量子力学作业答案

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学,1.绪论(1/3),(常量),并近似计算 的数值，准确到二位有效数字。,1.1,由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值对应的波长 与温度,成反比，即,证明：,(1)求能量密度,(2)求极值,1.绪论(2/3),1.2,在,0,K,附近，钠的价电子能量约为,3,电子伏，求其德布罗意波长。,解：,设自由,电,子的动能为,E,，速度远小于光速，则 。根据德布罗意波长的定义，有,1.绪论(3/3),1.3,氦原子的动能是,E,=,3,kT,/2,(,k,为玻耳兹曼常数,),，求,T,=1,K,时，氦原子的德布罗意波长。,解：,设动能为,E,的氦原子的速度远小于光速，则 。根据德布罗意波长的定义，有,2.波函数和薛定谔方程(1/4),2.1,证明在定态中，概率流密度与时间无关,证明：,(1)定态波函数,(2)概率流密度,概率流密度是坐标的函数，不显含时间，因此与时间无关,2.波函数和薛定谔方程(2/4),2.2,由下列两定态波函数计算概率流密度：,从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点)传播的球面波,解：,(1)用到的公式,(2)由 , 计算概率流密度,分析,与 同向：概率向外流动。 与 反向：概率流向原点,-,的大小与 有关，与方位角无关：在,相同径向坐标 的曲面,(,即球面,),上，概率流密度相等,： 是向外传播的球面波， 是向原点传播的球面波,2.波函数和薛定谔方程(3/4),2.3,一个粒子在一维势场中运动，求粒子能级和对应的波函数,解：,(1)定态薛定谔方程,(2)解方程,归一化,能级,2.波函数和薛定谔方程(3/4),(3)分析,波函数和概率密度,：节点数 =,n,-,1,能级,2.波函数和薛定谔方程(4/4),证明：,(1) (2.6.-14)式的波函数,(2)归一化,分析：归一化常数与势阱宽度,a,的平方根成反比，也就是概率幅与,a,成反比。,a,与粒子坐标的测量有关，,1/,a,与动量的测量有关；越小，表示坐标越容易测量，但动量越难测量,2.4,证明,(2.6.-14),式中的归一化常数是,3.量子力学中的力学量(1/6),3.1,一维谐振子处在基态 ，求,(1) 势能的期望值,(2) 动能的期望值,(3) 动量的概率分布函数,解：,(1) 势能的期望值,(2) 动能的期望值,(3) 按动量的本征函数展开一维谐振子的基态,分析：,基态的动能与势能相等，各占总能量的一半；,动量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大,3.量子力学中的力学量(2/6),(4) 动能的期望值,(5) 动量的概率分布函数,(3) 最可几的半径,(1),的期望值,3.2,氢原子处在基态 ，求,(2) 势能,的期望值,解：,(0) 波函数正交归一化,，令,(1),r,的期望值,(2) 势能 的期望值,3.量子力学中的力学量(3/6),(3) 最可几的半径,(4) 动能的期望值,(5) 动量的概率分布函数,分析：,最可几的半径,对应,势能的期望值,基态能级,=,动能的期望值,+,势能期望值,最可几的半径,不等于,半径的期望值,最可几的动量,不对应,动能的期望值,3.量子力学中的力学量(4/6),3.6,设,时，粒子的状态为,求此时粒子的平均动量和平均动能,解：,(1) 确定未知常数,A,(2) 平均动量,(3) 平均动能,分析：,由,箱归一化,得到未知常数，然后具体分析中令,箱长,趋于无限大,；对称一维波函数的平均动量,为零,，平均动能,不为零,3.量子力学中的力学量(5/6),3.6,的另一解法，利用,解：,(1) 求,y,(,x,),的复数形式,(2) 求,(3) 求,(4) 求,3.量子力学中的力学量(6/6),3.11,求第,3.6,题中粒子位置和动量的测不准关系,解：,(1) 坐标的期望值,(2) 坐标平方的期望值,(3) 测不准关系,分析：,由,箱归一化,得到未知常数，然后具体分析中令,箱长,趋于无限大,；对称一维波函数的坐标期望值,为零,，坐标平方的期望值,不为零,；自由粒子的测不准关系,为无限大,