理想流体的动力学基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 理想流体的动力学基础,本章研究无粘性流体运动参量及所受的力与动量之间的关系。首先导出理想流体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗米柯形式，并在特殊条件下积分得到能量关系式。,第一节 理想流体运动微分方程,在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。,如图：,o,z,x,y,p-p,/,y,d,y,/2,p+p,/,y,d,y,/2,Q,A,(,x,y,z,),在流体中取平行六面微元体，边长,d,x,，d,y,，d,z,。在某时刻,t,，中心,A,（,x,y,z,）处，压强,p,（,x,y,z,t,）,，中心速度,v,分量,v,x,，,v,y,，,v,z,。因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，只有法向压力。,先看质量力，,F,Q,分力：,再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上微小量，于是：,在,y,轴方向表面力,按第二定律，产生,a,y,加速度，,m=,d,x,d,y,d,z,同理得,x,，,z,方向即：,（4-1）,向量：,（4-）,(4-1),变形,（4-）,向量：,（4-）,这就是理想流体运动运动微分方程,欧拉方程,。,（4-3）,中未知量：,对静止流体,变为,平衡欧拉方程,。,f,x,f,y,f,z,已知，联立连续方程,对不可压缩,=,const,，四个方程封闭可解。,例：对可压流体，加上连续方程，状态方程,=,f,（,p,，,T,）,，封闭。虽然理论上可解，但是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，一般不可解。,第二节,运动微分方程的葛罗米柯兰姆形式,代入,（4-3）,，有：,向量：,（4-6）,假定：（,1,）质量力是有势力，存在力函数,U,（,x,y,z,t,），有,。,(2）,=f,(,p,)，,p,(,x,y,z,t,),，,引入压力函数,微分,（4-7）,d,x,d,y,d,z,系数相同，于是：,对于,=,const,，,展开：,对等温下，可压缩流体：,有,对等熵变化,于是,（4-5）,式变为,即为,葛罗米柯兰姆形式,。,由此可见：运动有有旋、有势之分。,第三节 恒定有旋流动沿流线的伯努利方程,先做如下假定：,（）理想流体恒定流动；,（）质量力有势；,（）正压流体，,（）沿流线积分。,由条件（,1,）,；,葛罗米柯形式含有,（2），（3）,两个条件。,于是变为,对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分即沿迹线积分。,由于,dl=v,d,t,，,dl,分量为,d,x,d,y,d,z,，,d,x,=,v,x,d,t,d,y,=,v,y,d,t,，d,z,=,v,z,d,t,.,将上式各式左边分乘,d,x,d,y,d,z,，右边分乘,v,x,d,t,，,v,y,d,t,，,v,z,d,t,，相加，有,对不同流线，,C,l,不同，而在同一流线上，势能，压力能，动能之和为常数。,积分,我们是在有旋条件下得到，而在结果上却与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质量力有势，恒定沿流线即可。,第四节 恒定有势流动中的欧拉积分,恒定流动，,有势则：,葛兰方程变成,与,x,y,z,无关，也与,t,无关，分乘,d,x,d,y,d,z,，,相加，再积分：,此为,欧拉积分,。,说明,：只要理想，正压，流体在有势质量力作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和为常数。与伯努利积分的不同在于,欧拉积分没有沿流线的限制。,代入兰姆方程,：,第五节 非恒定有势流动的拉格朗日积分,与,x,y,z,无关，为,t,的函数，,对于有旋，只在同一流线上才成立。,称,拉格朗日或柯西积分,。,对不可压缩流体，若恒定流动，则变为：,转化为,欧拉积分,。对于任一质点都成立。显然伯努利方程只适用于有旋。,第六节 重力作用下的伯努利方程,对不可压缩流体做恒定流动，则均为：,则,U,=-,gz,，,只不过伯努利方程只对流线适用，有旋。而对欧拉（拉格朗日）积分，对整个流场适用,。,若质量力只有重力，则,f,x,=0，,f,y,=0，,f,z,=-,g,。,为理想不可压缩流体在重力作用下（绝对运动）恒定流动的伯努利方程,。,或,方程简单但重要，注意,限制条件,：,（1）,理想流体，恒定流动；,（2）,不可压缩；,（3）,只有重力作用；,（4）,有旋只适用同一流线，无旋对任一质点 均成立。,第七节 伯努利方程的意义,每一项均表示单位重力液体具有的水头。,（1）,z,研究点相对于基准面的几何高度，称为,位置水头,；,（2）,p,/,g,研究点压强对应的高度，表示与压强相当的液柱高度，称,测压管水头,；,（3）,v,2,/2,g,速度对应的高度，称速度水头。,1.几何意义,即：,几何高度，测压管高度，测速管高度之和为常数。,若无旋，三项之和为常数，若有旋，沿同一流线三项之和为常数。连接三项和的各点即为到某基准面一定高度的,水平线,。在静力学中，速度头为,0,，,z+p,/,g,=,C,；,z,相同，测压管水头为水平线。,在动力学中，由于,v,2,/2,g,存在，测压管水头不是水平线，随速度头变化而变化，该项也成为动压头。,2.能量意义,每项表示单位重力流体具有的能量,。,z,位置势能；,p,/,g,压力势能；,v,2,/2,g,动能。,而,z+p,/,g,为总位能，即：三项和为位能与动,能之和，即总机械能为常数。,若有旋：同一流线机械能相同，不同流线不,同；对于无旋，各处均相同。,从三项和为常数也可以看出，若其中一项变化，其余的也随着变化，但总和不变，即三种能量可以相互转化，这正是,能量守恒原理,在流体力学中的表现方式。,第八节,相对运动中的伯努利方程,流体在,流体机械,（如：水泵，风机，水轮机）中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对恒定。如图：,x,y,r,1,r,2,1,2,A,v,u,w,o,r,与绝对恒定相比,有如下不同,：,（1）人观察的是质点相对速度，而非绝对速度,；,（2）作用在流体上的质量力；除重力外还有离心力。,叶轮以恒定,转动，若将坐标系,x,o,y,固定在叶轮上,，随叶轮转动，此时质点相对叶轮做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。,取流线,1-2,，流体沿,1-2,流动，流动恒定，,1-2,为迹线。,流线上,A,点，一方面随叶轮以,u,=,r,做牵连运动，另一方面，又以速度,w,相对叶轮运动，故伯努利积分为：,v,=,w,，单位质量上离心力为,2,r，于是，,f,x,=,2,x,，,f,y,=,2,y,，,f,z,=-,g,，,d,U,=,f,x,d,x,+,f,y,d,y,+,f,z,d,z,=,2,x,d,x,+,2,y,d,y,+(-,g,)d,z,，,U,=,2,x,2,/2+,2,y,2,/2-,gz,+,C,=,2,r,2,/2-,gz,+,C,，,伯努利积分变为：,对不可压缩,=const,又,u,=,r,各项除以,g,，,对任意的1，2两点有：,上式称,理想流体微小流束相对恒定流动的伯努利方程,，与绝对运动相比，多了（,u,2,2,-,u,1,2,）/2,g,一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下做的功。,当,r,变化时，离心力做功，,r,不变，不做功。从,r,1,到,r,2,，离心力做功为,：,设：,则：,当,r,2,r,1,时，流体沿离心力方向运动，做正功，称,水泵工况,；此时，,流体从中心进入，从圆周方向切向流出,。,当,r,2,r,1,时，流体沿离心力反方向运动，做负功，称,水轮机工况,。此时，,流体从圆周方向切向进入，从中心流出,。,第九节,非恒定有旋运动中的伯努利积分,非恒定,则葛兰方程为：,假定：流体为正压,，,设在,t,时刻，沿流线取,d,l,微元段，则：,同理：,故,：,以三项分乘葛兰方程左、右端，再相加：,对某瞬时（固定,t,），则：左为全微分，即：,从12积分，,若不可压缩,只有重力，,U,=-,gz,，正压流体,P,=,p,/,令：,是由非恒定造成的，称惯性能头，为当地加速度,所具有的惯性力对单位重量流体所做的功。,注意,，可正可负，由 决定，,对,断面不变,的流束，任意时刻均有相同的加速度，即：,上式变为：,为,1,2,间流线长。,注意：,可用来解决管内匀加速运动流体的,振荡问题,。,本章小结：,1、流体运动微分方程欧拉运动方程,2、GL形式的意义,3、伯努利积分、欧拉积分、拉格朗日积分的条件,4、相对运动的水泵、水轮机工况,5、伯努利积分的物理意义,