北京市海淀区2024−2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题[含答案]

北京市海淀区20242025学年高二上学期10月阶段考试数学试题一、单选题（本大题共12小题）1在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（）ABCD2在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）ABCD3若，且，则（）A，B，C，D，4长方体中，则点到直线的距离为（）ABCD5正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（）ABaCD6如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（）ABCD7为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）A10B12C18D248“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（）A8B8.5C9D109下列四个说法：若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；空间的任意两个向量都是共面向量；若两条不同直线的方向向量分别是，则/；若两个不同平面的法向量分别是且，则/其中正确的说法的个数是（）A1B2C3D410已知点，则向量在向量上的投影向量的模为（）AB1CD11冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2（2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4（4）均值为2，标准差为A（1）（3）B（3）（4）C（2）（3）D（2）（4）12如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（）存在点，使得不存在点，使得平面三棱锥的体积是定值不存在点，使得与所成角为ABCD二、填空题（本大题共6小题）13已知两条异面直线对应的方向向量分别是，则异面直线的夹角为 14某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为 分.15已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为 .16如图，平行六面体中，则线段的长度是 .17已知空间向量（1）若，且，则 ；（2）若共面，在以下三个条件中，选取一个作为已知，则的值可以为 18如图，在正方体中，为棱的中点动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：存在点，使得；的面积越来越大；四面体的体积不变所有正确的结论的序号是 三、解答题（本大题共6小题）19某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图(1)估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前，估计该同学的成绩不低于多少分？20记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若时，求的面积.21如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点(1)以为一组基底表示向量；(2)若，求22如图所示，点分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的余弦值.23如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，是的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求三棱锥的体积24对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.参考答案1【答案】D【详解】点A的坐标为.故选：D2【答案】A【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3【答案】B【详解】由题意，向量，因为，可得，即，解得.故选：B.4【答案】A【详解】，到直线的距离为.故选：A.5【答案】C【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为故选：C6【答案】B【详解】设向量，且，可得，则，所以，所以，且，所以.故选：B.7【答案】A【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从学校中应抽取的人数为人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.8【答案】C【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C9【答案】D【详解】试题分析：若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，正确空间的任意两个向量都是共面向量，正确若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则，正确若两个不同平面，的法向量分别是，且，则其中正确的说法的个数是4考点：空间向量的概念10【答案】D【详解】根据题意：，向量在上的投影向量的模为.故选：D.11【答案】D【详解】将 7 个数由小到大依次记为、 、.对于（1）选项，反例：、，满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求；对于（2）选项， 假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则 ，平均数为 ，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求；对于（3）选项，反例：、 、 、，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要求；对于（4）选项， 假设，即该公司发生群体性发热，若均值为2 ，则方差为，即，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求.故选：D12【答案】A【详解】对于，在正方体中，则四边形为平行四边形，所以，而为线段的中点，即为的中点，所以，若存在点，使得，且、不重合，则，这与矛盾，假设不成立，错；对于，若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，因为，、面，则面，所以存在使得平面，错；对于，在正方体中，所以，四边形为平行四边形，则，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，错；对于，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图示空间直角坐标系，则、，且，所以，则，整理可得，解得，合乎题意，所以，存在点，使得与所成角为，错.故选：A.13【答案】【详解】由已知，由于异面直线夹角的取值范围为所以异面直线的夹角为.故答案为：14【答案】95【详解】设所求平均成绩为，由题意得，.故答案为：9515【答案】【详解】依题意.所以方差为.故答案为.16【答案】.【详解】根据平行四边形法则可得，所以，所以，故答案为：.17【答案】 或或(只需写出一个)【详解】(1)当时，因为，所以，因为，所以，解得；(2)因为共面，所以由空间向量的基本定理可知，选，则，故，解得；选，则，故，解得；选，则，故，解得；综上所述，的值可以为或或.故答案为：；或或.18【答案】【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设，则，令，解得：，所以存在点，使得，故正确；，设点到直线距离为，则，所以，因为，动点沿着棱从点向点移动，所以从逐渐变到，随着的变大，的面积越来越小，错误；以为底，高为点到上底面的距离，因为底面，所以不变，所以四面体的体积不变，正确故答案为：19【答案】(1)83.5(2)92分【详解】（1）因为，所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5（2）因为这组数据占总数的，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前，所以所以可以估计该同学的成绩不低于92分20【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理得，则，又因为，可得，因为，所以.（2）由（1）知，且，因为，由正弦定理，可得，又由，所以的面积为.21【答案】(1)；(2).【详解】（1）为线段的中点，；（2）22【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为，所以，又因为平面，所以平面.（2）解：由（1）知，平面的一个法向量为，且，可得，所以点到平面的距离为.（3）解：在正方形中，可得，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，由（1）知，平面的一个法向量为，设二面角所成角的角为，且，所以，所以二面角所成角的余弦值为.23【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；(3)先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.【详解】(1)因为是等边三角形，是的中点，所以 平面，又平面平面，平面平面，所以平面；(2)记的中点为，易知两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，设平面的一个法向量为，则令，此时 设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角为；(3)设点到平面的距离为，则 由平面几何知识，易知在直角梯形中，所以24【答案】（1）（2）不存在（3）【详解】（1）由于，由定义， 可得.（2）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，使得，.因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，不妨设的第个分量变化了次之后变成，所以将中所有分量 变为 共需要 次，此数为奇数.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在维向量.（3）存在正整数使得为维向量序列中的项，此时.