全的转动惯量的计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,J,与质量大小、质量分布、转轴位置有关,演示程序：,影响刚体转动惯量的因素,质量离散分布的刚体,质量连续分布的刚体,d,m,为质量元，简称质元。其计算方法如下：,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,5.3 定轴转动的转动惯量,例题1 求质量为,m,，长为,l,的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。,有,将,代入上式，得：,解：(1) 在棒上离轴,x,处，取一长度元d,x,（如图所示），如果棒的质量线密度为,，则长度元的质量为d,m,=,d,x,，根据转动惯量计算公式：,（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时,O,A,l,d,x,x,例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。,R,例题3 求质量为,m,、半径为,R,、厚为,h,的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,d,m,为薄圆环的质量。以,表示圆盘的质量体密度,解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为,r,，宽度为d,r,的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为,代入得,J,与,h,无关,一个质量为,m,、半径为,R,的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。,例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Y,X,Z,O,R,r,d Z,Z,（2）薄板的正交轴定理,y,x,z,o,（1）平行轴定理,d,J,C,J,D,C,常见刚体的转动惯量,解,:受力分析,取任一状态,由转动定律,例题1 一长为,l,质量为,m,的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈,角时的角加速度和角速度.,P,o,初始条件为：,=0,，,=0,例题2 一个质量为,M,，半径为,R,的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为,m,的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体,m,由静止下落,h,高度时的速度和此时滑轮的角速度。,对物体,m,，由牛顿第二定律，,滑轮和物体的运动学关系为,解：对定滑轮,M,，由转动定律，对于轴,O,，有,物体下落高度,h,时的速度,这时滑轮转动的角速度,以上三式联立，可得物体下落的加速度为,圆柱对质心的转动定律：,纯滚动条件为：,圆柱对质心的转动惯量为：,例题3 一质量为,m,、半径为,R,的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为,l,，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。,l,F,a,c,b,f,解：设静摩擦力,f,的方向如图所示，则由质心运动方程,联立以上四式，解得：,由此可见,，静摩擦力向前。,时，,当,0,2,f,R,l,，静摩擦力向后；,时，,当,0,2,f,R,l,例一静止刚体受到一等于M,0,（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M,1,， M1与刚体转动的角速度成正比,即| M,1,|=,a,(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。,M,+,M,0,M,1,已知：,M,0,M,1,= a,J,|,t=0,=0,求：,（t）,=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,J,M,+,M,0,M,1,=a,解：,4）列方程：,分离变量：,例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,1 ）当杆与铅直方向成,角时的角加速度：,2 ）当杆过铅直位置,时的角速度：,3 ) 当杆过铅直位置,时，轴作用于杆上的力。,已知,：m，L,求,：,，,，,N,解,：1）,以杆为研究对象,受力：,mg，N（不产生,对轴的力矩）,建立OXYZ坐标系,Z,N,mg,Y,X,O,L,建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）,Z,mg,Y,X,O,N,故取正值。,沿Z轴正向，,L,2）,=？,两边积分：,Z,mg,Y,X,O,N,2）,=？,3）求N=？,轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。,Z,mg,Y,X,O,N,Z,N,mg,mg,N,N,Y,N,X,3）求N=？,写成分量式：,C,Y,X,O,N,C,求N，就得求,，即C点的,加速度，现在C点作圆周运动，,可分为切向加速度和法向加速,度但对一点来说，只有一个加,速度。故这时：,.实际上正是质心的转动的切向加速度,.实际上正是质心的转动的法向加速度,Z,N,mg,Y,X,O,N,C,由角量和线量的关系:,代入(1)、（2）式中：,Z,N,mg,Y,X,O,N,C,