教学课件：第三节-向量的乘法运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 向量的乘法运算,一、向量的数量积,二、向量的向量积,三、向量的混合积,五、思考,与练习,四、小结,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线从点,M,1,移动到点,M,2,引例,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,1.,定义,设向量 、夹角为,，,为向量 与 的,数量积,则称数量,记为,即,.,(,点积、内积,).,注意,：中的“,.,”,不能省,.,2.,数量积符合下列运算规律：,(2),交换律：,(3),分配律：,(4),若,l,为数：,若,l,、,m,为数：,3.,关于两向量垂直的说明：,证,正交,(,或,垂直,),定理,证,则,如图：设,例,1,证明三角形余弦定理,4.,数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表示式,4.,数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表达式,由此可知,例,4,解,例,3,解,例,4,解,证,二、向量的向量积,二、向量的向量积,1.,定义,它的模为：,向量积也称为“,叉积,”、“,外积,”,.,引例中的力矩,思考,右图三角形面积,S,_,2.,关于向量积的说明：,证,(2),分配律：,(3),若,l,为数：,3.,向量积符合下列运算律：,4.,向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,(,三阶行列式计算见课本,P319,P320),4.,向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,5.,向量积的几何意义,1,),表示以 和 为邻边的平行四边形的面积,.,2),与一切既平行于 又平行于 的平面相垂直,.,例,1,例,2,例,1,解,(1),(2),D,ABC,的面积为,例,1,解,(3),解,例,2,解,三、向量的混合积,1.,定义,即,其底面积,高,故平行六面体体积为,几何,意义,：混合积的绝对值表示以向量 为棱的,平行六面体体积,.,2.,混合积的坐标表示,设,混合积的坐标表达式,3.,性质,(2),轮换对称性,(,可用三阶行列式推出,),(1),三个非零向量,共面,解,例,1,例,2,求以,不在同一平面上的,四点,A,k,(,x,k,y,k,z,k,)(,k,=1,2,3,4),为顶点的四面体的体积,.,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,解,例,3,问四点,A,(1,1,1,),B,(4,5,6,),C,(2,3,3,),D,(10,15,17,),是否共面,?,解,点,A,B,C,D,共面,.,四、小结,设,2,、向量的向量积,(,结果是一个向量,),1,、向量的数量积,(,结果是一个数,),设,3,、向量的混合积,(,结果是一个数量,),5,、数量积几何应用要点：,(1),求向量的模：,(2),求两向量的夹角：,(3),求一个向量在另一个向量上的投影：,6,、向量积几何应用要点：,(2),求以向量 为邻边的平行四边形的面积：,(1),求与两个非共线向量 同时垂直的向量 ：,7,、混合积几何应用要点：,(2),以 为相邻棱的,平行六面体,的体积：,(3),以不共面四点,A,B,C,D,为顶点的,四面体,体积：,五、思考,与练习,思考,与练习解答,解,解,解,