模拟滤波器的设计(数字信号处理)

,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 模拟滤波器的设计,滤波,就是把一个混合信号的某些分量分离出来或把它去掉。,自然滤波（地震波）,人工滤波：由仪器或运算来完成。,滤波器,是一种选频装置，它只允许一定频带范围的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分。,要分离有用信号,s(t),与干扰信号,n(t),若上述二信号的频率上是分离的，若存在一个,这样,n(t),被滤去，仅存下有用信号,s(t),为了获取有用信号，通常采用以下理想滤波器,图,7.2.1,各种理想滤波器的幅频特性,A,1,(,f,),0,1,f,f,C,A,2,(,f,),0,1,f,f,C,A,3,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,A,4,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,a,),低通,b,),高通,c,),带通,d,),带阻,根据滤波器的选频特性,低通滤波器,(LP),：通频带,0,f,c,高通滤波器,(HP),：通频带,f,C,带通滤波器,(BP),：通频带,f,C1,f,C2,带阻滤波器,(BS),：通频带,0,f,C1,与,f,C2,（阻带,:,f,C1,f,C2,）,滤波器的种类,7.1,理想滤波器,A,0,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,2,p,t,0,理想低通滤波器,频率特性,无过渡带且在通频带内满足不失真测试条件的滤波器称为理想滤波器。理想滤波器的频率响应函数为：,2,、理想低通滤波器的冲击响应,(t),y,(t),h,(,t,),H,(,f,),Y,(,f,),D,(,f,),=,1,理想滤波器的脉冲响应函数为,sinc,函数，若无相角滞后（,t,0,=0,）：,亦即：,对上述的频率响应函数做傅氏逆变换：,h,(,t,),2,A,0,f,c,0,t,h,(,t,),0,t,t,0,c,f,2,1,c,f,2,1,-,c,f,1,c,f,1,-,t,b,),理想低通滤波器脉冲响应函数,A,0,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,2,p,t,0,a,),理想低通滤波器频率特性,2,A,0,f,c,d,(t),0,t,0,t,h,(t),在输入,(,t,),到来以前，即,t,0,时，滤波器即有了与输入相对应的输出，显然，这,违背了因果关系,，任何现实系统都不可能具有这种预知未来的能力。,输入,响应,同样，理想高通、带通、带阻滤波器也是不存在的。实际滤波器的频域图形不可能出现,直角锐变,，也不会在有限频率上完全截止。理论上，实际滤波器的频域图形将延伸至,f,。即,滤波器只能对通带以外的频率成分极大地衰减而不能完全阻止其通过,。,A,1,(,f,),0,1,f,f,C,A,2,(,f,),0,1,f,f,C,A,3,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,A,4,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,a,),低通,b,),高通,c,),带通,d,),带阻,理想滤波器的阶跃响应,单位阶跃输入,滤波器的阶跃响应：,若不考虑前、后皱波，输出从,0(,a,点,),到应有的稳定值,A,0,(,b,点,),之间的所需,建立时间,为：,建立时间,如果按稳态响应值的,0.1,0.9,作为计算建立时间的标准，则,：,滤波器通频带越宽（,f,c,越高），建立时间越短，响应速度越快。其物理意义是：,输入信号突变处（间断点）必然含有丰富的高频分量。,低通滤波器阻衰了高频分量，结果将输出波形,“,圆滑,”,。,通带越宽，阻衰的高频分量越少，使信号能量更多更快地,通过，故建立时间短，反之建立时间长。,低通滤波器对阶跃响应的,上升时间,t,r,与带宽,B,成反比,，即：,Bt,r,=,常数,该结论对高通、带通及带阻滤波器均成立。,滤波器带宽表示其频率分辨力,，通带越窄，分辨力越高，显然，,高分辨力,(,B,值小,),与响应速度是互相矛盾的。如果要,用滤波的方法从信号中提取某一很窄的频率成分（如作谱分析），必须有足够的时间。,d,d,A,(,f,),A,0,0.7,A,0,0,实际,f,C,1,f,C,2,f,0,f,1,、实际滤波器的基本参数,理想带通滤波器（,红色,）与实际带通滤波器（,蓝色,）的幅频特性。,对于实际的滤波器需要更多的参数对其进行描述。,7.2,实际滤波器参数,理想,截止频率,f,c,幅频特性等于所对应的频率。以,A,0,为参考点，对应于,-3dB,点，即相对于,A,0,衰减,3dB,。若以信号幅值的平方表示信号功率则,-3dB,点对应,半功率点,。,d,d,A,(,f,),A,0,0.7,A,0,0,实际,f,C,1,f,C,2,f,0,f,下截止,上截止,理想,上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽或,-3dB,带宽。,带宽,B,决定频率分辨力,。,带宽,B,d,d,A,(,f,),A,0,0.7,A,0,0,实际,f,C,1,f,C,2,f,0,f,B,下截止,上截止,理想,矩形系数（滤波器因数）,滤波器选择性的一种表示法是倍频程选择性，另一种表示法就是用,矩形系数,。用滤波器幅频特性的,-60dB,带宽与,-3dB,带宽的比值表示。,d,d,A,(,f,),A,0,0.7,A,0,0,实际,f,C,1,f,C,2,f,0,f,B,-3dB,B,-60dB,除了用上述的截止频率、带宽,B,、矩形系数做为描述滤波器的性能的参数外，还有以下几个参数：,纹波幅度,d,品质因素,Q,倍频程选择性,W,中心频率,f,n,的概念：,算术平均：,几何平均：,如,倍频程滤波器,c,k,为,H(s),的零点，,d,k,为,H(s),的极点，若考虑,处的零极点，则零极点数相等,5.3,模拟滤波器的系统函数,模拟滤波器的设计方法就是寻找一个可以实现的系统在一定的误差范围内逼近理想的滤波器特性。,设滤波器的系统函数可表示为：,零极点配置规律：,（,1,）零极点必须是实数或共轭成对出现,（,2,）对于因果系统，极点应分布在,S,左半平面,5.4 .,模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,模拟低通滤波器的设计指标有,p, ,p,s,和,s,。其中,p,和,s,分别称为通带截止频率和阻带截止频率，,p,是通带,(=0,p,),中的最大衰减系数，,s,是阻带,s,的最小衰减系数，,p,和,s,一般用,dB,数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(7.2.1),(7.2.2),如果,=0,处幅度已归一化到,1,，即,|H,a,(j0)|=1,p,和,s,表示为,以上技术指标用图表示。图中,c,称为,3dB,截止频率，因,(7.2.3),(7.2.4),图,7.2.2,低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数,H,a,(s),，希望其幅度平方函数满足给定的指标,p,和,s,，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(7.2.5),模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯,(Butterworth),滤波器、切比雪夫,(Chebyshev),滤波器、椭圆,(Cauer),滤波器、贝塞尔,(Bessel),滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,7.5,巴特沃斯低通滤波器的设计方法,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数,|H,a,(j)|,2,用下式表示：,(7.2.6),图,7.2.3,巴特沃斯幅度特性和,N,的关系,将幅度平方函数,|H,a,(j)|,2,写成,s,的函数：,(7.2.7),此式表明幅度平方函数有,2N,个极点，极点,s,k,用下式表示：,(7.2.8),图,7.2.4,三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器，,2N,个极点中只取,s,平面左半平面的,N,个极点构成,H,a,(s),，而右半平面的,N,个极点构成,H,a,(-s),。,H,a,(s),的表示式为,设,N=3,，极点有,6,个，它们分别为,取,s,平面左半平面的极点,s,0,s,1,s,2,组成,H,a,(s),：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对,3dB,截止频率,c,归一化，归一化后的,H,a,(s),表示为,式中，,s/,c,=j/,c,。,令,=/,c,，,称为归一化频率；令,p=j,，,p,称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(7.2.10),(7.2.11),式中，,p,k,为归一化极点，用下式表示：,将极点表示式,(7.2.12),代入,(7.2.11),式，得到的,Ha(p),的分母是,p,的,N,阶多项式，用下式表示：,(7.2.12),将,=s,代入,(7.2.6),式中，再将,|H,a,(j,s,)|,2,代入,(7.2.4),式中，得到：,(7.2.14),(7.2.15),由,(7.2.14),和,(7.2.15),式得到：,令,则,N,由下式表示：,(7.2.16),用上式求出的,N,可能有小数部分，应取大于等于,N,的最小整数。关于,3dB,截止频率,c,，如果技术指标中没有给出，可以按照,(7.2.14),式或,(7.2.15),式求出，由,(7.2.14),式得到：,由,(7.2.15),式得到：,(7.2.17),(7.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,(1),根据技术指标,p,p,s,和,s,，用,(7.2.16),式求出滤波器的阶数,N,。,(2),按照,(7.2.12),式，求出归一化极点,p,k,，将,p,k,代入,(7.2.11),式，得到归一化传输函数,H,a,(p),。,(3),将,H,a,(p),去归一化。将,p=s/,c,代入,H,a,(p),，得到实际的滤波器传输函数,Ha(s),。,表,7.2.1,巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例,7.2.1,已知通带截止频率,f,p,=5kHz,，通带最大衰减,p,=2dB,，阻带截止频率,f,s,=12kHz,，阻带最小衰减,s,=30dB,，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,解,(1),确定阶数,N,。,(2),按照,(7.2.12),式，其极点为,按照,(7.2.11),式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表简单，由,N=5,，直接查表得到：,极点：,-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;,-1.0000,式,b,0,=1.0000,b,1,=3.2361,b,2,=5.2361,b,3,=5.2361,b,4,=3.2361,(3),为将,Ha(p),去归一化，先求,3dB,截止频率,c,。,按照,(7.2.17),式，得到：,将,c,代入,(7.2.18),式，得到：,将,p=s/,c,代入,H,a,(p),中得到：,7.6,切比雪夫滤波器的设计,我们这里仅介绍切比雪夫,型滤波器的设计方法。图分别画出阶数,N,为奇数与偶数时的切比雪夫,型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用,A,2,(),表示：,(7.2.19),图,7.2.5,切比雪夫,型滤波器幅频特性,式中，,为小于,1,的正数，表示通带内幅度波动的程度，,愈大，波动幅度也愈大。,p,称为通带截止频率。令,=/,p,，称为对,p,的归一化频率。,C,N,(x),称为,N,阶切比雪夫多项式，定义为,当,N=0,时，,C,0,(x)=1,；,当,N=1,时，,C,1,(x)=x,；,当,N=2,时，,C,2,(x)=2x,2,-,1-,；,当,N=3,时，,C,3,(x)=4x,3,-,3x,。,由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为,C,N+1,(x)=2xC,N,(x) - C,N-1,(x) (7.2.20),图,7.2.6 N=0,4,5,切比雪夫多项式曲线,图示出了阶数,N=0,4,5,时的切比雪夫多项式特性。,由图可见：,(1),切比雪夫多项式的过零点在,|x|1,的范围内；,(2),当,|x|1,时，,|C,N,(x)|1,在,|x|1,时，,C,N,(x),是双曲线函数，随,x,单调上升。,按照,(7.2.19),式，平方幅度函数与三个参数即,p,和,N,有关。其中,与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹,用下式表示：,(7.2.21),因此,(7.2.22),图,7.2.7,切比雪夫,型与巴特沃斯低通的,A,2,(),曲线,设阻带的起始点频率,(,阻带截止频率,),用,s,表示，在,s,处的,A,2,(,s,),用,(7.2.19),式确定：,(7.2.23),令,s=,s,/,p,，由,s,1,，有,(7.2.24),(7.2.25),可以解出,3dB,截止频率用,c,表示，,按照,(7.2.19),式，有,通常取,c1,，因此,上式中仅取正号，得到,3dB,截止频率计算公式：,(7.2.26),以上,p,和,N,确定后，可以求出滤波器的极点，并确定,H,a,(p),，,p=s/,p,。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。,设,Ha(s),的极点为,s,i,=,i,+j,i,，可以证明：,(7.2.23),令,s,=,s,/,p,，由,s1,，有,(7.2.24),(7.2.25),上式中仅取正号，得到,3dB,截止频率计算公式：,(7.2.26),设,H,a,(s),的极点为,s,i,=,i,+j,i,，可以证明：,(7.2.27),式中,(7.2.28),(7.2.28),式是一个椭圆方程，长半轴为,p,ch(,在虚轴上,),，短半轴为,p,sh(,在实轴上,),。令,b,p,和,a,p,分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(7.2.29),(7.2.30),(7.2.31),图,7.2.8,三阶切比雪夫滤波器的极点分布,设,N=3,，平方幅度函数的极点分布如图所示,(,极点用,X,表示,),。为稳定，用左半平面的极点构成,H,a,(p),，即,(7.2.32),式中,c,是待定系数。根据幅度平方函数,(7.2.19),式,可导出：,c=2,N-1,，代入,(7.2.32),式，得到归一化的,传输函数为,(7.2.33a),按照以上分析，下面介绍切比雪夫,型滤波器设计步骤。,1),确定技术要求,p,p,s,和,s,p,是,=,p,时的衰减系数，,s,是,=,s,时的衰减系数，它们为,去归一化后的传输函数为,(7.2.33b),(7.2.34),(7.2.35),这里,p,就是前面定义的通带波纹,，见,(7.2.21),式。归一化频率,2),求滤波器阶数,N,和参数,由,(7.2.19),式，得到：,将以上两式代入,(7.2.34),式和,(7.2.35),式，得到：,令,(7.2.36),(7.2.37),这样，先由,(7.2.36),式求出,k,-1,1,，代入,(7.2.37),式，求出阶数,N,，最后取大于等于,N,的最小整数。,按照,(7.2.22),式求,，这里,p,=,。,+2=10,0.1,1,3),求归一化传输函数,Ha(p),为求,H,a,(p),，先按照,(7.2.27),式求出归一化极点,p,k,k=1,2,:,N,。,将极点,p,k,代入,(7.2.33),式，得到：,4),将,H,a,(p),去归一化，得到实际的,Ha(s),，即,(7.2.38),(7.2.39),例设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率,f,p,=3kHz,，通带最大衰减,p,=0.1dB,，阻带截止频率,f,s,=12kHz,，阻带最小衰减,s,=60dB,。,解,(1),滤波器的技术要求：,(2),求阶数,N,和,：,(3),求,H,a,(p):,由,(7.2.38),式求出,N=5,时的极点,p,i,，代入上式，得到：,(4),将,H,a,(p),去归一化，得到：,4.,模拟滤波器的频率变换,模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：,1),低通到高通的频率变换,和,之间的关系为,上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通,G(j),，高通,H(j),则用下式转换：,(7.2.41),(7.2.40),图,7.2.9,低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下：,(1),确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率,p,，阻带上限频率,s,，通带最大衰减,p,，阻带最小衰减,s,。,(2),确定相应低通滤波器的设计指标：按照,(7.2.40),式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：,低通滤波器通带截止频率,p=1/,p,；,低通滤波器阻带截止频率,s=1/,s,；,通带最大衰减仍为,p,，阻带最小衰减仍为,s,。,(3),设计归一化低通滤波器,G(p),。,(4),求模拟高通的,H(s),。将,G(p),按照,(7.2.40),式，转换成归一化高通,H(q),，为去归一化，将,q=s/,c,代入,H(q),中，得,例,7.2.3,设计高通滤波器,f,p,=200Hz,f,s,=100Hz,，幅度特性单调下降，,f,p,处最大衰减为,3dB,，阻带最小衰减,s,=15dB,。,(7.2.42),解,高通技术要求：,f,p,=200Hz,p,=3dB;,f,s,=100Hz,s,=15dB,归一化频率,低通技术要求：,设计归一化低通,G(p),。采用巴特沃斯滤波器，故,求模拟高通,H(s),：,2),低通到带通的频率变换,低通与带通滤波器的幅度特性如图所示。,图,7.2.10,带通与低通滤波器的幅度特性,表,7.2.2 ,与,的对应关系,由,与,的对应关系，得到：,由表知,p,对应,u,，代入上式中，有,(7.2.43),式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,将,(7.2.43),式代入上式，得到：,将,q=j,代入上式，得到：,为去归一化，将,q=s/B,代入上式，得到：,(7.2.44),(7.2.45),上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。,下面总结模拟带通的设计步骤。,(1),确定模拟带通滤波器的技术指标，即：,带通上限频率,u,，带通下限频率,l,下阻带上限频率,s1,上阻带下限频率,s2,通带中心频率,2,0,=,l,u,，通带宽度,B=,u,l,与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2),确定归一化低通技术要求：,s,与,-,s,的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的,s,，这样保证在较大的,s,处更能满足要求。,通带最大衰减仍为,p,，阻带最小衰减亦为,s,。,(3),设计归一化低通,G(p),。,(4),由,(7.2.45),式直接将,G(p),转换成带通,H(s),。,例,7.2.4,设计模拟带通滤波器，通带带宽,B=2200rad/s,，中心频率,0,=21000rad/s,，通带内最大衰减,p,=3dB,，阻带,s1,=2830rad/s,s2,=21200rad/s,，阻带最小衰减,s,=15dB,。,解,(1),模拟带通的技术要求：,0,=21000rad/s,p,=3dB,s1,=2830rad/s,s2,=21200rad/s,s,=15dB,B=2200rad/s;,0,=5,s1,=4.15,s2,=6,(2),模拟归一化低通技术要求：,取,s,=1.833,p,=3dB,s,=15dB,。,(3),设计模拟归一化低通滤波器,G(p),：,采用巴特沃斯型，有,取,N=3,，查表，得,(4),求模拟带通,H(s),：,3),低通到带阻的频率变换,低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。,图,7.2.11,低通与带阻滤波器的幅频特性,图中，,l,和,u,分别是下通带截止频率和上通带截止频率，,s1,和,s2,分别为阻带的下限频率和上限频率，,0,为阻带中心频率，,2,0,=,u,l,，阻带带宽,B=,u,l,，,B,作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为,u,=,u,/B,l,=,l,/B,s1,=,s1,/B,s2,=,s2,/B;,2,0,=,u,l,表,7.2.3 ,与,的对应关系,根据,与,的对应关系，可得到：,且,u,l,=1,，,p,=1,，,(7.2.46),式称为低通到带阻的频率变换公式。将,(7.2.46),式代入,p=j,，并去归一化，可得,上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,(7.2.46),(7.2.47),(7.2.48),下面总结设计带阻滤波器的步骤：,(1),确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：,下通带截止频率,l,上通带截止频率,u,阻带下限频率,s1,，阻带上限频率,s2,阻带中心频率,+20=,u,l,，阻带宽度,B=,u,l,它们相应的归一化边界频率为,l,=,l,/B,u,=,u,/B,s1,=,s1,/B;,s2,=,s2,/B,2,0,=,u,l,以及通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,。,(2),确定归一化模拟低通技术要求，即：,取,s,和,s,的绝对值较小的,s,；通带最大衰减为,p,，阻带最小衰减为,s,。,(3),设计归一化模拟低通,G(p),。,(4),按照,(7.2.48),式直接将,G(p),转换成带阻滤波器,H(s),。,例,7.2.5,设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：,l,=2905rad/s, ,s1,=2980rad/s,s2,= 21020rad/s,u,=21105rad/s,p,=3dB,s,=25dB,。试设计巴特沃斯带阻滤波器。,解,(1),模拟带阻滤波器的技术要求：,l,=2905,u,=21105;,s1,=2980,s2,=21020;,2,0,=,l,u,=4+21000025,B=,u,l,=2200;,l,=,l,/B=4.525,u,=,u,/B=5.525;,s1,=,s1,/B=4.9,s2,=5.1;,2,0,=,l,u,=25,(2),归一化低通的技术要求：,(3),设计归一化低通滤波器,G(p):,(4),带阻滤波器的,H(s),为,