等差数列前n项和公式推导

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等差数列前,n,项和,数学与统计学院,090901210,李雪娟,一,、,复习：,、,等差数列,：,（，,）,、,等差数列通项式：,（）,小故事：,高斯是伟大的数学家，天文学家。岁时一次老师说：现在给大家出道题：,？,过了两分钟，正当大家在：；,算的不亦乐乎时，高斯站起来回答说：,老师问他怎样计算的，他回答说：,1+100=101,；,2+99=101,；,，所以,这个故事告诉我们求等差数列前项和的一种很重要的思想方法，就是我们要介绍的“,倒序相加,”法。,二、等差数列前项和公式：,对等差数列,，,，,，,前项求和，得,，,，,上面两式相加得：,（,）（,）（,）（,）,因为,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=a,3,+a,n-2,=,，所以,2S,n,=n(a,1,+a,n,),S,n,=,（,1,）,2,、等差数列前,n,项和公式,2,S,n,=,用上述公式（,1,）要求,S,n,必备三个条件：,n,a,1,a,n,但,a,n,=a,1,+(n-1)d,，带入公式（,1,）即得,（,2,）,公式（,2,）又可化为,S,n,=,当,d 0,时，这是一个常数项为零的关于,n,的二项式,.,三、讲解例题：,例,1,、一堆放铅笔的,V,型架的最下层放一支铅笔，往上每一层都比它下一层多放一支，最上层放,120,支，问：这个,V,型架上共放多少支铅笔？,解：由题意知，这个,V,型架上共放,120,层铅笔且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为,a,n,其中,a,1,=1,a,120,=120,根据等差数列前,n,项和公式得,:,S,120,=,=7260,（支）,答：,V,型架上共有,7260,支铅笔。,例,2,、等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项的和是,54,？,解：设题中的等差数列为,a,n,，前,n,项和为,S,n,，,则：,a,1,=-10,d=(-6)-(-10)=4,S,n,=54,有公式（,2,）可得：,解之得：,n,1,=9,n,2,=-3,（舍）所以等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前,9,项和是,54.,四、巩固练习,1,、求集合,M=m/m=7n,n N,且,m,100,的元素个数，并求这些元素的和。,2,、已知一个等差数列的前,100,项和是,310,，前,20,项的和是,1220,，求其前,n,项和公式,.,五、课后作业,已知等差数列的前,n,项和为,a,，前,2n,项和为,b,，求前,3n,项和。,下课！,