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核心考点突破 2 一、电势与电势差的比较 【典例 1】 一带正电粒子仅在电场力作用下从 A 点经 B、C 运动到 D 点,其速度时间图像如图所示,则 下列说法中正确的是 () A.A 处的电场强度一定小于 B 处的电场强度 B.A、B 两点间的电势差等于 C、B 两点间的电势差 C.A 处的电势一定小于在 B 处的电势 D.CD 间各点电场强度和电势都为零 【解析】选 B。由 v -t 图像可知,带正电的粒子的加速度在 A 点时较大,由牛顿第二定律得知 在 A 点的电场力大,故 A 点的电场强度一定大于 B 点的电场强度,故选项 A 错误；A、C 两点的 速度相等,故粒子的动能相同,因此从 A 到 B 和从 C 到 B 电场力做功相同,由 W=qU 知 A、B 两 点间的电势差等于 C、B 两点间的电势差,故选项 B 正确；由图可知带正电粒子在 A 处的动能 小于在 B 处的动能,由能量守恒可知带正电粒子在 A 处的电势能大于在 B 处的电势能,根据 Ep=q 可知 A 处的电势高于 B 处的电势,故选项 C 错误；从 C 到 D,粒子速度一直不变,故电场 力做功为零,可知 CD 间各点电场强度为零,但电势的零点可人为选取,则电势不一定为零,故 选项 D 错误。 【方法技巧】电势差与电势的对比 电势 电势差 UAB 定义 电势能与电荷量比值: = 电场力做功与电荷量比值:U= 决定 因素 由电场和在电场中的位置决 定 由电场和场内两点位置决定 区 别 相对性 与零电势点选取有关 与零电势点选取无关 联 数值关系 UAB= A- B,当 B=0 时,U AB= A 单位 相同,均是伏特(V),常用还有 kV,mV 等 标矢性 都是标量,但均具有正负 系 物理意义 均是描述电场的性质的物理量 【素养训练】 1.如图所示,A、B、C、D、E、F 为匀强电场中一个正六边形的六个顶点,已知 A、B、C 三点的 电势分别为 1 V、6 V、9 V,则下列说法正确的是 () A.D 点的电势为+7 V B.电子在 A 点的电势能比在 E 点的低 1 eV C.电子从 C 点运动到 F 点,电场力做功 10 eV D.UDE=8 V 【解析】选 A。由于 BC 与 AD 平行,且 2BC=AD,则有 2( B- C)= A- D,解得 D 点的电势为 D=7 V,故 A 正确；由于 AB 与 ED 平行,且 AB=ED,则有 A- B= E- D,解得 E 点的电势为 E=2 V,根据 Ep=q 可知电子在 A 点的电势能比在 E 点的高 1 eV,故 B 错误；由于 BC 与 FE 平行,且 BC=FE,则有 B- C= F- E,解得 F 点的电势为 F=-1 V,根据 WCF=qUCF=q( C- F) 可知电子从 C 点运动到 F 点,电场力做功为-10 eV,即克服电场力做功为 10 eV,故 C 错误； UDE= D- E=7 V-2 V=5 V,故 D 错误；故选 A。 2.如图,在某电场中画出了三条电场线,C 点是 A、B 连线的中点。已知 A 点的电势为 A=30 V,B 点的电势为 B=10 V,则 C 点的电势 () A. C=20 V B. C20 V C. C C- B,得到 C0)的粒子从 a 点移动到 b 点,其电 势能减小 W1；若该粒子从 c 点移动到 d 点,其电势能减小 W2。下列说法正确的是 () A.此匀强电场的场强方向一定与 a、b 两点连线平行 B.若 c、d 之间的距离为 L,则该电场的场强大小一定为 C.若该粒子从 M 点移动到 N 点,则电场力做功一定为 D.若 W1=W2,则 a、M 两点之间的电势差一定等于 b、N 两点之间的电势差 【解析】选 C、D。一电荷量为 q(q0)的粒子从 a 点移动到 b 点,其电势能减小 W1,但 ab 连线 不一定沿着电场线,故 A 错误；若 c、d 之间的距离为 L,但 cd 不一定平行于电场线,故 W2=qELcos,其中 为 cd 与电场线的夹角,不一定为零,故该电场的场强大小不一定为 , 故 B 错误；粒子从 a 点移动到 b 点,其电势能减小 W1,故:q a-q b=W1,粒子从 c 点移动到 d 点,其电势能减小 W2,故:q c-q d=W2,匀强电场中,沿着相同方向每前进相同距离电势的变化 相同,故 a- M= M- c,即 M= ( a+ c),同理 N= ( b+ d),故 q M-q N= ,故 C 正确；若 W1=W2,根据 U= 可知,U ab=Ucd,故 a- b= c- d,则 a- c= b- d,故 Uac=Ubd, 而 Uac=2UaM,Ubd=2UbN,故 UaM=UbN,故 D 正确；故选 C、D。 3.图中实线是一组不知方向的匀强电场的电场线,将电荷量大小 q=110-6 C 的负电荷由 A 点 沿水平方向移到 B 点,电场力做了 210-6 J 的功。A、B 两点间距离为 2 cm,问: (1)匀强电场场强多大?方向如何? (2)A、B 两点间的电势差多大? (3)若 A=0,则 AB 中点 C 的电势为多少? 【解析】(1)由 WAB=qElABcos60得: 匀强电场场强:E= = V/m=200 V/m,因为电场力对负电荷做正 功,所以场强方向沿电场线斜向下； (2)A、B 两点间的电势差:U AB= = V=-2 V (3)由 U=Ed 得 AC 间的电势差:U AC= UAB=-1 V 而 UAC= A- C 故 C=1 V 答案:(1)200 V/m,场强方向沿电场线斜向下 (2)-2 V(3)1 V 二、电场强度的三个公式的比较 【典例 2】(多选)如图所示,实线表示某电场中一簇关于 x 轴对称的等势面,在轴上有等间距 的 A、B、C 三点,则 () A.B 点的场强小于 C 点的场强 B.A 点的场强方向指向 x 轴正方向 C.A、B 两点电势差小于 B、C 两点电势差 D.A、B 两点电势差等于 B、C 两点电势差 【解析】选 A、B、C。等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小,由于 0.4 V 与 0.2 V 两个 等势面间电势差等于 0.6 V 与 0.4 V 两个等势面间电势差,C 处的等势面密,所以 C 点电场强 度较大,故 A 正确；电场线与等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面,故 A 点场强方向指向 x 轴正方向,故 B 正确；等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小,所以 A、B 两点间的平均场强小于 B、C 两点间的平均场强,由公式 U=Ed,可知,A、B 两点电势差小 于 B、C 两点电势差,故 C 正确,D 错误。 【方法技巧】电场强度三个公式的比较 公式 适用范围 说明 E= 任何电场 定义式,q 为试探电荷 E= 真空中点 电荷的电场 Q 为场源电荷,E 表示跟点电荷相距 r 处的某点的场强 E= 匀强电场 沿电场线方向上相距为 d 的两点间的电势差为 U 【素养训练】 1.(多选)如图,空间有平行于纸面的匀强电场,处于该电场中的直角三角形直角边 =20 cm,A=60,AD 是其角平分线。若在直角顶点 B 处有一个射线源,能朝空间各方向射出动能 为 1 000 eV 的电子,则能在顶点 A 和 C 分别探测到动能为 1 100 eV 和 900 eV 的电子,本题 中运动的电子仅需考虑匀强电场的电场力,则可求 () A.AB 间的电势差 B.该匀强电场的场强为 1 000 V/m C.电场强度的方向由 A 指向 D D.整个三角形内,顶点 C 的电势最高 【解析】选 A、B、C。由 B 到 A 由动能定理可得:-eU BA=1 100 eV-1 000 eV=100 eV,即 UBA=- 100 V,即可以求出 AB 间的电势差,故 A 正确；同理可知 BC 间的电势差 UBC=100 V ,所以 AC 间 的电势差为 UAC=100 V-(-100 V)=200 V,再由几何知识可得:AC 在 AD 上的投影是 AB 在 AD 上 投影的 2 倍,这就说明电场的方向一定沿着 AD,并且由 A 指向 D,故 C 正确。由几何知识可得: AB 在 AD 上的投影为 10 cm,所以电场强度的大小为:E= V/m=1 000 V/m 故 B 正确；电场线 方向沿 AD,故在整个三角形内,顶点 A 的电势最高,故 D 错误。故选 A、B、C。 2.(多选)一空间存在匀强电场,电场中 A、B、C、D 四个点恰构成正四面体,如图所示。已知 电场强度大小为 E,方向平行于正四面体的底面 ABC,正四面体棱长为 2 cm。已知 UAC=6 V、U BC=6 V,则可判断 () A.UDC=4 V B.UDC=3 V C.E=200 V/m D.E= V/m 【解析】选 A、C。 如图所示,U AC=6 V,UBC=6 V,则 AB 在同一条等势线上,从 C 点向 AB 作垂线,垂足为 M,则 MC 为 电场线且电场方向由 M 指向 C,由几何关系可得 MC=3 cm,则 E= = 200 V/m,C 正确,D 错误；从 D 点向 MC 作垂线,垂足为 O,则 OC=2 cm,UDC=UOC= 2000.02 V=4 V,A 正确,B 错误。 3.(多选)如图所示,实线为电场线,虚线为等势线,且 AB=BC,电场中的 A、B、C 三点的电场强 度分别为 EA、E B、E C,电势分别为 A、 B、 C,AB、BC 间的电势差分别为 UAB、U BC,则下列关 系中正确的有 () A. A B C B.ECEBEA C.UABUAB,选项 C 正确,D 错误；由电场线的方向是电势降低的方向得,选项 A 正确。 【补偿训练】 1.(多选)如图所示,在水平向右的匀强电场中,在 O 点固定一电荷量为 Q 的正点电荷, a、b、c、d 为以 O 为圆心的同一圆周上的四点,bd 与电场线平行,ac 与电场线垂直,则 () A.a 点的场强可能为零 B.b 点的场强大小大于 a 点的场强大小 C.da 间的电势差大于 dc 间的电势差 D.检验电荷在 a 点的电势能等于在 c 点的电势能 【解析】选 B、D。匀强电场在 a 点的场强向右,+Q 点电荷在 a 点的场强向上,两场强相互垂 直合成不可能为零,故 A 错误；匀强电场的场强方向与+Q 的电场的场强方向在 b 点同向,在 a 点方向垂直,由合成法则可知 b 点的场强大于 a 点的场强,故 B 正确；点电荷的电场,同心圆 上各点的电势相等,所以 da 间的电势差等于 dc 间的电势差,故 C 错误；点电荷的电场,同心 圆上各点的电势相等,ac 与匀强电场垂直,是匀强电场的等势线,所以 a、c 两点的电势相等, 检验电荷在 a 点的电势能等于在 c 点的电势能；故 D 正确。故选 B、D。 2.如图所示,一个质量为 1.010-4 kg 的带电小球,穿过一根光滑的绝缘杆,置于场强为 2.0102 N/C 的水平向右的匀强电场中,杆与水平面夹角为 37。小球刚好匀速下滑,问: (1)小球带的电量为多少? (2)杆上 A、B 两点相距 10 cm,小球由 A 运动至 B 电场力所做的功多大?A、B 两点的电势差 UAB 为多大?(sin37=0.6,cos37=0.8) 【解析】(1)对小球受力分析知小球受向下的重力,杆对球斜向上的支持力以及水平向左的电 场力,由平衡知识可知:tan37= 解得:q= 10-5 C,小球带负电 (2)小球由 A 运动至 B 电场力所做的功 WAB=-EqLcos37=-610-5 J UAB=ELcos37=16 V 答案:(1) 10-5 C,负电 (2)-610-5 J16 V 三、电场中的功能关系 【典例 3】 静电场在 x 轴上的电场强度 E 随 x 的变化关系如图所示,在 x 轴上有四点:x 1、x 2、x 3、x 4,相 邻两点间的距离相等,x 轴正向为场强正方向,带正电的点电荷沿 x 轴运动,则点电荷 () A.x2和 x4两点处电势相等 B.由 x1运动到 x4的过程中加速度先增大后减小 C.由 x1运动到 x4的过程中电势能先增大再减小 D.设电荷从 x2运动到 x1,电场力做功 W1,电荷从 x3运动到 x2,电场力做功 W2,则 W1=W2 【解析】选 B。x 2x 4处场强为 x 轴负方向,则从 x2到 x4处逆着电场线方向移动,电势升高, 正电荷在 x4处电势较大,故 A 错误；由 x1运动到 x4的过程中,由图可以看出电场强度的绝对 值先增大后减小,所以电场力先增大后减小,加速度先增大后减小,故 B 正确；x 1x 4处场强为 x 轴负方向,则从 x1到 x4处逆着电场线方向移动,电势升高,正电荷在 x4处电势能较大,故 C 错误；由于每两点间的距离相等,由图可知,U 32U21,所以 W2W1,故 D 错误。 【方法技巧】电势能与重力势能的比较 两种势能 电势能 重力势能 定义 电场中的电荷具有的势能电势能 重力场中的物体具有的势能重 力势能 系统性 电荷和电场 物体和地球 大小的 相对性 电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到 零势能位置时电场力做的功 物体在某点的重力势能等于把物体 从该点移到零势能位置时重力做的 功 变化大小 的量度 电场力做的功是电势能变化大小的量度,电 场力做的功等于电势能的减少量 重力做的功是重力势能变化大小的 量度,重力做的功等于重力势能的 减少量 对应力做 功的特点 做功多少只与始末位置有关,与经过的路径无关,且做的功等于势能的减少量 【素养训练】 1.(多选)如图所示,ABC 为等边三角形,电荷量为+q 的点电荷固定在 A 点。先将一电荷量也为 +q 的点电荷 Q1从无穷远处(电势为 0)移到 C 点,此过程中,电场力做功为-W。再将 Q1从 C 点 沿 CB 移到 B 点并固定。最后将一电荷量为-2q 的点电荷 Q2从无穷远处移到 C 点。下列说法 正确的有 () A.Q1移入之前,C 点的电势为 B.Q1从 C 点移到 B 点的过程中,所受电场力做的功为 0 C.Q2从无穷远处移到 C 点的过程中,所受电场力做的功为 2W D.Q2在移到 C 点后的电势能为-4W 【解析】选 A、B、D。由题意可知,C 点的电势为 C= = ,故 A 正确；由于 B、C 两点到 A 点(+q)的距离相等,所以 B、C 两点的电势相等,所以 Q1从 C 点移到 B 点的过程中,电场力做功 为 0,故 B 正确；由于 B、C 两点的电势相等,所以当在 B 点固定 Q1后,C 点的电势为 ,所以 Q2从无穷远处移到 C 点过程中,电场力做功为:W=qU=-2q(0- )=4W,故 C 错误；由于 C 点 的电势为 ,所以 Q2电势能为 Ep=-4W,故 D 正确。 2.(多选)如图所示,真空中固定两个等量异种点电荷 A、B,其连线中点为 O。在 A、B 所形成 的电场中,以 O 点为圆心、半径为 R 的圆面垂直于 AB,以 O 为几何中心、边长为 2R 的正方形 abcd 平面垂直圆面且与 AB 共面,两平面边线交点分别为 e、f,g 为圆上一点。下列说法中正 确的是 () A.a、b、c、d、e、f 六点中,不存在场强和电势均相同的两点 B.将一电荷由 e 点沿圆弧 egf 移到 f 点,电场力始终不做功 C.将一电荷由 a 点移到圆面内任意一点时,电势能的变化量相同 D.沿线段 eOf 移动的电荷受到的电场力先减小后增大 【解析】选 B、C。图中圆面是一个等势面,e、f 的电势相等,根据电场线分布的对称性可知 e、f 的场强相同,A 错误；图中圆弧 egf 是一条等势线,其上任意两点的电势差都为零,根据 公式 W=qU 可知:将一电荷由 e 点沿圆弧 egf 移到 f 点电场力不做功,B 正确；a 点与圆面内任 意一点的电势差相等,根据公式 W=qU 可知:将一电荷由 a 点移到圆面内任意一点时,电场力做 功相同,则电势能的变化量相同,C 正确；沿线段 eOf 移动的电荷,电场强度先增大后减小,则 电场力先增大后减小,D 错误。 3.如图所示的匀强电场,电场强度 E=2104 N/C。一电荷量 q=+110-8 C 的电荷从电场中的 A 点移动到 B 点,A、B 之间的距离 d=0.1 m。求: (1)电荷所受电场力 F 的大小； (2)A、B 之间的电势差 U； (3)电场力对电荷做的功 W。 【解析】(1)由电场力的公式有:F=Eq=210 4110-8 N=210-4 N； (2)匀强电场场强处处相同,大小均为 E,则 A、B 两点之间的电势差为:U=Ed=2.010 3 V； (3)在 A 到 B 过程中电场力是恒力,做的功为:W=Uq=2.010 3110-8 J= 2.010-5 J。 答案:(1)210 -4 N(2)210 3 V(3)210 -5 J 【补偿训练】 如图所示,金属板 A,B 与电源相连,电源电压 U=2 V,AB 板间距 d=5 cm,B 板接地。在两板 间有 a、b、c 三点,其连线组成一直角三角形,ab 连线与 A 板垂直,ab 长 L1=3 cm,a 点离 A 板 距离 L2=1 cm。不计电子重力。问: (1)ac 间电势差为多少? (2)一个电子在 a 点具有的电势能为多少? (3)使一个电子从 a 点沿斜边移到 c 点时,电场力做功多少? 【解析】(1)匀强电场的电场强度为: E= = V/m=40 V/m ac 间电势差为:U ac=Uab=EL1=400.03 V=1.2 V； (2)a 点的电势为: a=EdaB=400.04 V=1.6 V 一个电子在 a 点具有的电势能为: Ep=e a=-1.610-191.6 J=-2.5610-19 J； (3)一个电子从 a 点沿斜边移到 c 点时,电场力做功为: W=eUac=eUab=-1.610-191.2 J=-1.9210-19 J。 答案:(1)1.2 V(2)-2.5610 -19 J (3)-1.9210-19 J
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