反函数与图像性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,反函数,如果在某个变化过程中有两个变量,X,和,Y,并且对于,X,在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y,都有唯一确定的值和它对应,那么,Y,就是,X,的,函数,，,X,就叫做,自变量,，,X,的取值范围称为函数的,定义域,，和,X,的值对应的,Y,的值叫做,函数值,，函数值的集合叫做函数的,值域,。,函数的定义,记为,：,y=f(x),（,1,）函数,y=2x,的定义域是,_,值域是,_,_,_,。如果由,y=2x,解出,x=_,这样对于,y,在,R,上任一个值，通过式子,x=,，,x,在,R,上有,_,_,_,的值和它对应，故,x,是,_,_,_,的函数。,R,R,唯一确定,y,这个新函数的自变量是,_,，对应的函数值是,_,。,x,y,乘以,2,R,R,1,2,:,x,2,4,:,y,原函数,:y=2x,2,4,:,y,1,2,:,x,R,R,除以,2,新函数：,完成下列填空,：,如果由,（,2,）函数,的定义域是,_,，值域是,_,。,解出,x=_,则对于,y,在,的任一个值，通过式子,x=_,x,在,-1,+),上有,_,的值和它对应，故,x,是,_,的函数。,0,，,+,),上,-1,+,),0,+,),唯一确定,y,原函数：,表达式：,定义域：,值域：,-1,),0,+,),新函数：,-1,+,),0,+,),反函数,记为：,反函数的一般定义参见课本,P.60,第二段。,同样，在,(2),中，也把新函数,称为原函数,的,反函数,，记为：,在,(1),中，我们称新函数,为原函数,y=f(x)=2x,的,改写为：,改写为：,反函数与原函数的关系：,原函数,表达式,：,定义域,：,值域：,y=f(x),A,C,反函数,y=f,1,(x),C,A,例,.,求下列函数的反函数：,解：,（,1,）,(2),(3),(4),2.,求反函数的步骤,概念表明,也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程,y=,f,(x)(xA),x=,(yC),反解,用,y,把,x,表示出来,如果,那么,判断,x=,(yC),对调字母,x,，,y,对调,y=,(xC),知识应用与解题研究,反函数的练习：,例,2,：求函数,（,1,x,0,）,的反函数,.,1,x,0,解：,0,1,0,y,1,解得,(,1,x,0),由,(,1,x,0),的反函数,是：,(,0,x,1),0,x,2,1,01,x,2,1,.,5,、是否任何一个函数都有反函数？,（,1,）函数 的定义域是,_,，值域是,_,。如果由 解出,x=_,对于,y,在,0,+,),上任一个值，通过式子,x,在,R,上有,_,值和它对应，故,x_y,的函数。,这表明函数,没有反函。,并非所有的函数都有反函数！,问：怎样的函数才具有反函数呢？,连续的单调函数一定有反函数,互为反函数图像间的关系,例,1.,求函数,y=3x-2,的反函数,并画出原函数和反函数的图象,.,解 ,y=3x-2,函数,y=3x-2(xR,）,的反函数为,y=,x=,1,-2,-1,1,-1,-2,x,y,y=3x-2,x,R,二、新授课,（一）例题讲解,已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像。,应用思路：,原函数和反函数的关系,原函数和其反函数的图象关于直线,y=x,对称，,若两个函数的图象关于直线,y=x,对称，则它们互为反函数,.,1,-2,-1,1,-1,-2,x,y,y=3x-2,原函数过,M(a,b),则,y=f,-1,(x),过,M,(b,a).,总结：,M(a,b),与,M(b,a),两点关于直线,y=x,对称,.,注意：,例,2.,求函数,y=x,3,(xR),的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象,.,解：,x,y,1,1,（二）反函数中应注意的几个问题,y=f(x),与,x=f,-1,(y),是定义上的反函数，,它们的图像相同。,y=f(x),与,y=f,-1,(x),是应用上的反函数，,它们的图像关于直线,y=x,对称。,辨清,y=f(x),、,y=f,-1,(x),、,x=f(y),、,x=f,-1,(y),间的关系,两图像关于直线,y=x,对称，不一定是互为反函数的图像。,互为反函数在各自的定义域内单调性一致。,y=f(x+1),的反函数不是,y=f,-1,(x+1),而是,y=f,-1,(x)-1,y=f(x),存在反函数，则,f,-1,f(x)=x,ff,-1,(x)=x,为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线,y=x,上”这个课题,我们可以分为三步进行研究,.,证明,:,设点,(a,b),是,f(x),的图象与其反函数的任一交点,由于原函数与反函数图象关于直线,y=x,对称,则点,(b,a),也是,f(x),的图象与其反函数图象的交点,且有,b=f(a),a=f(b),若,a=b,时,交点显然在直线,y=x,上,.,若,ab,且,f(x),是增函数时,有,f(b)f(a),从而有,ba,矛盾,;,若,ba,且,f(x),是增函数时,有,f(a)f(b),从而有,ab,矛盾,.,故有,a=b.,若,ab,且,f(x),是减函数时,有,f(b)f(a),从而有,ab,成立，此时交点不在直线,y=x,上,;,同理,ba,且,f(x),是减函数时,有,f(a)f(b),从而有,ab,成立，此时交点不在直线,y=x,上,1,、如果两个函数的图象有交点，则交点或者在直线,y=x,上,或者关于直线,y=x,对称；,2,、如果原函数是定义域内的单调递增函数，它的图象如果与其反函数的图象相交，那么交点一定在直线,y=x,上,;,3,、如果函数,f(x),是减函数,并且,f(x),的图象与其反函数的图象有交点,则交点不一定在直线,y=x,上,.,上,知识回顾,Knowledge Review,