乘法公式与全概率公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,1.,4 条件概率与三个概率公式,一、条件概率,对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件,B,已经发生，要求另一事件,A,发生的概率。,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若,A,记为“一男一女”，则,P,(,A,),=,1/2；,但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若,A,记为“一男一女”，则,P,(,A,),=,1/2,；,但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为,2/3,.,我们将“已知事件,B,发生的条件下,事件,A,发生的概率”称为,条件概率,，记为,P,(,A,|,B,),。,若记,B,为,至少有一男孩，则,上述,概率,为,条件概率的,计算公式,规定,如下：,例,1,设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。,解,设,A,B,分别表示第一、二次摸到白球,则,法二：,法一:,A,发生后的缩减,样本空间所含样,本点总数,在缩减样本空,间中,B,所含样,本点个数,例,2,设某种动物由出生算起活到,20,年以上的概率为,0.8,，活到,25,年以上的概率为,0.4.,问现年,20,岁的这种动物，它能活到,25,岁以上的概率是多少？,解 设,A,=,能活,20,年以上,，,B,=,能活,25,年以上,依题意，,P,(,A)=,0.8,P,(,B)=,0.4,所求为,P,(,B|A,) .,不难验证条件概率具有以下三个,基本性质,：,(1) 非负性,(2) 规范性,(3) 可加性,并由此推出条件概率的其它性质：,1.,设,A,与,B,互不相容,且,P(B)0,则,P(A|B)=_,2.,设,A,与,B,为两事件,且,P(A)=0.7, P(B)=0.6,练习,0,注：概率,P(A|B),与,P(AB),的区别与联系,联系：事件,A,，,B,都发生了,区别：,（,1,）在,P(A|B),中，事件,A,，,B,发生有时间上的差异，,B,先,A,后；在,P,（,AB,）中，事件,A,，,B,同时发生。,（,2,）样本空间不同，在,P(A|B),中，事件,B,成为样本,空间；在,P,（,AB,）中，样本空间仍为,S,。,因而有,作业,P:19,习题,1-4 1,二、乘法公式,由条件概率的公式：,即若,P,(,B,) 0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),若已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时, 可以反求,P,(,AB,).,若,P,(,A,) 0,则,P,(,AB,),=P,(,A,),P,(,B|A,),推广到三个事件：,P,(,A,1,A,2,A,n,),=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,) ,P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n-,1,),一般,与次序无关。,乘法公式,例,3,某厂产品的废品率为,4,%,而合格品中有,75,%是一等品,求一等品率.,解,记,A,：,合格品；,B,：,一等品，,即一等品率为,72,%.,例,4,例,4,三、全概率公式,全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.,综合运用,可加性,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A、B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,(即每次至多发生其中一个),(即每次至,少,发生其中一个),B,1,B,2,B,3,B,4,B,6,B,7,B,5,B,8,集合的划分,A,B,1,B,2,B,3,B,4,B,6,B,7,B,5,B,8,由概率的,可加性,及,乘法公式, 有,这个公式称为,全概率公式,，它是概率论的基本公式.,全概率公式,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,例,5,市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为,30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为,3、3、1,，试求：（,1,）,市场上该品牌产品的次品率.,B,1,、,B,2,、,B,3,分别表示买到,设,A,:,买到一件次品；,解,加权平均,一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；,例,6,袋中有,a,个白球,b,个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记,A,B,为第一次、第二次摸到白球，,由全概率公式,例,7,设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回. 试求顾客买下此箱玻璃杯的概率,.,解,记,A,:,顾客买下所察看的一箱玻璃杯，,B,i,:,箱中有,i,件次品(,i,=0,1,2,)，,由题设知，,由全概率公式知,四、贝叶斯公式,在上面例,5,中，如,买到,一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到 .,在全概率公式的假定下，有,该公式于1763年由贝叶斯(,Bayes),给出. 它是在观察到事件,A,已发生的条件下，寻找导致,A,发生的每个原因,B,k,的概率.,贝叶斯公式,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例,5,已知三家工厂的市场占有率分别为,30、20、50, 次品率分别为,3、3、1,.（,2,）如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3, 0.2, 0.5,0.45, 0.3, 0.25,解,全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”,A,已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？,故,贝叶斯公式,也称为“,逆概公式,”。,例,8,对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好,产品合格,机器发生某一故障,解：设A表示产品合格，B表示机器调整良好,例,8,对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,下面举一个,实际的,医学例子，说明贝叶斯公式在,解决,实际问题中的作用.,解,因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。,思考,：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？,贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中,也,有重要应用.,有人,依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,作业,P:19,习题,1-4 2, 4, 5, 6,