数学归纳法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学归纳法,像这种由一系列有限的,特殊事例,得出,一般结论,的推理方法，通常叫做,归纳法,。,一、复习与引入,1、在等差数列 中，已知首项为 ，公差为,d,，,2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？,（完全归纳法）,结论：,盒内粉笔都是白色的,（不完全归纳法）,（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论,不一定正确。,（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。,例：,说 明：,由两种归纳法得出的结论一定正确吗？,想 一 想 ：,问题情境三,多,米,诺,骨,牌,课,件,演,示,问题情境三,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；,（相当于前牌推倒后牌）,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n,0,(例如n,0,=1)时命题成立，,（2）假设当n=k(kN,*,k n,0,)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立，,这种证明方法叫做,数学归纳法,（一）、数学归纳法的定义（原理）,因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 取,第一个值后面的所有正整数也都成立。,分析：,综(1)(2)知命题成立。,即,（2）假设当,时命题成立，,即 成立吗？,那么当,时命题成立吗？,（1）当,时，成立吗？,等差数列 的通项公式为 。,例：用数学归纳法证明首项为 ，公差为,的,根据(,1)(2)知当对任意的 命题成立。,（1）当 时，左边 ，右边 ，,证明：,命题成立。,（2）假设当 时命题成立，即,那么当 时，,即当 时命题成立。,（依据）,（结论）,（传递性）,（二）、数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的 时命题成立。,注：,（1）,证明当 取第一个值 或 时结论正确,（2）,假设当 时结论正,确，并证明当 时结论也正确。,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了,递推的依据,。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个,总的结论,。,（3）数学归纳法用来证明与,正整数,有关的命题。,（1）,（2）,（三）数学归纳法的应用举例,135（2n1）,例1、用数学归纳法证明,n,2,即当,n,=,k,+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。,证明：,135（2,k,1）+2(,k,+1)1,那么当,n,=,k,+1时,（2）假设当,n,k,时，等式成立，即,（1）当,n,=1时，左边1，右边1，等式成立。,135（2,k,1）,k,2,+2(,k,+1)1,k,2,2,k,1,k,2,（,k,+1）,2,（假设）,（利用假设）,练习：,用数学归纳法证明,3、,1、,2、,首项是 ，公比是 的等比数列的通项公式是,(n2,n,N),过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：,练习,(1)用数学归纳法证,:,D,(2)用数学归纳法证,:,(n2,n,N),过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：,.项,.项,.项,.项,三、小结,归纳法：,由特殊到一般,，是数学发现的重要方法。,数学归纳法的,原理,与,科学性,：基础正确；可递推。,数学归纳法的步骤：,两个步骤，一个结论,。,事物,由特殊到一般、由有限到无限。,数学归纳法的,优点,：,可以帮助我们,由简到繁、,认识,四、作业,习题2.1 1、（1）（2）,谢谢光临指导,再见,第二步,第二步,第二步,1,2,3,k,k+1,二、新课,例 摆砖问题,（取n块砖）,