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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质,第,8,课时 抛物线,1,高考对抛物线的考查时常出现，主要以抛物线定义的灵活运用、求抛物,线的标准方程、抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系为主,2,题目类型有求抛物线的方程，求焦点的坐标，求抛物线的参数值或有关,参数的取值范围等，对抛物线的考查有时也会与椭圆、双曲线、数列等,相结合,3,抛物线是近几年高考考查的热点，抛物线定义、几何性质多在填空题中出,现标准方程的求解通常由待定系数法、定义法及轨迹法解决,【,命题预测,】,1,抛物线定义中的,“,平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,(,l,不经过点,F,),距离相,等,”,这个等量关系可以使解题过程简捷，应注意体会用待定系数法求抛物线方程，就是根据题设中的条件建立,p,的方程，求出,p,的值注意当不能确定抛物线焦点所在的坐标轴时，要分类讨论,2,利用好抛物线的准线方程及焦半径公式，是解决过焦点问题的一个重要途径，应熟练掌握并能灵活运用焦点弦是比较特殊的线段，应能正确地把握住焦点弦的特点并进行相关问题的解答求焦点弦的长时，设直线与抛物线的两个交点为,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，可用公式,|,AB,|,x,1,x,2,p,求解,【,应试对策,】,3,抛物线与向量联系使解析几何与向量有机地结合起来，不仅增加了题目难度还增加了灵活度，是近几年高考的重点考查内容将抛物线的几何性质与导数的几何意义、基本不等式求最值、其他圆锥曲线等知识融于一体，考查运用所学知识分析、解决问题的能力，也是高考重点考查内容,抛物线的几个重要结论,1,以焦半径为半径的圆,：,以,P,为圆心,、,FP,为半径的圆必与准线相切所有这样的圆过定点,F,，,且准线是它们的公切线,2,以焦半径为直径的圆：以焦半径,FP,为直径的圆必与过顶点垂直于对称轴的直线相切所有这样的圆过定点,F,，,且过顶点垂直于对称轴的直线是公切线,【,知识拓展,】,3,以焦点弦为直径的圆：以焦点弦,PQ,为直径的圆必与准线相切所有这样的圆的公切线是准线,4,抛物线,y,2,2,px,上的动点可设为,P,或,P,(2,pt,2,2,pt,),或,P,(,x,0,，,y,0,),，其中,y,2,px,1,抛物线的定义,平,面内到一个定点,F,和一条定直线,l,(,F,不在,l,上,),的距离相等的点的轨迹叫,做,，定点,F,叫做抛物线的,，定直线,l,叫做抛物线的,2,抛物线的标准方程和几何性质,(,如下表所示,),抛物线,焦点,准线,标准方程,y,2,2,px,(,p,0),y,2,2,px,(,p,0),图,形,性,质,范围,准线,方程,x,x,焦点,对称轴,关于,对称,顶点,离心率,e,焦半径,MF,MF,x,轴,(0,0),1,x,0,，,y,R,x,0,，,y,R,标准方程,x,2,2,py,(,p,0),x,2,2,py,(,p,0),图,形,性质,范围,准线方程,y,y,焦点,对称轴,关于,对称,顶点,离心率,e,焦半径,MF,MF,y,0,，,x,R,y,0,，,x,R,y,轴,(0,0),1,思考：,在求抛物线方程时，怎样建立坐标系才能使抛物线方程是标准方程？,提示：,在求抛物线方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴,建立坐标系，这样求出的方程是标准方程,1,(2010,洛阳市高三测试,),若,抛物线,y,2,2,px,的焦点与椭圆 ,1,的右焦,点重合，则,p,的值为,_,解析：,抛物线的焦点为 ，椭圆的右焦点为,(2,0),，由题知，,2,，,p,4.,答案：,4,2,已知点,(,2,3),与抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点的距离是,5,，则,p,的值为,_,解析：,抛物线的焦点为,.,由,5,，得,p,4.,答案：,4,3,设抛物线,y,2,mx,的准线与直线,x,1,的距离为,3,，则抛物线的方程为,_,解析：,抛物线的准线方程为,x,，则,|1,|,3,，,m,8,或,m,16,，,故抛物线方程为,y,2,8,x,或,y,2,16,x,.,答案：,y,2,8,x,或,y,2,16,x,4,若点,P,到点,F,(0,2),的距离比它到直线,y,4,0,的距离小,2,，则,P,的轨迹方程为,_,解析：,由题意知,P,到,F,(0,2),的距离比它到,y,4,0,的距离小,2,，因此,P,到,F,(0,2),的距离与到直线,y,2,0,的距离相等，故,P,的轨迹是以,F,为焦点，,y,2,为准线的抛物线，所以,P,的轨迹方程为,x,2,8,y,.,答案：,x,2,8,y,5,抛物线,y,x,2,(,a,0),的焦点坐标为,_,答案：,(0,，,),1,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化,2,利用抛物线的定义可以求抛物线的标准方程,【,例,1,】,过,抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点,F,任作一条直线,m,，交抛物线于,P,1,、,P,2,两点，求证：以,P,1,P,2,为直径的圆和该抛物线的准线相切,思路点拨：,利用抛物线的定义证明圆的圆心到抛物线的准线的距离等于圆,的半径,证明,：设,P,1,P,2,的中点为,P,0,，过,P,1,、,P,2,、,P,0,分别向准线,l,引垂线，垂足分别为,Q,1,、,Q,2,、,Q,0,，根据抛物线的定义，得,P,1,F,=,P,1,Q,1,，,P,2,F,=,P,2,Q,2,，,P,1,P,2,=,P,1,F,+,P,2,F,=,P,1,Q,1,+,P,2,Q,2,.,P,1,Q,1,P,0,Q,0,P,2,Q,2,，,P,1,P,0,=,P,0,P,2,，,P,0,Q,0,=(,P,1,Q,1,+,P,2,Q,2,)=,P,1,P,2,.,由此可知，,P,0,Q,0,是以,P,1,P,2,为直径,的圆,P,0,的半径，且,P,0,Q,0,l,.,因此，圆,P,0,与准线相切,解析：,过,P,作,PK,l,(,I,为抛物线的准线,),于,K,，则,PF,=,PK,.,PA,+,PF,=,PA,+,PK,.,当,P,点的纵坐标与,A,点的纵坐标相同时，,PA,+,PK,最小此时,P,点的纵,坐标为,1.,把,y,=1,代入,y,2,=-4,x,得,x,=-,，,即当,P,点的坐标为,时，,PA,+,PF,最小,答案,：,变式,1,：,已,知点,A,(,2,1),，,y,2,4,x,的焦点是,F,，,P,是,y,2,4,x,上的点，为使,PA,PF,取得最小值，,P,点的坐标是,_,抛物线上一点与焦点,F,连线的线段叫做焦半径,过焦点,F,的直线与抛物线交于,A,，,B,，则线段,AB,称为焦点弦,通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为,2,p,，这是,标准方程中,2,p,的一种几何意义，而,p,的几何意义则是焦点到准线的距离,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则有：,标准方程,焦半径,AF,焦点弦长,AB,y,2,2,px,(,p,0),AF,x,1,AB,x,1,x,2,p,y,2,2,px,(,p,0),AF,x,1,AB,p,x,1,x,2,x,2,2,px,(,p,0),AF,y,1,AB,p,y,1,y,2,x,2,2,py,(,p,0),AF,y,1,AB,p,y,1,y,2,【,例,2,】,求,抛物线,y,2,2,px,的焦点弦长的最小值,思路点拨：,设焦点弦所在直线,AB,的倾斜角为,，把直线,AB,的方程,写成,y,cos,sin,，焦点弦长用,表示，根据,的取值求最值,解：,设,焦点弦所在直线的倾斜角为,，,则直线,AB,的方程为,y,cos,=sin,，如右图所示,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，由,消去,y,，得,sin2,x,2,-p(2cos2,+sin2,),x,+sin2,=0,，,x,1,+,x,2,=.,AB,=,AF,+,BF,=,x,1,+,x,2,+,p,=,，当,sin2,=1,，,即,=,时，,AB,取最小值,2p.,变式,2,：,过,抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点,F,，引两条互相垂直的弦,AC,，,BD,，求,四边形,ABCD,面积的最小值,解：,由方程组,得,4,k,2,x,2,4,p,(,k,2,2),x,p,2,k,2,0.,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,C,(,x,2,，,y,2,),，由公式,AC,|,x,1,x,2,|,p,，得,AC,x,1,x,2,p,，,同理可得,BD,2,p,(,k,2,1),四边形,ABCD,的面积,S,AC,BD,2,p,2,8,p,2,，当且仅当,k,2,，即,k,1,，,S,min,8,p,2,.,复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质,(1),顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为,y,2,2,ax,或,x,2,2,ay,(,a,0),，此时,a,不具有,p,的几何意义,(2),抛物线的离心率,e,1,，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径，焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化,【,规律方法总结,】,(3),求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定而分成,y,2,2,px,(,p,0),或,y,2,2,px,(,p,0),两种情况求解的麻烦，可以设成,y,2,mx,或,x,2,ny,(,m,0,，,n,0),，若,m,0,，开口向右；,m,0,，开口向左；,n,0,，开口向上；,n,0,，开口向下，因此抛物线的标准方程有四个,.,【,例,3,】,(2009,福建卷,),过,抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点,F,作倾斜角为,45,的直,线交抛物线于,A,，,B,两点，若线段,AB,的长为,8,，则,p,_.,分析：,根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解,【,高考真题,】,规范解答：,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，由题意可知过焦点的直线方程为,y,x,，与抛物线方程联立，得,，消元后得,x,2,3,px,0.,又,AB,8,，,解得,p,2.,答案：,2,本题属于以考查解析几何的基本方法为主的常规试题，试题可以看做是对教材题目的适当加工改造，如人教,A,版选修,2,1,第二章,2.4.2,的练习第,3,题：过点,M,(2,0),作斜率为,1,的直线,l,，交抛物线,y,2,4,x,于,A,，,B,两点，求,AB,.,类似试题也经常出现在往年的高考中，如,2007,年宁夏、海南卷：已知抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点为,F,，点,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),，,P,3,(,x,3,，,y,3,),在抛物线上，且,2,x,2,x,1,x,3,，则有,【,命题探源,】,【,全解密,】,A,FP,1,FP,2,FP,3,B,C,2,FP,2,FP,1,FP,3,D,答案：,C,抛物线焦点弦的主要性质：抛物线,y,2,2,px,(,p,0),过焦点,F,的弦,AB,，若,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则,x,1,x,2,，,y,1,y,2,p,2,，弦长,AB,x,1,x,2,p,.,同样对于抛物线,y,2,2,px,，,x,2,2,py,，,x,2,2,py,，也可得到类似的性质,【,知识链接,】,抛物线焦点弦长的求法,求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得的一般的弦长公式；二是根据抛物
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