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YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,弧段为,AB,其线密度为,“大化小,常代变,近似和,求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例,:,曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,是空间中一条有限长的光滑曲线,义在,上的一个有界函数,都存在,上,对弧长的曲线积分,记作,若通过对,的,任意分割,局部的,任意取点,2,.,定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为,被积函数，,称为,积分弧段.,曲线形构件的质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果,L,是,xoy,面上的曲线弧,如果,L,是闭曲线,则记为,则定义对弧长,的曲线积分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,(1)若在,L,上,f,(,x,y,),1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?,否!,对弧长的曲线积分要求 d,s,0,但定积分中,d,x,可能为负.,3.,性质,（,k,为常数),(,由 组成),(,l,为曲线弧,的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,转 化,定理:,且,上的连续函数,证,:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线,L,的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广,:,设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1)之间的一段弧.,解:,上点,O,(0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算半径为,R,中心角为,的圆弧,L,对,于它的对称轴的转动惯量,I,(设线密度,=,1).,解:,建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算,其中,L,为双纽线,解:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,计算曲线积分,其中,为螺旋,的一,段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周.,解:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,例,5,中,改为,计算,解:,令,则,圆,的形心在原点,故,如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算,其中,为球面,解:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,有一半圆弧,其线密度,解,:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的,引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.定义,2.性质,(,l,曲线弧,的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.已知椭圆,周长为,a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设均匀螺旋形弹簧,L,的方程为,(1)求它关于,z,轴的转动惯量,(2)求它的质心.,解:,设其密度为,(常数).,(2),L,的质量,而,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,作业,P131 3,(3),(4),(6),(7),5,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,P131 3,(3),(4),(6),(7),5,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,备用题,1.,设,C,是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,提示:,分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,L,为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:,如图所示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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