垂线定理及逆定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三垂线定理及逆定理,(二),复习：,什么叫平面的斜线、垂线、射影？,如果a , aAO，,思考a与PO的位置关,系如何？,a,A,P,o,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面,的垂线, A为垂足;,AO,是PO在平面内的射,影.,PO 平面PAO,aPO,三垂线定理：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的,一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,PA,a ,PAa,AOa,a平面PAO,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射,影)、a(直线,)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平,面的一条斜线和,平面内,的一条直线,垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,P,a,A,o,例题分析：,例1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面,内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键:找一个平面（基准面）,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a,是平面的斜线，b是平面内的直线，,且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三垂线定理,例2: 如图,在ABC中,ACB=90,AB=8,BAC=60, PC平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。,A,P,B,C,H,由三垂线定理知PHAB,即点M在H时PM最小,解：作CH,AB于H，连PH,在,ABC中，易求得CH=2,则在RT,PCH中，PH=2,即PM的最小值为2, PC平面ABC,例3、如图，已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，连结BD,1,，,AC，CB,1,，B,1,A，求证：BD,1,平面AB,1,C,BD,1,AC,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,BD,1,平面AB,1,C,证明：,连结BD，,连结A,1,B,三垂线定理,ABCD是正方形，ACBD,又DD,1,平面ABCD,BD是斜线BD,1,在平面ABCD上的,射影,而A,1,B是,BD,1,在平面,ABB,1,A,1,内的射影 BD,1,A,B,1,关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,利用三垂线定理证明ab的一个程序：一垂、二射、,三证。,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与,一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,反过来,如果 a,PO,是否有 a,AO?,a,A,P,o,三垂线定理的逆定理:,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直.,例4 四面体P-ABC中,PABC,PBAC,求证PCAB,解:过P作PH面ABC，,连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于F,PH平面PBC, PABC,而PA在面ABC内的射影为AH,由,三垂线定理的逆定理知BC,AH,三垂线定理,则H为ABC的垂心,同理可证BFAC,P,A,B,C,E,F,G,H,连CH延长交AB于G，于是CGAB,而CH是PC在面ABC的射影,故PCAB,请你解决一个实际问题：,道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基B、道路处于同一水平面）,B,A,C,90,D,45,三垂线定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”,三垂线定理,三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和斜线的射影垂直.,