期望方差的定义

第一讲,随机变量的数学,期望,和,方差,P89 P98,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果,知道,了随机变量x的,概率分布,，那么x的,全部概率特征,也就,知道,了,然而，在实际问题中，,概率分布,一般是较,难确定,的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字,特征,就够了,在这些数字特征中，最常用的是,期望,和,方差,一,离散型,随机变量的数学期望和方差,例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命中环数是随机变量，分布表如下：,问: 如何评价甲和乙的技术?,X,10,9,8,7,6,5,0,P,0.5,0.2,0.1,0.1,0.05,0.05,0,Y,10,9,8,7,6,5,0,P,0.1,0.1,0.1,0.1,0.2,0.2,0.2,下面从(一),平均命中环数,和(二),从命中环数的集中或离散程度,角度进行分析,一 分析,平均命中环数,给甲100发子弹则甲,命中总环数,大约为:,X,10,9,8,7,6,5,0,P,0.5,0.2,0.1,0.1,0.05,0.05,0,平均每发命中环数估计为:,记为,EX,称为随机变量X的数学期望,Y,10,9,8,7,6,5,0,P,0.1,0.1,0.1,0.1,0.2,0.2,0.2,EY,=5.6,=8.85,=8.85,评价：,因为 EX=8.85, EY=5.6,从平均命中环数看，甲的水平高于乙,这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变量的一切可能,取值,与相应,概率乘积,的,和,二,从命中环数的集中或离散程度,角度考虑,图(1),图(2),请看下列散点图,图(1)比较集中,图(2)比较分散,偏离值,偏离值,的平方,概率P,请看下表：,偏差平方的平均值为:,X,10,9,8,7,6,5,0,P,0.5,0.2,0.1,0.1,0.05,0.05,0,EX=8.85,10-8.85,0.5,9-8.85,0.2,8-8.85,0.1,7-8.85,0.1,6-8.85,0.05,5-8.85,0.05,0-8.85,0,=,2.23,DX=,同理,DY=10.24,从,偏差平方的平均值,看：甲优于乙,设随机变量X概率分布表为,.,p,k,.,p,2,p,1,P,.,x,k,.,x,2,x,1,X,X,数学期望(或均值)定义为:,二,离散型,随机变量的数学期望和方差定义,P89 P98,E,X,=,+.,+.,X,方差定义为:,DX,=,+.,+.,偏差的平方,的,平均值,例1,设x概率分布表为,X,0,1,2,P,0.2,0.4,0.4,求,E,(x),D,(x),解,例2,设x概率分布表为,X,0,1,P,q,p,解,求,E,(x),D,(x),(p+q=1),例3,P90,按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,到站,时刻,8:10 8:30 8:50,9:10 9:30 9:50,概率,1/6 3/6 2/6,旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望,解,X-候车时间,X,P,10,30,50,70,90,解：,例,4,设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望,。,X的分布律为：,X,P,0,1,2,X,P,0,1,2,即,解,例,5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？,X-一周5天内机器发生故障天数，,Y-一周内所获利润,同理,设连续型随机变量X概率密度函数为,三 连续型随机变量的期望和方差定义,P89 P98,X,的,数学期望(或均值)定义为:,x,(,x,),X,的,方差定义为:,(,x-EX,),2,(,x,),例5,随机变量X,的概率密度为,求,E,(X,),D,(X),1,1,0,x,y,解,