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电子科技大学,*,电子科技大学,21-10月-24,1.1,随机过程定义及分布,随机过程,概率论的,“,动力学,”,部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族,(,无限多个,),随机变量的推广。,一随机过程定义,电子科技大学,21-10月-24,给定一随机试验,E,，其样本空间为,，将样本空间中的每一元 作如下对应：,一维随机变量,X,二维随机变量,(,X,Y,),n,维随机变量,(,X,1,X,2,.X,n,),随机序列,X,1,X,2,.,随机过程,X,t,tR,电子科技大学,21-10月-24,为,(,F,P,),上的一个随机过程,.,定义,1.1.1,设,(,F,P,),是概率空间,若对每个,t,T,是概率空间,(,F,P,),上的随机变量,则称随机变量族,注,称,T,是,参数集,(,或,指标集,、,参数空间,),当,T,=(1,2,，,n,),随机向量,电子科技大学,21-10月-24,当,T,=(1,2,n,),时间序列,当,T,=(,x,y,):,a,x,b,c,y,d,),平面随机场,随机过程是,n,维随机变量，随机变量序列的,一般化,是随机变量,X,t,的集合,.,用,E,表示随机过程 的值域,称为过程的,状态空间,.,当,T,=0,+),随机过程,电子科技大学,21-10月-24,称事件“,”,为在时刻,t,时随机过程,处于状态,x,按状态空间和参数集的不同情况,可将随机过程分为四类,列入下表,参数集,T,离 散,连 续,状态空间,E,离 散,（离散参数）链,（连续参数）链,非离散,随机序列,随机过程,随机过程,电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.1,质点布朗运动,设质点在直线上随机游动,经随机碰撞后各以,1/2,的概率向左或向右移动,.,若经无穷多次碰撞,随机变量序列,问题：,如何描述质点的运动过程？,电子科技大学,21-10月-24,则 描述了质点的随机运动,.,其参数集,T,=1,2,状态空间,E,=,1,1.,随机过程的理解,为集合,T,与,的,积集,.,称,电子科技大学,21-10月-24,随机过程 可看成定义在积集 上的二元函数：,1),当固定 是一个定义在（,F,P,）上的随机变量,；,2),定义,1.1.2,当固定,(,对于特定的试验结果,),是一个定义在,T,上的普通函数,(,自变量为,t,).,称为随机过程 的一个,样本函数,.,也称,轨道,路径,现实,电子科技大学,21-10月-24,X,t,1,(),X,t,2,(),x,t,(,1,),x,t,(,2,),x,t,(,3,),t,1,t,2,t,n,t,注,:,一个样本函数可看成是对随机过程的一次具体观察结果,.,电子科技大学,21-10月-24,对某城市的气温进行,n,年的连续观察,用,X,t,表示,t,时刻的温度，是与时间,t,有关的随机变量，随机过程反映了该城市气温在,n,年中的变化规律。,此例中样本函数是什么？,气温曲线,电子科技大学,21-10月-24,(,布朗运动,),漂浮在液面的微小粒子,不断进行杂乱无章的运动,.,这种运动是由于大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果,.,用,(,X,t,Y,t,),表示,t,时刻粒子的位置,由于运动的无规则性,当时间,t,改变时,X,t,和,Y,t,都是随机变量,二维随机过程,(,X,t,Y,t,),t,0,描述了粒子的运动过程,.,此例中样本函数是什么？,粒子运动轨迹,电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.2,X,t,()=,cos(,t,+),U(0,2),2,=1.9164,3,=2.6099,1,=5.4938,样本函数的几个例子,电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.3,独立重复抛一个均匀硬币，定义一个随机过程如下,解,将抛第,n,次硬币的试验记为,E,n,过程试验为无穷维积集,记,本题中,T,E,，,，样本函数分别是什么？,电子科技大学,21-10月-24,则第,n,次试验对应的样本空间是,则该随机过程的样本空间为无穷维乘积空间,该过程有无穷条样本函数,.,如图,电子科技大学,21-10月-24,1,2,3,4,5,-1,1,6,7,是对应,的样本点,的一条样本函数,(1,1,1,1,1,1,1,),电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.4,抛,一次,硬币定义一个随机过程如下,设出现正反面的概率相同,写出,X,t,的所有样本函数,.,解,记,1,=,出现正面,2,=,出现反面,则,X,t,的所有样本函数为两条,x,t,(,1,)=cos,t,和,x,t,(,2,)=2,t,.,电子科技大学,21-10月-24,1,2,3,4,子系统,1,输出,x,t,(,1,)=cos,t,子系统,2,输出,x,t,(,2,)=2,t,输入,随机开关系统,电子科技大学,21-10月-24,二随机过程的分布,、分布函数,定义,1.1.3,随机过程,对任意,t,T,随机变量,X,t,(),的分布函数为,称 为随机过程,的一维分布函数族,.,要了解随机过程的演变规律，需描述过程对应的这族随机变量的统计特性,电子科技大学,21-10月-24,注,一维分布函数描述了随机过程在各个孤立时间点处的统计特性,未给出过程的整体统计特性,.,定义,1.1.4,随机过程,对任给的,随机向量,的联合分布函数,称为随机过程的,n,维分布函数,.,电子科技大学,21-10月-24,任意有限维分布函数的全体构成的集合,称集合,为,的有限维分布函数族,.,随机过程的,n,维分布函数能近似地描述过程的统计特性,n,越大则描述越趋于完善,.,注,需研究随机过程与有限维分布函数的关系,.,电子科技大学,21-10月-24,随机过程的有限维分布函数族除具有联合分布函数的三条性质外,还具有以下性质,:,1),对称性,:,对,1,2,n,的任一排列,j,1,j,2,j,n,均有,因事件乘积满足交换律,.,注,2),相容性,:,对任意固定的自然数,m,n,均有,.,随机过程存在定理,电子科技大学,21-10月-24,注,联合分布函数能完全确定边缘分布函数,.,定理,1.1.1,(,柯尔莫哥罗夫存在定理,),如果分布函数族,满足相容性和,对称性,则存在一个概率空间上的随机过程,以,该函数族 为其有限维分布函数族,.,电子科技大学,21-10月-24,如何确定随机过程的分布？,Ex.1.1.5,设随机过程,其中,a,是正常数,随机变量,U,(,),试求过程的一维概率密度,.,解,:,利用特征函数法,易求得,X,t,的一维概率密度为,电子科技大学,21-10月-24,问题：,若改定义过程为,其中,是正常数,随机变量,A,与,相互独立,A,U,(0,1),U,(,),过程的一维概率密度又如何？,解,1),已求得,A,=,a,时，,的条件概率密度为,电子科技大学,21-10月-24,电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.6,设随机过程 只有两条样本函数,且,求,1),一维分布函数 和,;,2),二维分布函数,F,0,/4,(,x,y,).,电子科技大学,21-10月-24,解,1),对任意实数,t,R,有,X,t,2cos,t,2cos,t,p,1/3 2/3,特别,X,0,2 2,p,1/3 2/3,电子科技大学,21-10月-24,X,p,1/3 2/3,2),分析,x,t,(,1,)=2cos,t,x,t,(,2,)=,2cos,t,2,2,电子科技大学,21-10月-24,(,X,0,X,/4,),p,1/3 2/3,二维随机变量,(,X,0,X,/4,),的联合分布律为,其联合分布函数为,问题,随机变量,X,0,和,X,/4,是否相互独立,?,电子科技大学,21-10月-24,Ex.1.1.7,(,脉冲位置调制信号,),一个通信系统传输的信号 称为脉冲位置,调制信号,它的一个样本函数如图所示,电子科技大学,21-10月-24,1),系统,每隔,T,秒输出宽度为,T,/6,幅度为,A,的脉冲,;,2),第,j,个脉冲开始时间为,X,j,j,=1,2,n,相互独立,.,3),X,j,U,(0,5/6,T,).,求 的一维概率分布,.,电子科技大学,21-10月-24,0,T,t,当,0,t,T,/6,A,解,X,j,的概率密度为,电子科技大学,21-10月-24,当,T/6t5T,/,6,当,5,T/6tT,0,T,t,t,t,T,/6,t,T,/6,电子科技大学,21-10月-24,综上可得,以上完整的讨论了一个周期,0,T),内,的一维概率分布,其余周期可类似地进行讨论,
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