第5章偏微分方程数值解课件

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第5章偏微分方程数值解ppt课件,5.1,问题的提出,包含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。从实际问题中归纳出来的常用偏微分方程可分为三大类：波动方程、热传导方程和调和方程。,考虑一个动态的传热过程，且不忽略纵向的热传导，就可以得到以下的偏微分方程：,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,1,、,波动方程,其中：为初值条件,为边值条件,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的混合问题。,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,x,t,0,(a),初值问题,t,x,0,l,(b),混合问题,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,图,5-1,初值问题和混合问题的定义域,根据5.2节提供的公式，将上面波动方程离散化，得到：,处理后得：,（5-,1,）,（5-,2,）,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：,（5-,3,）,由式,（5-2），,并结合式,（5-3），,就可以从,n,时刻的各点,u,值，计算得到下一时刻的,u,值，这样层层递推，就可以计算出任意时刻，任意位置的,u,值。,x,图5-2 层层递推的计算过程,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,实例,例,5.1：,用数值法求解下面偏微分方程，并写出,VB,程序。,解：,将所求的方程离散化，先假设以下各式：,代入并化简得：,(,计算实例,VB,程序见课本,),（5-,4,）,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,2,、一维流动传热传导方程的混合问题,一维流动传热传导方程的混合问题：,利用,5.2,节中的离散化公式进行离散化，得到其离散化公式：,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,将上式进行处理得到：,（5-,5,）,偏微分方程在 点上进行离散化，且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：,（,i,=1,2.,m,）,图,5-4,隐式格式的计算过程,a,b,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,例,5.2,请计算考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程：,解：首先根据前面的知识，将所求的方程离散化，先假设以下各式：,代入微分方程并化简得：,（5-,6,）,(,计算实例,VB,程序见课本,),总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,3,、稳态导热,/,扩散方程,利用化工知识，我们可以得到下面二维、三维的稳态导热或扩散偏微分方程：,二维：三维：,二维的稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程，其方程示意图见图,5-4,所示。,常见有三种边界条件：,第一类边界条件：,第二类边界条件：,第三类边界条件：,图5-4 方程示意图,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,例下面介绍,3,种迭代格式：,(1),同步迭代：,(2),异步迭代：,(3),超松弛迭代：,当计算范围,R,为 矩阵区域，,x,方向,m,等分，,y,方向,n,等分，那么最佳松弛因子：,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,实例,例5.3：处于传热平衡状态的某保温，假设其形状为长方体，在,x，y,两个方向上存在热传导，且导热系数相等，已知边界温度分布如下图所示：,1,x,y,1,0,(1,1),试列出其传热微分方程，并求出各点的温度分布（间隔以），并画出温度分布图。,图,5-8,边界温度分布,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,+（）=0,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,实例,解：取某一微元进行能量衡算，由于已达传热平衡状态，故可得,传导入热量,-,传导出热量,=0,图,5-9,导热分析,化简得：,(,计算实例,VB,程序见课本,),总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,计算结果,：,x,y,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,0,30,40.8,73.2,127.2,202.8,300,0.2,84,104.53,134.89,178.09,234.13,300,0.4,138,158.45,183.73,216.13,255.65,300,0.6,192,207.54,225.46,247.06,272.34,300,0.8,246,254.26,263.5,274.3,286.66,300,1.0,300,300,300,300,300,300,5.3,几种常见偏微分方程的离散化计算,实例,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4,吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例,5.,4.1,基本设定及假设,5.,4.2,流体传热模型的建立,5.,4.3,吸附床内吸附剂传热传质模型的建立,5.,4.4,吸附器壁面温度轴向分布方程,5.4.5,吸附器内,/,外无因子化方程,5.4.6,模型的离散化,5.4.7,模型的数值求解及计算机程序介绍,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.1,基本设定及假设,1.,吸附器结构参数的设定,2.吸附床外流体传热,的一些基本假设：,(1),忽略流体在环隙宽度,上的温度梯度；,(2),忽略热损失；,(3),忽略吸附器壁厚,b,上的温度梯度，用集中参数法求取吸附器壁面温度。,图,5-11,吸附器结构示意图,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.1,基本设定及假设,.吸附床内传热传质的一些基本假设,:,(1),吸附床内的吸附质气体处于气滞状态；,(2),忽略蒸发器、冷凝器和吸附床之间的压力差；,(3),吸附床内各计算微元内达到吸附平衡。吸附量可利用回归方程计算；,(4),吸附热利用微分吸附热，随吸附量和吸附温度的改变而改变；热采用有效比热，亦随温度改变，但在计算微元内，可认为是常数；,(5),床层活性炭导热系数采用当量导热系数，其具体数值利用实验测量值。,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,在轴方向上取一环隙微元，见图，,作能量分析如下：,(1),流体通过流动流入环隙,微元的能量,其中,f,为流体的密度,u,f,为环隙的流体速度，,S,f,为环隙的横截面积，,C,pf,为流体的比热。,(2),流体通过流动流出环隙微元的能量,图,5-12,流体传热微元模型,5.4.2,流体传热模型的建立,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.2,流体传热模型的建立,(3),流体热传导在,x,处的热量导入,(4),流体,热传导在,x,+,x,处的热量导入,(5),微元体传递给吸附床的热量,q,t,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.2,流体传热模型的建立,(6),微元体内的能量变化率,(7),总,能量平衡方程,其中 ，,为流体的横截面积。,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,吸附床内的热量传递主要以热传导为主，既有经向的热传导，也有轴向的热传导，为了便于建模分析，我们选取如图,5,-8,的吸附床微元体，具体分析如下：,(1),轴向热量导入,5.4.3,吸附床内吸附剂传热传质模型的建立,图5,-13,吸附床内传热传质微元体,x,+,x,r,r,+,r,x,x,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.3,吸附床内吸附剂传热传质模型的建立,(2),轴向热量导出,(3),径向热量导入,(4),径向热量导出,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.3,吸附床内吸附剂传热传质模型的建立,(5),微元体内的能量变化率,其中,，,为吸附床层内的有效比热。,(6),总能量平衡方程,其中,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,和前面的分析方法一样，通过微元能量平衡方程并作适当化简可得：,其中 为吸附器壁面的横截面积。,5.4.4,吸附器壁面温度轴向分布方程,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,对变量作以下无因子化处理：,5.4.5,吸附器内,/,外无因子化方程,通过以上的无因子化处理，可得吸附器内、外无因子化传热传质方程如下：,（5-,7,）,（5-,8,）,（5-,9,）,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,5.4.5,吸附器内,/,外无因子化方程,其中：,初始条件为,边,界,条,件,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,对前面偏微分方程作以下离散化处理：,5.4.6,模型的离散化,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,将以上的离散化表达式代入方程(5-,7),(5-,9),，可得：,5.4.6,模型的离散化,对初始条件及边界条件亦作以下离散化处理：,（5-,10,）,（5-,11,）,（5-,12,）,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,利用上述离散化方程，并结合边界条件和初始条件的离散化就可以依次算出不同时刻，不同空间位置的温度。方程收敛的条件是方程右边各项的系数大于零，否则离散化方程是发散的。,为保证收敛，无因子时间步长必须比无因子空间步长小两个数量级以上。,如果想获得绝对收敛的离散化方程，则只要将对时间的向前差分格式改成向后差分格式即可，但此时的离散化方程是隐式格式，需联立求解方程组，整个计算过程的计算框图请见图5-,14,。,5.4.7,模型的数值求解及计算机程序介绍,总目录,本章目录,5.1,5.2,5.3,5.4,