资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2015/4/1,#,夯实四基，培养四能,例谈数学新课标理念的落实,人民教育出版社小学数学室 丁国忠,关于数学课程目标,获得,适应社会生活和进一步发展所必需的数学的,基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,。,体会,数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强,发现和提出问题的能力、分析和解决问题的,能力,。,了解,数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。,夯实,四,基,基本知识、基本技能,过去的,“双基”通常,是指：数学的基本概念、基本公式、基本运算、基本性质、基本法则、基本程式、基本定理、基本作图、基本推理、基本语言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。,在“知识爆炸”的时代，对于过去数学“双基”的某些内容，如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等，需要有所删减；而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等，又要有所增加,。,数学的基本思想,数学抽象的思想。,数学推理的思想。,数学模型的思想。 （史宁中）,数学审美的思想。 （顾沛）,由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。,由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。,由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。,由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。,（顾沛）,重大而关键的问题是活的血液，是推动数学发展的重要动力源泉。,希尔伯特,？,发现和提出问题,尝试一下：,假如，从,A,岛出发，过桥,1,到,B,，过桥,2,回到,A,，过桥,6,到,C,，过桥,7,回到,A,，过桥,4,到,D,。此时，若选择桥,3,，要回到,A,，必然要经过桥,1,和桥,2,中的其中一座。若选择桥,5,，要回到,A,，必然要经过桥,6,和桥,7,中的其中一座。都不能满足“每座桥都只许通过一次并且回到起始地点”的要求。不管选择,A,、,B,、,C,、,D,中哪个地点作为起点，人们都无法找到一条符合条件的行走路线。经过无数次失败的尝试之后，人们开始怀疑这样一条路线的存在性，可又无法证明它的不存在性。,在数学的探究过程中，尝试错误是人们最常使用的方法之一，往往也是最先使用的策略。当人们面对一个全新的问题时，如果找不到一个现成的解决方案，经常会把各种可能的途径都尝试一遍。虽然试误的过程看起来比较低效，但有时却是最有意义的策略。一些便捷、高效的数学方法往往是在试误的基础上逐步提炼出来的。,1,2,3,4,5,6,7,每一块陆地的大小、形状以及在每一块陆地内部如何行走，都与解决问题无关。,点与点之间的,连接线的长短与曲直也与解决问题无关,。,“哥尼斯堡七桥问题”就转化为“从,A,、,B,、,C,、,D,中的任一点出发，能否既不重复也不遗漏地把每一条线都走过一遍，并最终回到起点,？,”,1,2,3,4,5,6,7,数学抽象、数学模型的思想,数学推理的思想（归纳、演绎）：具体问题一般化、通过解决一般性问题来解决特殊问题,数学模型的思想：从七桥问题到一笔画问题,数学审美的思想：所以一笔画问题都可用此法解决,欧拉把,这样的点与线的组合称为一个图，把,A,、,B,、,C,、,D,称为图的顶点，把连接顶点的线段或曲线称为图的边。他注意到，一笔画成一个图的情况只有两类。第一类，起点和终点不重合，与起点相连的只有一条出来的边，与终点相连的只有一条进去的边，而对其他各个顶点而言，如果有进去的边，就必须有出来的边，否则就不能满足“走过的路线不能重复”这一条件。第二类，起点和终点重合，在这种情况下，与每个顶点相连的边都必须是偶数条。为此，欧拉提出了奇点和偶点的概念，即与奇数条边相连的顶点称为奇点，与偶数条边相连的点称为偶点。在此基础上，欧拉得出了关于一笔画的结论，即可以一笔画成的图，或者没有奇点（起点与终点重合的情况），或者只有两个奇点（起点与终点不重合的情况）。除此之外，没有其他可能性。,在得出这一结论以后，“哥尼斯堡七桥问题”就迎刃而解了。,分析和解决问题,论文,哥尼斯堡七桥问题,，直接开创了一个新的数学分支,图论,图论在解决运筹学、网络理论、信息论、控制论、博弈论及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越重要的作用。,图论中的“图”并不仅仅是指几何中的图，而可泛指现实生活、生产活动以及科学研究中各种事物之间的关系。用点表示事物，用点之间的连线表示事物之间的某种关系，这样，点与点之间的若干条连线就构成了图。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图来模拟。,促进了另一个几何学分支,拓扑学的发展,拓扑学研究的是几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。,七桥问题带来的数学学科的发展,欧拉解决“哥尼斯堡七桥问题”，并不仅仅是解决了生活中的一个实际问题那么简单，他跨出了数学发展史上革命性的一大步。现实问题为数学家提供了思考与探索的动力和源泉，而数学家对现实问题的研究又推动着数学不断往前发展，成为解决新的现实问题的有力工具。如此不断往复，才有了今天数学科学的辉煌成就。,河岸,小岛,模型,的应用,一一对应思想,一班,8,面红旗，二班比一班多,4,面，二班多少面？,一班,88,面红旗，二班比一班多,44,面，二班多少面？,和一班同样多的,88,面,一班有,88,面,比一班多,44,面,一班,88,面红旗，二班比一班多,，二班多少面？,数学的抽象,四则运算的模型,加法：,减法（加法的逆运算）：,求剩余：草地上原来有,8,只小鸡，跑走了,3,只，还剩几只？,求未知加数：盒子里一共有,10,个球，其中红球有,4,个，其余的是蓝球，蓝球有几个？,？,？,乘法（加法的简便运算）：,除法（乘法的逆运算）：,“包含除”：,12,个桃，每,3,个一份，可以分几份？,“等分除”：,12,个桃，平均分成,4,份，每份几个？,？,分数四则运算和整数四则运算的意义在本质上完全一致。,常见的,数量关系,购物问题：单价,数量,=,总价,行程问题：速度,时间,=,路程,工程问题：工作效率,工作时间,=,工作总量,粮食问题：单产量,面积,=,总产量,油耗问题：百公里油耗,路程,=,总油耗, ,单位量,数量,=,总量,25,个点,80,个点,不分主客场,分主客场,列车售票问题,北京,济南,南京,上海,北京,济南,南京,上海,n,个点：,1+2+3+4+,（,n-1,）,n,个点：,21+2+3+4+,（,n-1,）,(n-1)n,追,及问题,：,客车,每小时行,40,千米，小汽车每小时行,50,千米。现在客车在小汽车前,25,千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车,？,储蓄,问题,：,爸爸妈妈每月工资总和,4500,元,，家里平均每月支出,3000,元，余下的钱存在银行，几个月后能买一台,价格,6000,元的电视机,？,水库,大坝的上下游,容量,停车场,、停机坪、码头的调度,草场里草的生长与消耗（牧场的容量）,社会人口的增减（大城市的容量）,社会年龄构成（出生与死亡）,【,数学课本五大奇人,】,第五名：匀速行驶、从不晚点的劳模火车司机；第四名：分工明确、合作默契的良心甲乙包工头；第三名：一边注水、一边放水的疯狂泳池管理员；第二名：把母鸡和兔子装进一个笼子的变态老农；第一名：早早出门、却故意放慢脚步，只等哥哥赶上的傲娇小明。,活动过程：,先动手摆：,1,颗、,2,颗、,3,颗,在摆的过程中思考如何做到不重复、不遗漏，培养有序思考能力。,如果不摆，能不能写出某个数量的珠子能摆出的数？实现从直观到抽象的过渡。,随着珠子的变化，摆出的数有什么变化？你能发现什么规律？珠子数从,1,到,9,，摆出的数有什么规律？珠子数超过,10,，这样的规律还存在吗？,数学的基本活动经验,十位,个位,1,1,10,2,2,11,20,3,3,12,21,30,4,4,13,22,31,40,5,5,14,23,32,41,50,6,6,15,24,33,42,51,60,1,1,10,2,2,11,20,3,3,12,21,30,4,4,13,22,31,40,5,5,14,23,32,41,50,6,6,15,24,33,42,51,60,7,7,16,25,34,43,52,61,70,8,8,17,26,35,44,53,62,71,80,9,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,1,1,10,2,2,11,20,3,3,12,21,30,4,4,13,22,31,40,5,5,14,23,32,41,50,6,6,15,24,33,42,51,60,7,7,16,25,34,43,52,61,70,8,8,17,26,35,44,53,62,71,80,9,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,10,19,28,37,46,55,64,73,82,91,1,1,10,2,2,11,20,3,3,12,21,30,4,4,13,22,31,40,5,5,14,23,32,41,50,6,6,15,24,33,42,51,60,7,7,16,25,34,43,52,61,70,8,8,17,26,35,44,53,62,71,80,9,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,10,19,28,37,46,55,64,73,82,91,11,29,38,47,56,65,74,83,92,12,39,48,57,66,75,84,93,13,49,58,67,76,85,94,14,59,68,77,86,95,15,69,78,87,96,16,79,88,97,17,89,98,18,99,0,0,1,1,10,2,2,11,20,3,3,12,21,30,4,4,13,22,31,40,5,5,14,23,32,41,50,6,6,15,24,33,42,51,60,7,7,16,25,34,43,52,61,70,8,8,17,26,35,44,53,62,71,80,9,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,10,19,28,37,46,55,64,73,82,91,11,29,38,47,56,65,74,83,92,12,39,48,57,66,75,84,93,13,49,58,67,76,85,94,14,59,68,77,86,95,15,69,78,87,96,16,79,88,97,17,89,98,18,99,0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,2,12,22,32,42,52,62,72,82,92,3,13,23,33,43,53,63,73,83,93,4,14,24,34,44,54,64,74,84,94,5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,6,16,26,36,46,56,66,76,86,96,7,17,27,37,47,57,67,77,87,97,8,18,28,38,48,58,68,78,88,98,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,教学目标,：,知识与技能：数的组成、位值制、进位制,数学思考：有序思考、模式,、抽象,问题解决：无序到有序的过程、动手到动脑的过程、猜想,和,验证的过程,态度情感：数学美感的渗透、数学学习的兴趣、探究的欲望,“四基”不应仅仅看作是四个事物简单的叠加或混合，而应是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。,培养,四,能,概念界定,应用题？,解决问题？,问题解决？,应用问题？,数学应用？,从大纲,到,2001,年课标到,2011,年修订版的,变化,大纲（试用修订版）,2001,年课标,2011,年修订版课标,内容领域,数与计算,量与计量,几何初步知识,统计初步知识,代数初步知识,比和比例,应用题,实践活动,数与代数,空间与图形,统计与概率,实践与综合应用,数与代数,图形与几何,统计与概率,综合与实践,一、总,目标,第,2,条,体会,数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。,问题,解决,初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。,获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。,学会与他人合作交流。,初步形成评价与反思的意识。,2011,年修订版课标对“问题解决”的界定,强调基本过程,第一学段,第二学段,一班,8,面红旗，比二班多,4,面，二班多少面？,8+4=12,（面）,到底谁多？,阅读与理解,回顾与反思,四下,过去,：以封闭性问题、常规性问题、演绎性问题居多。,曹飞羽（,1994,）：适当出一些开放性的题目，适当出一些探索规律性的题目，适当出一些非常规的题目。,封闭性问题,开放性问题,常规性问题,探索性问题,实际问题,纯数学问题,简单问题,综合问题,经典问题,紧跟时代的问题,覆盖的范围大大扩展,三,下,：两位数乘两位数,一,下：找规律,五下：长方体和正方体,五下：因数和倍数,呈现一般性的问题解决策略,三上：,测量,三上：长方形和正方形,三,下,：四则运算,四,下：数学广角,鸡兔同笼,二上：表内乘法（二）,体现问题解决策略的多样性,一下：,100,以内数的认识,一下：,100,以内数的加减法,解决同一问题的不同层次的策略,二下：有余数除法,五,上：简易方程,突出本质的数量关系,六,上：分数除法,培养学生发现问题、提出问题的能力,提出问题比解决问题更重要，因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正,进步。,爱因斯坦,发现问题、提出,问题应贯穿,于问题解决的,整个过程。,过渡性问题,辅助性问题,如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此相关的问题。你能不能想出一个更容易着手的相关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？,波利亚,例如：三角形内角和是否都是,180,度？,直角三角形,内角和是否都是,180,度？,发展,性问题,问题,已知信息,未知信息（问题）,已知信息,未知信息（问题）,-,六,上：,圆,圆的外切正方形面积是,4,r,2,。,外切正方形与圆之间的面积是,0.86,r,2,。,内接正方形的面积是,2,r,2,。,圆与内接正方形之间的面积是,1.14,r,2,。,外切正,方形的面积是内接正方形面积的,2,倍,。,外切正方形与内接正方形之间的面积正好是和内接正方形面积相等，,都是,2,r,2,。,为什么钟面、量角器的刻度要这样设计？,这个矿泉水瓶的容积是多少？,六,下,：圆柱与圆锥,这一部分的改革要,着眼于数学思维品质与数学精神的全面提高。,三个层面的目标：,获得某个具体问题的解答。,一般性解决问题能力的获得。,猜想,的能力、探究的能力、推理的能力、调控的能力、反思的能力、课题研究的能力,数学精神的培养。,学习,数学的自信心、理性思维、批判性思维,环节一：探索活动，利用,3,颗珠子寻求移动的方法,7,次,环节,二,：继续活动，探索,4,颗珠子如何移动？多少次？,珠子颗数,3 4,移动次数,7 15,环节三：出示梵塔金箔问题,在贝拿勒斯的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。每根针像韭菜叶那样粗细。印度神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上放下了由大到小的,64,个金片，这就是所谓的梵塔。,不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣把这些金片在三根针上移来移去：,一次只能移一片，并且要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面。,当所有的,64,片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽,。,环节,四,：由简单问题研究起,珠子颗数,1 2,3 4,移动次数,1 3 7 15,环节五：猜想珠子颗数与移动次数之间的关系,珠子颗数,1 2,3 4,移动次数,1 3 7 15,1,2+1,32+1,72+1,22-1,22,2-,-,1,222,2,-,1,环节六：应用规律，解决问题,珠子颗数,1 2,3 4 5 6,移动次数,1 3 7 15,？ ？,2,2,2,2,=,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,=,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,1024,2,2,2,2,=,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1024,1024,1048576,1048576,1048576,18446744073709511615,一年有,86400,365,=,86400,(,秒,),一天有,3,60024=,31536000,(,秒,),约,5846,亿年,太阳寿命还剩,100,150,亿年,个级,万级,亿级,兆级,京级,N,个,N,个,N,个,a,次,N,个,N,个,N,个,a,次,1,次,a,次,a,+1+a=2a+1,感谢,聆听,敬请指正,
展开阅读全文