金融经济学4套利 - 期权

, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*, 書式設定, 書式設定,第 2 ,第 3 ,第 4 ,第 5 ,*,12,金融,*,金融经济学,第,章,套利和资产定价,2024/10/18,12,金融,1,电话：,邮箱地址：,办公地点：系办公室,305,每周,15:20-16:50,第,3,章的总结,Arrow-Debreu,证券市场,参与者的优化,市场均衡,金融资产通过市场交易定价，与投资者个人的偏好无关。,Arrow-Debreu,经济的一般均衡是存在的；,Arrow-Debreu,经济的均衡是帕累托最优的。,2024/10/18,12,金融,2,4.1,一般市场结构,复合证券：,在多个状态下有支付，且它们的,Payoff,都可以看成是由,AD,证券的组合而产生的，如债券、股票,有,N,个证券的市场结构：,2024/10/18,12,金融,3,4.1,一般市场结构（续）,冗余证券,定义：支付可以表示成其它证券支付的线性组合的证券。,由原来,N,只证券的组合生成的任意支付可由删除冗余证券之后的,N-1,只证券的组合生成。,存在市场摩擦：冗余证券的准确定义应该是它的存在与否不影响均衡配置。,2024/10/18,12,金融,4,4.1,一般市场结构（续）,证券市场的不同描述方式,X,只包括具有线性独立的证券（忽略市场摩擦）,秩：,rank(X)=minN,=N,。,2024/10/18,12,金融,5,4.1,一般市场结构（续）,证券市场的不同描述方式,2024/10/18,12,金融,6,4.1,一般市场结构（续）,定理,4.1,当且仅当具有线性独立支付的证券数 等于状态数时证券市场是完备的。,此时称经济中的不确定性可由市场中的证券生 成,span,当,rank(X)=N=,时，,X,是可逆方阵，可以用复合证券复制所有的,A-D,证券（满秩市场与,A-D,市场等价）：,2024/10/18,12,金融,7,4.2,套利,2024/10/18,12,金融,8,第,1,类套利：获得当前收益却不承担任何未来责任。,第,2,类套利：初始投资为,0,却得到正的未来收益。,套利组合：初始投资为,0,的组合,。,第,3,类套利：是第,1,类和第,2,类套利的结合。,4.2,套利（续）,例,4.1 P54,三种证券的价格与支付分别为：,A,：,1,，,1;1;1,B,：,1,，,0;2;2,C,：,2,，,2;0;0,组合,1,：,2;-1;-1,组合,2,：,0;1;1,组合,3,：,2;0;-1,2024/10/18,12,金融,9,4.2,套利（续）,套利的界定,：,只依赖公共信息，即价格与终期,收支；,不依赖状态,概率,；,任何人都可利用套,利,机会；,利用新生产技术,或私有信息获利，不属于 套,利。,2024/10/18,12,金融,10,4.3,无套利原理,定理,4.2,在市场均衡中不存在套利机会。,定义,4.2,无套利原理：证券市场中不存在套利机会,前提假设：市场参与者的不满足性；,市场无摩擦。,2024/10/18,12,金融,11,4.4,资产定价基本原理,资产定价关系或模型,：,从证券的支付,X,到其价格,S,的映射,S=V(X,),其中，,V(),称为定价算子,pricing operator,或估价算子,valuation operator,算子,:,映射或函数,2024/10/18,12,金融,12,4.4,资产定价基本原理（续）,定价算子的性质,定理,4.3,（一价定律）：,两个具有相同支付的证券或组合的价格必然相同。即：,如果,x=y,，则,V(x)=V(y),。,定理,4.4,：,支付为正的证券或组合的价格为正。即：如果,x0,，则,V(x)V(0)=0,。,2024/10/18,12,金融,13,4.4,资产定价基本原理（续）,定价算子的性质,2024/10/18,12,金融,14,定理,4.6,意味着：,，,为正向量。,4.4,资产定价基本原理（续）,资产定价基本定理,定理,4.7(fundamental theorem of asset pricing),：,证券市场无套利机会的充要条件为存在,0,使得：,2024/10/18,12,金融,15,定理,4.7,的证明,证明定理,4.7,，即需要证明集合,A,为空集的充要条件为,存在,0,使得：,充分性：假设 对所有的交易证券以及它们的组合都成立。那么,V(0)=0,，且对于,X0,V(X)0.,排除了套利机会，,A,为空。,必要性：应用,Farkas-Stiemke,引理（参考资料：金融经济学原理,/,斯蒂芬,.F.,勒罗伊,Stephen F.LeRoy,简,.,沃纳,Jan Werner,）。,2024/10/18,12,金融,16,2024/10/18,12,金融,17,4.4,资产定价基本原理（续）,定价算子的性质,定理,4.8:,在一个完备,市场中，状态价格向量是,唯一的,。,证,明,：,设组合,复制,态索取权，则其成 本,S,T,=,是确定的，即,态的状态价格是,唯一的。,2024/10/18,12,金融,18,4.5,风险中性定价和鞅,无风险债券：,Payoff,为,1,的证券,无风险利率：,1,单位无风险证券投资获得的净支付或收益率,rate of return,货币的时间价值：,以今天的,1,单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报,2024/10/18,12,金融,19,4.5,风险中性定价和鞅（续）,无风险债券定价,成本（定价）：,无风险利率：,折现因子：,2024/10/18,12,金融,20,4.5,风险中性定价和鞅（续）,任意证券定价,：,风险中性测度,Q,：,风险中性定价：,2024/10/18,12,金融,21,4.5,风险中性定价和鞅（续）,例,4.3,1,期有两个概率相等的状态，,a,和,b,。,市场上有两只证券，价格与支付为：,1,，,1,；,1,及,0.5,，,2,；,0,解：,1(1+r)=1,a + b =1,2,a =0.5,Q=1/4,3/4,证券,2,的价格：,(1/4)2+(3/4)0=0.5,但是,(1/2)2+(1/2)0=1,（在,P,下不正确）,2024/10/18,12,金融,22,4.5,风险中性定价和鞅（续）,风险,中性定价公式对新定义的测度,Q,而不是实际的概率测度,P,取期望值,P,:,反映各状态的实际概率,Q,:,由状态价格定义，表示的是规范化的状态价格向量，因而它实际上已经把证,券的风险考虑进去,了,风险,中性定价公式表达的是定价关系，,而不是实际,的概率预期,2024/10/18,12,金融,23,4.5,风险中性定价和鞅（续）,普通价格以,0,期消费品为计量单位,以,1,单位的无风险证券作为价格的计量单位,:,2024/10/18,12,金融,24,4.5,风险中性定价和鞅（续）,如果以债券价格为计量单位，证券价格在风险中性测度,Q,下是鞅过程；,Q,也称为等价鞅测度,equivalent martingale,measure,；,等价是说,Q,与真实的概率测度,P,等价：给定两个概率测度，如果他们有相同的,0,概率集，则称这两个概率测度是等价,的。,2024/10/18,12,金融,25,总结,重点：,套,利,风险中性,无套,利原理 定价算子,资产定价基本定理,扩展知识点：,鞅,2024/10/18,12,金融,26,4.4,资产定价基本原理（续）,资产定价基本定理,定理,4.7(fundamental theorem of asset pricing),：,证券市场无套利机会的充要条件为存在,0,使得：,2024/10/18,12,金融,27,定理,4.7,的证明,证明定理,4.7,，即需要证明集合,A,为空集的充要条件为,存在,0,使得：,充分性：假设 对所有的交易证券以及它们的组合都成立。那么,V(0)=0,，且对于,X0,V(X)0.,排除了套利机会，,A,为空。,必要性：应用,Farkas-Stiemke,引理（参考资料：金融经济学原理,/,斯蒂芬,.F.,勒罗伊,Stephen F.LeRoy,简,.,沃纳,Jan Werner,）。,2024/10/18,12,金融,28,2024/10/18,12,金融,29,金融经济学,第,5,章,期权：一个套利定价的例子,2024/10/18,12,金融,30,电话：,邮箱地址：,办公地点：系办公室,305,每周,15:20-16:50,本章概要,本章知识点：,期权,定义，分类，,价格,。,提前执行,股利，分析股利对执行的影响,二叉树期权定价模型,市场的完全化,扩展知识点：,B,lack-Scholes,期权定价公式,鹰式差价期权（,condor spreads,）,2024/10/18,12,金融,31,5.1,期权,期权,：,在未来,一定时期,，以,约定价格,对,标的资产,进行买卖的,权利,。,期权分类：,执行时间：欧式期权，美式期权；,权,利：买权（,call,，看涨期权），,卖权（,put,， 看跌期权）。,相关术语：,到,期日，执行价格，标的资产。,2024/10/18,12,金融,32,5.1,期权（续）,期权在,1,期的支付,X X,0,K S 0 K S,看涨期权 看跌期权,X,：期权的支付；,S,：标的资产的价格；,K,：执行价格。,2024/10/18,12,金融,33,5.1,期权（续）,期权的价格,是标的资产现在价格,S,0,和执行价格,K,的函数。,内在价值,（,intrinsic value,，内涵价值）,指立即履行合约时可获得的总利润。,实值（,0,），需值（,=,c(S,K),。,定理,5.6,：如果存在无风险证券，其收益率也就是利率,为,r,F,，那么,定理,5.7,：如果存在无风险证券且利率为,r,F,，那么,2024/10/18,12,金融,37,利用定价算子,V,（,）的性质证明定理,5.5-5.7,2024/10/18,12,金融,38,利用定价算子,V,（,）的性质证明定理,5.5-5.7,2024/10/18,12,金融,39,5.3,美式期权以及提前执行,美式期权：到期日之前的任何时刻随时都可以行权。,期权持有者只有在他更优时才提前执行,美式期权,的价格永远不会低于相应,的欧式期权的价,格,：,影响提前执行的因素：标的资产支付的股利,2024/10/18,12,金融,40,5.3,美式期权以及提前执行（续）,无股利,时的提前执行：,美式看涨期权的支付：,货币的时间价值,？考虑到期执行的现在价值,到,期日不执行的选择权,结论：提前执行看涨期权所得到的价值不会高于把它当作欧式看涨期权卖出所得的价值,。,2024/10/18,12,金融,41,5.3,美式期权以及提前执行（续）,无股利,时的提前执行：,美式,看跌,期权的支付：,K-S,考虑两种情况下的价值：,max(K-S,0,),，提前执行能够实现的价值,p(S,K,),，不执行，持有这份选择权的价值,最优执行策略：,Max(K-S,p(S,K),结论：对于美式看跌期权，没有股利，,提前执行可以是最优的,.,2024/10/18,12,金融,42,5.3,美式期权以及提前执行（续）,有股利,时的提前执行：,假设股票在,0,期时支付,股利,D,，,S,为发放股利后的股价,美式,看涨,期权持有者在,0,期有两个选择：,支付,K,执行期权，获得股利后马上抛出股票，得到,D+S-K,的收益,持有期权直至,1,期（到期日）,最优执行策略为,：,2024/10/18,12,金融,43,5.3,美式期权以及提前执行（续）,有股利,时的提前执行：,假设股票在,0,期时支付,股利,D,，,S,为发放股利后的股价,美式,看跌,期权持有者在,0,期有两个选择：,以执行价格,K,出售股票，得到,K-D-S,的收益,持有期权直至,1,期（到期日）,最优执行策略为,：,2024/10/18,12,金融,44,5.3,美式期权以及提前执行（续）,股利促使持有者，提前执行美式看涨期权，推迟执行美式看跌期权。,在,有股利,时，看涨期权和看跌期权的平价关系：,2024/10/18,12,金融,45,5.4,完全市场中的期权定价,在风险中性的环境下，金融资产的定价是未来收入现金流的预期值用无风险利率折现后的现值。,2024/10/18,12,金融,46,5.4,完全市场中的期权定价（续）,二叉树过程,股票 无风险债券,uS p 1 p,S B,dS 1-p 1 1-p,由资产定价基本定理，存在状态价格向量，使得,2024/10/18,12,金融,47,5.4,完全市场中的期权定价（续）,二叉树过程,2024/10/18,12,金融,48,例：用二叉树法对看涨期权定价,假设期权的到期时间为,t=1,，,S=100,，,u=1.1,，,d=0.9,，,K=105,，,r,F,=0.05,求,c,？,2024/10/18,12,金融,49,5.5,期权与市场完全化,如果证券市场是,完备,的，可以用原生证券,primary security,即标的证券和债券的价格为期权定价,。,如果市场是,不完备,的，则期权可以增进市场的完备性，甚至使市场完备化。,完备市场有助于资源的有效配置。,2024/10/18,12,金融,50,5.5,期权与市场完全化（续）,蝴蝶头寸,由,同一,标的证券上的、到期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权构成的组合,买入,1,份，执行价格为,K-,卖,出,2,份，执行价格为,K,买入,1,份，执行价格为,K+,1,期支付,2024/10/18,12,金融,51,5.5,期权与市场完全化（续）,鹰式头寸,由同一标的证券上的、到期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权构成的组合,买入,1,份，执行价格为,K-,-0.5,卖出,1,份，执行价格为,K,-0.5,卖出,1,份，执行价格为,K+,0.5,买入,1,份，执行价格为,K+,+,0.5,1,期,支付,2024/10/18,12,金融,52,5.5,期权与市场完全化（续）,状态,指数,证券,state-index security,：具有状态有别收支（分离支付）的证券,2024/10/18,12,金融,53,5.5,期权与市场完全化（续）,考虑如下,只证券组成的组合：,买入,1,份状态指数证券,买入以状态指数证券为标,的资产、,执行价格分别为确,X1,，,X2,，,，,X-1,的欧式看涨期权（每种期权买入,1,份，共,-1,份）,支付矩阵,2024/10/18,12,金融,54,5.5,期权与市场完全化（续）,X,满秩，市场是完备的。以状态指数证券为标的资产的期权组合可以复制,AD,证券。,假设在状态,1,，,2,，,，,时状态指数证券的支付分别为,，,2,，,3,，,，,考虑以状指数引证券为标的资产、执行价格分别为,0,，,，,2,，,3,，,，（,- 1,）,的看涨期权组合。其支付矩阵为,：,2024/10/18,12,金融,55,5.5,期权与市场完全化（续）,执行价,(k-1),，,k,，,(k+1) ,蝴蝶头寸复制状态,k,的,AD,证券，,payoff,为,状态指数证券的期权组合：可复制任意,AD,证券,AD,证券的状态价格：期权组合的现价,2024/10/18,12,金融,56,AD,证券可以以二阶差分形式的蝶式期权来复制,扩展知识,2024/10/18,12,金融,57,扩展知识,Black-Scholes,公式,t,：到期时间；,K:,执行价格；,r,：无风险利率；,S,：股票的现价；,：股价波动率；,N(,):,标准正态分布函数,2024/10/18,12,金融,58,例：假设当前股票价格为,35,，执行价格为,35,，无风险利率为,0.1,到期时间为,1,年，波动率为,0.2,。,求看涨期权的价格？,4.6,2024/10/18,12,金融,59,总结,2024/10/18,12,金融,60,消费集,C,非空，总有消费计划存在；,闭性，任何一个消费计划都可看作消费集,X,中的一个点，任何一串点的极限也是消费集,X,中的一个消费计划。,凸性，消费集,X,中的任何两个消费计划,c1,和,c2,的任意凸组合都是消费集,X,中的消费计划。,不消费也是一种消费计划， 。,2024/10/18,12,金融,61,偏好关系必须满足如下选择公理,1.,完备性 ，消费集,X,中的任何两个消费计划是可以比较好坏的,2.,反身性，任何消费计划都不比自己差,3.,传递性，不会发生循环的逻辑选择,4.,连续性，偏好关系不会发生突然的逆转。如果有一串消费集,X,中的消费计划 ，所有的都不差于消费集中的某个消费计划,c,，既有 ；而 收敛于一个消费计划,c0,，则一定有,c0=c,。,2024/10/18,12,金融,62,偏好关系必须满足如下选择公理,5.,局部非厌足性，对于任何一个消费集中的消费计划，一定可以通过对它稍作修改，获得严格比它好的消费计划。,没有一个消费计划能使得参与者完全满意。,不存在“无差异区域” 只可能存在无差异曲线。,6.,凸性，,2024/10/18,12,金融,63,函数的凹凸性,如果函数,f(x),在区间,(a,b),内可导，它的曲线位于它每一点切线的上方，那么就说曲线,y=f(x),在区间,(a,b),上是（向上）,凹的,。,如果函数,f(x),在区间,(a,b),内可导，它的曲线位于它每一点切线的下方，那么就说曲线,y=f(x),在区间,(a,b),上是（向上）,凸的,。,严格拟,凹函数,：,f,：,DR,是严格拟凹函数，当且仅当，对于所有的,x1,，,x2,D,，都有,f,（,tx1+(1-t)x2,）,min,f(x1), f(x2), ，对于所有的,t,(0,1),。,由定义,易知，所有单调一元函数能被认为是此类,函数,2024/10/18,12,金融,64,函数的凹凸性,定理,设函数,f(x),在区间,a,b,上连续，,(a,b),内可导，,如果在区间,(a,b),上,f(x),单调递增,，那么,f(x),在,a,b,上是,凹,的。,如果在区间,(a,b),上,f(x),单调递减，那么,f(x),在,a,b,上是凸的。,设函数,f(x),在区间,a,b,上连续，,(a,b),内,二阶,可导，,如果在区间,(a,b),上,f(x)0,，那么,f(x),在,a,b,上是凹的。,如果在区间,(a,b),上,f(x)0,，那么,f(x),在,a,b,上是凸的。,2024/10/18,12,金融,65,