资源描述
57,计 算 方 法,第四章,数值积分,孙成立,第四章 数值积分,4.1,机械求积公式,4.2,Newton_Cotes,公式,4.3,变步长求积公式及其加速,收敛技巧,4.1,机械求积公式,第,1,节 引言,第,2,节 数值积分的基本方法,第,3,节 代数精度法,第,4,节 插值求积法,4.1,.1,引言,定积分的计算可用著名的牛顿,-,莱布尼兹公式来计算,:,其中,F,(,x,),是,f,(,x,),的原函数之一，可用不定积分求得,.,被积函数,f,(,x,),是用函数表格提供,;,f,(,x,),极为复杂，求不出原函数,;,大量函数的原函数不容易或根本无法求出,.,只能运用数值积分,求积分近似值,.,问题,其中,称为积分节点， 称为求积系数。,4.1,.2,数值积分的基本方法,就是在区间,a,b,内取,n+,1,个点,利用被积函数,f,(,x,),在这,n+,1,个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求的定积分,.,其中,称为积分节点， 称为求积系数。,4.1,.2,数值积分的基本方法,因此，数值积分公式关键在于积分节点 的选取,和积分系数,的决定，其中,与被积函数,f,(,x,),无关。,称为,机械求积公式,。,求积分,简单算例,求积分,此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积,。,用,f,(,x,),的零次多项式,来近似代替,于是有,简单算例,解,左矩公式,推广,:,右矩公式,中矩公式,用,f,(,x,),的一次多项式,来近似代替,于是，,梯形公式,推广,:,来近似代替,于是，,特别地：当,有,用,f,(,x,),的二次插值多项式,推广,:,Simpson,公式,4.1,.3,代数精度法,为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际,计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立,.,因此定义代数精度的概念,:,若积分 的数值积分公式,对于任意 多项式都精确成立，,但对 不精确成立，,则称,该数值积分公式具,m,次代数精确度。,对于,a,b,上线性插值，如图所示有,考察其代数精度。,梯形公式,算例,:,f,(,x,),a,b,f,(,b,),f,(,a,),的代数精度。,解：,逐次检查公式是否精确成立,代入,L,0,= 1,：,=,代入,L,1,=,x,：,=,代入,L,2,=,x,2,：,得代数精度,=,1,梯形公式,f,(,x,),a,b,f,(,b,),f,(,a,),试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高,.,算例,:,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高,.,解,:,算例,:,令,因此,由此得该积分,公式具有,3,次,代数精确度,.,类似地,可以证明,矩形公式具,0,次代数精度,可以证明,Simpson,公式具,3,次代数精度,.,利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下,:,近似计算,4.1,.2,插值求积法,利用,插值多项式,则,定,积分,容,易,计,算。,在,a,b,上取,a,x,0,x,1,x,n,b,，根据拉格朗日插值公式，,做,f,的,n,次插值多项式 ，,即得到,利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下,:,近似计算,4.1,.4,插值求积法,利用,插值多项式,则,定,积分,容,易,计,算。,在,a,b,上取,a,x,0,x,1,x,n,b,，,做,f,的,n,次插值多,项式 ，,即得到,A,k,由 节点决定，,与,f,(,x,),无关。,4.1,.4,插值求积法,-,余项,N,+1,个节点的求积公式为,插值型,该,求积公式至少有,N,次代数精度,.,4.2,Newton-Cotes,公式,第,1,节 公式的一般形式,第,2,节 低阶公式及其余项,第,3,节 复合求积公式,近似计算,利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下,:,利用,插值多项式,则,定,积分,容,易,计,算。,在,a,b,上取,a,x,0,x,1,x,n,b,，,做,f,的,n,次插值多,项式 ，,即得到,A,k,由 节点决定，,与,f,(,x,),无关。,第,1,节,Newton-Cotes,数值求积公式,Newton-Cotes,公式是指等距节点下使用,Lagrange,插值,多项式建立的数值求积公式,各节点为,设函数,将积分区间,a,b,分割为,n,等份,为步长,f,(,x,),的,Lagrange,的插值多项式及余项分别为,其中,而,因此对于定积分,有,n,阶,Newton-Cotes,求积公式,其中,注意是等距节点,计算,:,假设,所以,Newton-Cotes,公式化为,定理：使用,n,次,Lagrange,插值多项式的,Newton-Cotes,公式至少具有,n,次代数精度,并且,n,为偶数时至,少具有,n+1,次代数精度。,为,Cotes,系数,其中,第二节 低,阶,Newton-Cotes,公式及其余项,在,Newton-Cotes,公式中,n=1,2,4,时的公式是最常用也,最重要三个公式,称为低阶公式,1.,梯形,(trapezoid),公式及其余项,(n=1),Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,梯形求积公式,也称,两点公式,，记为,梯形公式的余项为,设在区间,a, b,上函数,f (x),连续，而函数,(x),可积且不变号，则在开区间,(,a, b,),内至少存在一点,，使,积分第二中值定理,梯形公式的余项,2. Simpson,公式及其余项,(n=2),Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,Simpson,求积公式,，也称,三点公式或抛物线公式,记为,Simpson,公式的余项为,Simpson,公式具有 次代数精度,。,3,3. Cotes,公式及其余项,(n=4),Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,Cotes,求积公式,，也称,五点公式,记为,Cotes,公式的余项为,Cotes,公式具有,5,次代数精度。,注：,n,8,时，,Cotes,系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。,因此，在实际应用中一般不使用高阶,Newton-Cotes,公式，,而是采用低阶复合求积法,(,下节,),。,Cotes,系数表：,n,C,k,(,n,),1,2,3,4,5,8,1/2,1/2,1/6 4/6 1/6,1/8 3/8,3/8,1/8,7/90 16/45 2/15 16/45 7/90,19/288 25/96 25/144,25/144,25/96 19/288,989/28350 5888/28350 -928/28350 10496/28350 -4540/28350 ,第三节 复合求积公式,高次插值有,Runge,现象，故采用分段低次插值,分段低次合成的,Newton-Cotes,复合求积公式。,复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,=,T,n,由,介值定理,知： 使,即有：,余项：,复合,Simpson,公式：,4,4,4,4,4,=,S,n,注：,为方便编程，可采用另一记法：令,n,= 2,n,为偶数， 这时 ，有,例,1:,分别利用复合梯形公式和复合,Simpson,公式计算积分：,积分的相对精确值为,解,：设,=,0.94,569086,步长,h,=1/8,。,=,0.946083,31,运算量基本相同,复合求积法的余项和收敛阶,：,复合梯形（,Trapezoid,）公式的余项：,复合辛甫生（,Simpson,）公式的余项：,复合柯特斯（,Cotes,）公式的余项：,先看复合梯形公式余项：,当,n,充分大,时，,即对复合的梯形公式有：,类似地，对于复合的辛甫生公式和柯特斯公式分别有：,而且，当,h,很小时，复合的梯形法、辛甫生法和柯特斯法分别有下列的误差估计式：,定义,若一个积分公式的误差满足 且,C, 0,，,则,称该公式是,p,阶收敛,的。,当步长,h,折半时，,R,(,T,), R,(,S,),R,(,C,),分别减至原有误差的,1/4,1/16,1/64,例,2,：,计算,解：,其中,=,3.1,38988494,其中,=,3.141592,502,上例中若要求 ，则,即：取,n,= 409,通常采取将区间,不断对分,的方法，即取,n,= 2,k,上例中,2,k, 409 ,k,= 9,时，,T,512,=,3.141592,018,Return,4.3,变步长求积公式及其加速收敛技巧,Q:,给定精度,，如何取,n,?,实际计算中常采用,变步长,的计算方案，即在步长逐次分半（即,步长二分）的过程中，反复利用复合求积公式计算，直至所求,积分值满足精度要求为止。,复合梯形公式的递推化,：,将求积区间,a, b,分成,n,等分，一共有 个分点,n+1,将求积区间再二分一次，则分点增至 个，,每个子区间 二分后用复合梯形公式求的积分值为：,2n+1,h,=(,b,-,a,)/,n,代表,二分前,的步长。,注意到区间再次对分时,将每个子区间上的积分值相加得：,比较,T,n,和,T,2n,得下列,梯形递推公式,：,递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯形公式。,直接用计算,结果来估计,误差的方法,称为事后误,差估计法,技巧：可以用,T,2n,-T,n,的值来估计误差和确定步长。,第四节龙贝格,积分,/* Romberg Integration */,复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（,2,阶收敛）较慢，如何提高收敛速度？,注：按上面规律，可以构造线性组合系数为,的新的积分公式，但当,m,4,时，前一个系数接近于,1,，后一个系数接近于,0,，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不大，反而增加计算量，因此实际上常做到,Romberg,公式为止。,Romberg,序列,Romberg,递推算法,
展开阅读全文