l1:2x+2y1=0,l2:4x+ny+3=0，l3：mx+6y1=0，若l1/l2且l1l3，则m+n的值为()A. 10B. 10C. 2D. 26.已知圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y26x+5=0，则两圆的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离7.若圆C经过点A2,5，B4,3，且圆心在直线l：3xy3=0上，则圆C的方程为()A. x22+y32=4B. x22+y32=8C. x32+y62=2D. x32+y62=108.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P,Q分别是线段CC1,BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ/平面ABC1D1,PQRQ，且P、Q不是正方体的顶点，则PR的最小值是() A. 305B. 2 33C. 52D. 304二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，以下说法正确的是()A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P,B,A,C四点共面；C. 已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底；D. 若ab0，则a,b是锐角10.已知直线l过直线l1:y=13x+10和l2:3xy=0的交点，且原点到直线l的距离为3，则l的方程可以为()A. x=3B. 4x3y15=0C. 4x3y+15=0D. 3x+4y15=011.在空间直角坐标系Oxyz中，A2,0,0，B1,1,2，C2,3,1，则()A. ABBC=5B. AC=2 3C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530D. 点O到直线BC的距离是3 421412.已知圆C:x2+y2=4，直线l:(3+m)x+4y3+3m=0(mR)，则下列结论正确的是()A. 圆C与曲线x2+y26x8y+m=0恰有三条公切线，则m=16B. 当m=0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1C. 直线l恒过第二象限D. 当m=13时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点(169,49)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.a=(1,3,1)，b=(1,1,3)，则|ab|=14.已知圆C1的方程x+32+y22=5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A5,0，则圆C2的标准方程为_15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|=|AB|，若BAF=6，则椭圆C的离心率是16.在如图所示的三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACB=90，CA=8，PA=6，D为AB中点，E为PAC内的动点(含边界)，且PCDE.当E在AC上时，AE= ；点E的轨迹的长度为四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)设x,yR，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,4,2)，且ab，b/c(1)求a+b；(2)求向量a+b与2a+bc夹角的大小18.(本小题12分)已知ABC的顶点A(1,3)，B(3,1)(1)求直线AB的方程；(2)若边AB上的中线CM所在直线方程为2x3y+p=0，且ABC的面积为5，求顶点C的坐标19.(本小题12分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，点D(0, 3)在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP(1)求椭圆M的方程及离心率；(2)求证：ABAP20.(本小题12分)已知直线l：y=kx+1kR与圆C：x+22+y32=1相交于A，B不同两点(1)求k的范围；(2)设M是圆C上的一动点(异于A，B)，O为坐标原点，若OAOB=12，求MAB面积的最大值21.(本小题12分) 如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2 2,E为线段DC的中点，ADE沿直线AE折起，使得DC= 6，如图乙(1)求证：BE平面ADE；(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置22.(本小题12分)已知圆心在原点的圆被直线y=x+1截得的弦长为 14.(1)求圆的方程；(2)设动直线y=kx1k0与圆C交于A,B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；答案和解析1.【答案】B解：由已知得AB=DC，即AB,DC是相等向量，因此AB,DC的模相等，方向相同，即四边形ABCD是平行四边形.故选B2.【答案】A解：ab，a=4,2,3，b=1,5,x41+25+3x=0，解得x=2故选：A3.【答案】B解：直线 3xy4=0的斜率为 3，则由tan= 3,0,，知=3，即=60故选：B4.【答案】A解：椭圆x2k+2+y27=1的一个焦点坐标为(0,2)，可得2= 7(k+2)，解得k=1故选：A5.【答案】C解：由题意42=n231，n=4，2m+12=0，m=6，所以m+n=2故选：C6.【答案】B解：因为圆C1：x2+y2=1的圆心0,0，半径为1，圆C2：x2+y26x+5=0即x32+y2=4的圆心3,0，半径为2，所以两个圆的圆心距C1C2=3，又两个圆的半径和为2+1=3，所以圆C1与圆C2的位置关系是外切故选：B7.【答案】A解：圆C经过点A2,5，B4,3，可得线段AB的中点为3,4，又kAB=5324=1，所以线段AB的中垂线的方程为y4=x3，即xy+1=0，由xy+1=03xy3=0，解得x=2y=3,即C2,3，圆C的半径r= 222+532=2，所以圆C的方程为x22+y32=4故选：A8.【答案】A解：因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以AB平面BCC1B1，B1CBC1，因为B1C平面BCC1B1，所以ABB1C，因为ABBC1=B，AB,BC1平面ABC1D1，所以B1C平面ABC1D1，如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，B11,1,1，C0,1,0，设P0,1,z，Qx,x,0，Ry,0,0，x,y,z0,1PQ=x,x1,z，RQ=xy,x,0，B1C=1,0,1，因为PQ/平面ABC1D1，所以B1CPQ=x+z=0，因为PQRQ，所以PQRQ=xxy+xx1=0，即2xy=1，PR= y2+1+z2= 2x12+1+x2= 5x24x+2，所以当x=25时，PR最小，最小为 305故选：A9.【答案】ABC解：对选项A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确对选项B，因为OP=16OA+13OB+12OC，且16+13+12=1，所以P,B,A,C四点共面对选项C，因为a,b,c是空间的一组基底，所以a,b,c不共面，则a,b,a+c也不共面，m=a+c，即a,b,m也是空间的一组基底，故 C正确；对选项D，若ab0，则a,b0,2，故 D错误故选：ABC10.【答案】AC解：由y=13x+103xy=0解得x=3,y=9，即交点为3,9，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时原点到直线l的距离为3，符合题意，A选项正确当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y9=kx3，即kxy+93k=0，由00+93k 1+k2=3解得k=43，直线l的方程为43xy+94=0,4x3y+15=0，C选项正确故选：AC11.【答案】AC解：对于A，A2,0,0，B1,1,2，C2,3,1，依题意，AB=(1,1,2),BC=(1,2,3)，ABBC=1+26=5，故 A正确；对于B，AC=(0,3,1)，|AC|= 02+32+12= 10，故 B错误；对于C，OB=1,1,2，OB= 6，因为cosOB,AC=OBAC|OB|AC|=1 6 10= 1530，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530，故 C正确；对于D，因为OB=1,1,2，BC=(1,2,3)，OB在BC上的投影为OBBC|BC|=3 14，所以点O到直线BC的距离是 |OB|23 142= 6914=5 4214，故 D错误故选：AC12.【答案】ACD【解答】解：由题意可得：圆C的圆心C(0,0)，半径r1=2，对A:曲线x2+y26x8y+m=0化简为(x3)2+(y4)2=25m，当25m=0，即m=25时，表示点C1(3,4);当25m25时，不表示任何图形;当25m0，即m25时，表示圆心C1(3,4)，半径r2= 25m2的圆，若圆C与曲线x2+y26x8y+m=0恰有三条公切线，则m25 (03)2+(04)2= 25m+2解得m=16，故A正确;对B:当m=0时，直线l为3x+4y3=0，所以圆心(0,0)到直线3x+4y3=0的距离d=|3| 32+42=351=r11，故圆C上有四个点到直线l的距离都等于1，故B错误;对C:由直线l:(3+m)x+4y3+3m=0(mR)，整理得：m(x+3)+(3x+4y3)=0，令x+3=03x+4y3=0，解得x=3y=3.即直线l经过定点(3,3)，故C正确;对D:当m=13时，直线l的方程为4x+y+9=0，设点P(t,94t)，且C(0,0)，则线段PC的中点M(t2,9+4t2)，且|PC|= t2+(9+4t)2，以线段PC为直径的圆M的方程为(xt2)2+(y+9+4t2)2=12 t2+(9+4t)22，整理得x2+y2tx+(9+4t)y=0，圆C的方程为x2+y2=4，则两圆的公共弦的方程为4tx+(9+4t)y=0，整理得(4yx)t+9y+4=0，令4yx=09y+4=0解得x=169y=49即直线AB经过点(169,49)，故D正确13.【答案】6解：a=(1,3,1)，b=(1,1,3)，ab=(2,4,4)，|ab|= 22+(4)2+42=6故答案为614.【答案】x+32+y22=68解：依题意，圆C2的圆心C2(3,2)，则半径r=|C2A|= (35)2+22=2 17，所以圆C2的标准方程为x+32+y22=68故答案为：x+32+y22=6815.【答案】 31解：设右焦点为F，连接AF，BF.因为2|OF|=|AB|=2c，即|FF|=|AB|，可得四边形AFBF为矩形在RtABF中，|AF|=2ccosBAF= 3c，|BF|=2csinBAF=c由椭圆的定义可得|AF|+|AF|=2a，所以2a=( 3+1)c，所以离心率e=ca=2 3+1= 31故答案为 3116.【答案】4；125解：因为PA平面ABC，AC,BC平面ABC，所以PAAC,PABC，又ACB=90，所以ACBC，又PAAC=A,PA,AC平面PAC，所以BC平面PAC，过Ax/BC，如图建立空间直角坐标系，则A0,0,0,C0,8,0,P0,0,6，设BC=a，所以Ba,8,0，则Da2,4,0当E在AC上时，设E0,c,0，因为PCDE，所以PCDE=0,8,6a2,c4,0=0+8c32+0=0，故c=4，则E0,4,0所以AE=4；E为PAC内的动点(含边界)时，如图，取AC中点F，过F作FGPC，垂足为G由可得PCDF，又FGPC，DFFG=F,DF,FG平面DFG，所以PC平面DFG，因为FG平面PAC，所以PCFG即E在线段FG上运动时，PCDE，点E的轨迹为线段FG则FG=FCsinPCA=4PAPC=26 62+82=125故答案为：4；12517.【答案】解：(1)由题意，ab，b/c，可得x+y+1=012=y4=12，解得x=1y=2，则a=(1,1,1)，b=(1,2,1)，所以a+b=(2,1,2)，故|a+b|= 22+(1)2+22=3(2)因为2a+bc=(1,4,1)，所以(a+b)(2a+bc)=21+(1)4+21=0，故向量a+b与2a+bc的夹角为218.【答案】解：(1)A(1,3)，B(3,1)，kAB=3113=1，代入点斜式方程得：y3=(x1)，整理得：x+y4=0，即直线AB的方程为：x+y4=0；(2)设C(x0,y0)，CM是AB边上的中线，则M是AB的中点，故M(2,2)，由于M(2,2)在直线方程2x3y+p=0上，则p=2，由两点间的距离公式得：|AB|= (13)2+(31)2=2 2，设C到AB的距离为，则12|AB|=SABC=5，故=5 22，由点到直线的距离公式得=|x0+y04| 1+1=5 22，x0+y04=5或x0+y04=5，由x0+y09=02x03y0+2=0或x0+y0+1=02x03y0+2=0，解得：x0=5y0=4或x0=1y0=0，故C(5,4)或(1,0)19.【答案】解：(1)由题可知：2c=2,b= 3，又a2=b2+c2所以c=1,a=2故椭圆M的方程为x24+y23=1，离心率e=ca=12(2)设点Ax1,y1,Bx1,y1,Px0,y0由点C是线段AH的中点，所以Cx1,y12由x124+y123=1，x024+y023=1则：y02y12x02x12=34由B,C,P三点共线，所以kBC=kBPkBC=3y122x1=3y14x1,kBP=y0+y1x0+x1则3y14x1=y0+y1x0+x1y1x1=4y0+y13x0+x1kABkAP=y1x1y0y1x0x1=4y0+y13x0+x1y0y1x0x1即kABkAP=43y02y12x02x12=4334=1所以ABAP20.【答案】解：(1)直线l与圆C交于两点，2k3+1 1+k21，解得4 73k4+ 73(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，将y=kx+1代入方程x+22+y32=1，整理得1+k2x2+41kx+7=0，x1+x2=4k11+k2，x1x2=71+k2，OAOB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(k1)1+k2+8=12，解得k=1，由(1)知14 73,4+ 73，所以直线l的方程为y=x+1，可知圆心2,3在直线l上，AB是圆C的直径，且AB=2，M是圆C上的一动点(异于A，B)，M到直线l的最大距离即为半径为1，MAB面积的最大值为1212=121.【答案】解：(1)证明：如图所示，取AE中点O，则由题意可得DOAE，且DO=12AE=1，由平面图形易得OC= 5，又DC= 6，DO2+OC2=DC2，DOCO，又DOAE，且COAE=O，CO,AE平面ABCE，DO平面ABCE，又BE平面ABCE，BEDO，又易知BEAE，且DOAE=O，DO,AE平面ADE，BE平面ADE；(2)取AB的四等分点F，AF=14AB= 22，则易得OFAB，取BC的中点P，则OPOF，建立如图的空间直角坐标系，则根据题意可得：A( 22, 22,0)，B( 22,3 22,0)，C( 22,3 22,0)，E( 22, 22,0)，D(0,0,1)，设H( 22,t,0)，t 22,3 22，则CD=( 22,3 22,1)，CH=( 2,t3 22,0)，设平面DHC的法向量为n=(x,y,z)，则nCD= 22x3 22y+z=0nCH= 2x+(t3 22)y=0，取n=(3 22t,2 2,3+ 2t)，又根据(1)知平面ADE的法向量为EB=( 2, 2,0)，|cos|=|62 2t+4|2 (3 22t)2+8+(3+ 2t)2=cos4，|5 22t| (3 22t)2+8+(3+ 2t)2=1，又t 22,3 22，解得t= 22，FH= 22，H为AB的中点，故存在AB的中点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为422.【答案】解：(1)圆心0,0到直线y=x+1的距离d=1 2，由圆的性质可得r2=d2+ 1422=4，所以，圆的方程为x2+y2=4；(2)设Nt,0,Ax1,y1,Bx2,y2，由x2+y2=4y=kx1得，k2+1x22k2x+k24=0，所以x1+x2=2k2k2+1,x1x2=k24k2+1.若直线AN与直线BN关于x轴对称，则KAN=KBNy1x1t+y2x2t=0，即kx11x1t+kx21x2t=0x11x1t+x21x2t=0，即x11x2t+x21x1t=0，化简得2x1x2t+1x1+x2+2t=0，代入韦达定理2k24k2+12k2t+1k2+1+2t=0，即k24k2t+1+tk2+1=0t=4所以当点N为4,0时，直线AN与直线BN关于x轴对称；
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