附录截面的几何性质

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,附录 截面的几何性质,附录,I.1,静矩和形心,一、静矩,静矩是面积与它到轴的距离之积。,附录,d,A,x,y,y,x,O,二、形心：,(,等厚均质板的质心与形心重合。,),附录,d,A,x,y,y,x,等厚均质,质心：,等于形心坐标,o,例,1,试确定下图的形心。,解,： 组合图形，用正负面积法解之。,1.,用正面积法求解，图形分割及坐标如图,(,a,),附录,80,120,10,10,x,y,C,2,图(,a,),C,1,C,1,(0,0),C,2,(-35,60),2.,用负面积法求解，图形分割及坐标如图,(,b,),图(,b,),C,1,（0,0）,C,2,（5,5）,附录,C,2,负面积,C,1,x,y,同理, I,.,2,惯性矩和惯性半径,二、惯性矩：,(,与转动惯量类似）,惯性矩,是面积与它到轴的距离的平方之积。,附录,d,A,x,y,y,x,r,一、极惯性矩：,极惯性矩,是面积对极点的二次矩。,O,附录,d,A,x,y,y,x,r,O,三、极惯性矩与惯性矩的关系,四、惯性半径,惯性半径,附录,d,A,x,y,y,x,r,惯性积：,面积与其到两轴距离之积。,如果,x,或,y,是图形的对称轴，,则,I,xy,=0,O, I,.,3,惯性积,附录,例,2,求矩形截面对通过其形心且与边平行的,x,、,y,轴的惯性矩,I,x,、,I,y,和惯性积,I,xy,。,解,取一平行于,x,轴的窄长条，其面积为,d,A,bd,y,，,则由惯性矩的定义，得,同理可得,因为,x,、,y,轴均为对称轴，故,I,xy,0,。,附录,例,3,求图示直径为,d,的圆对过圆心的任意轴,(,直径轴,),的惯性矩,I,x,，,I,y,，,及对圆心的极惯性矩,I,P,。,解,首先求对圆心的极惯性矩。,在离圆心,O,为 处作宽度为,的薄圆环，其面积为,则圆截面对圆心的极惯性矩为,由于圆形对任意直径轴都是对称的，,故,I,x,I,y,。,可得,I,x,I,y,I,.,4,平行移轴公式,平行移轴公式,：,（,与转动惯量的平行移轴公式类似）,以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图,附录,d,A,x,y,y,x,r,a,b,C,x,C,y,C,o,注意,:,C,点必须为形心,附录,例,4,求图示圆对其切线,AB,的惯性矩。,解,：求解此题有两种方法：,一是按定义直接积分；,二是用平行移轴定理等知识求。,B,建立形心坐标如图，求图形对形心轴的惯性矩。,附录,A,d,x,y,O,c,ircle,A,附录,例,5,求图示截面图形对过形心,C,的,x,、,y,轴的惯性矩。,解,为求,I,x,、,I,y,将组合图形分割为两个矩形,I,和,。组合截面的惯性矩应为各组成部分的惯性矩之和。,附录,同理,应用平行移轴公式，有,代入上式得,I,.,5,转轴 公式 主惯性轴,一、,惯性矩和惯性积的转轴定理,附录,d,A,x,y,y,x,a,x,1,y,1,x,1,y,1,o,附录,二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩,1.,主惯性轴和主惯性矩：,坐标旋转到,=,0,时；恰好有,与,0,对应的旋转轴,x,0,y,0,称为,主惯性轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。,附录,2.,形心主轴和形心主惯性矩：,主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩,附录,形心主惯性矩：,3.,求截面形心主惯性矩的方法,建立坐标系,计算面积和面积矩,求形心位置,建立形心坐标系；求：,I,yC,，,I,xC,，,I,xCyC,求形心主轴方向,0,求形心主惯性矩,附录,例,6,在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。,(,b,=1.5,d,),解,：,建立坐标系如图。,求形心,C,的位置。,建立形心坐标系；求：,I,yC,，,I,xC,，,I,xCy,附录,C,d,b,2,d,x,y,O,x,C,y,C,x,1,C,附录,d,b,2,d,x,y,O,x,C,y,C,x,1,本章结束,