30.3由不共线三点的坐标确定二次函数(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第三十章,二次函数,30.3,由不共线三点的坐,标确定二次函数,1,课堂讲解,用一般式,(,三点式,),确定二次函数解析式,用顶点式确定二次函数解析式,用交点式确定二次函数解析式,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容,.,1,知识点,用一般式（三点式）确定二次函数的解析式,知,1,讲,已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；,而用一般式求待定系数要经历以下,四,步：,第一步：,设一般式,y,ax,2,bx,c,；,第二步：将三点的坐标分别,代入一般式,中，组成一,个三元一次方程组；,第三步：,解方程组,即可求出,a,，,b,，,c,的值,；,第四步：写出,函数解析式,.,例,1,已知三点,A,(,0,，0)，,B,(1，,0,)，,C,(2，,3,)，,求由这,三点所确定的二次函数的表达式,.,知,1,讲,解：,设所求二次函数,的解析式,为,y,ax,2,bx,c,.,将,A,，,B,，,C,三点的坐标分别代入二次函数,表达式中，得,所求二次函数解析式为,y,2,x,2,3,x,1,.,解得,1.,设一般式,2.,点代入,一般式,3.,解得方程组,4.,写出解,析式,（来自,教材,）,对上面的抛物线形水流问题，请以地平线,ACF,为,横轴，以,F,为原点建立直角坐标系，并解决相应的,问题,.,知,1,练,（来自,教材,）,设所求二次函数表达式为,y,ax,2,bx,c,.,将,A,，,B,，,C,三点的坐标分别代入二次函数表达式中，,得 解得,所求二次函数表达式为,y,x,2,2,x,8.,解：,2 (,中考,宁波,),如图，已知二次函数,y,ax,2,bx,c,的图,象过,A,(2,，,0),，,B,(0,，,1),和,C,(4,，,5),三点,(1),求二次函数的表达式；,(2),设二次函数的图象与,x,轴的另一,个交点为,D,，求点,D,的坐标；,(3),在同一坐标系中画出直线,y,x,1,，并写出当,x,在什么范围内时，一次函数的值大于,二次函数的值,知,1,练,知,1,练,(1),二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象过,A,(2,，,0),，,B,(0,，,1),和,C,(4,，,5),三点，,a,，,b,，,c,1.,二次函数的表达式为,y,x,2,x,1.,(2),当,y,0,时， 得,x,2,x,1,0,，,解得,x,1,2,，,x,2,1,，,点,D,的坐标为,(,1,，,0),解：,知,1,练,(3),如图,当,1,x,4,时，一次函数的值大于二次函数的值,【,中考,黑龙江,】如图，,Rt,AOB,的直角边,OA,在,x,轴上,OAB,90,，,OA,2,，,AB,1,，将,Rt,AOB,绕点,O,逆时针旋转,90,得到,Rt,COD,，抛物线,y,x,2,bx,c,经过,B,，,D,两点,(1),求二次函数的表达式；,(2),连接,BD,，点,P,是抛物线上一点，,直线,OP,把,BOD,的周长分成,相等的两部分，求点,P,的坐标,知,1,练,3,知,1,练,(1)Rt,AOB,绕点,O,逆时针旋转,90,得到,Rt,COD,，,CD,AB,1,，,OA,OC,2,，,则点,B,(2,，,1),，,D,(,1,，,2),，代入表达式，,得：,解得,二次函数的表达式为,y,x,2,x,；,解：,知,1,练,(2),如图，设,OP,与,BD,交于点,Q,.,直线,OP,把,BOD,的周长分,成相等的两部分，,且,OB,OD,，,DQ,BQ,，即点,Q,为,BD,的中点，,点,Q,的坐标为,设直线,OP,对应的函数表达式为,y,kx,，,将点,Q,的坐标代入，得,k,，,解：,知,1,练,解得,k,3,，,直线,OP,对应的函数表达式为,y,3,x,，,代入,y,x,2,x,，,得,x,2,x,3,x,，,解得,x,1,或,x,4(,舍去,),当,x,1,时，,y,3,，,点,P,的坐标为,(1,，,3),2,知识点,用顶点式确定二次函数表达式,知,2,讲,二次函数,y,ax,2,bx,c,可化成：,y,a,(,x,-,h,),2,k,，,顶点是,(,h,k,).,如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另,一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式,.,例,2,已知抛物线的顶点坐标为,(4,，,-,1),，与,y,轴交于点,(0,，,3),求这条抛物线的解析式,.,解：,依题意设,y,a,(,x,-,h,),2,k,，将顶点,(4,，,-,1),及交点,(0,，,3),代入得,3=,a,(0,-,4),2,-,1,解得,a=,， 这条抛物线的解析,式为：,y,= (,x,-,4),2,-,1.,知,2,讲,总,结,若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通,常可设顶点式,y,a,(,x,-,h,),2,k,(,a,0).,知,2,讲,1,已知,A,(1,，,0),，,B,(0,，,1),，,C,(,1,，,2),，,D,(2,，,1),，,E,(4,，,2),五个点，抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),经过其,中三个点,(1),求证：,C,，,E,两点不可能同时在抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),上,(2),点,A,在抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),上吗？为什么？,(3),求,a,和,k,的值,知,2,练,知,2,练,(1),由题意可知，抛物线的对称轴为直线,x,1.,若点,C,(,1,，,2),在抛物线上，,则点,C,关于直线,x,1,的对称点,(3,，,2),也在这条抛,物线上,C,，,E,两点不可能同时在抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),上,证明：,知,2,练,(2),点,A,不在抛物线上,理由：若点,A,(1,，,0),在抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),上，则,k,0.,y,a,(,x,1),2,(,a,0),易知,B,(0,，,1),，,D,(2,，,1),都不在抛物线上,由,(1),知,C,，,E,两点不可能同时在抛物线上,与抛物线经过其中三个点矛盾,点,A,不在抛物线上,解：,知,2,练,由,(2),可知点,A,不在抛物线上结合,(1),的结论易知,B,，,D,一定在抛物线,y,a,(,x,1),2,k,(,a,0),上,若点,C,(,1,，,2),在此抛物线上，,则,解得,若点,E,(4,，,2),在此抛物线上，,则,解得,综上可知， 或,解：,知,3,讲,3,知识点,用交点式确定二次函数解析式,例,3,如图，已知抛物线,y,ax,2,bx,c,与,x,轴交于,点,A,(1，0)，,B,(3，0)，且过点,C,(0，3),(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；,(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物,线的顶点落在直线,y,x,上，并写出平移,后抛物线的解析式,导引：,(1),利用交点式得出,y,a,(,x,1)(,x,3),，进而求出,a,的,值，再利用配方法求出顶点坐标即可；,(2),根据左加,右减得出抛物线的解析式为,y,x,2,，进而得出答案,知,3,讲,(1)抛物线与,x,轴交于点,A,(1，0)，,B,(3，0)，,可设抛物线解析式为,y,a,(,x,1)(,x,3)，,把(0，3)代入得：3,a,3，解得：,a,1，,故抛物线的解析式为,y,(,x,1)(,x,3)，,即,y,x,2,4,x,3，,y,x,2,4,x,3(,x,2),2,1，,顶点坐标为(2，1),(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到,的抛物线的解析式为,y,x,2,，,平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线,y,x,上,解：,总,结,知,3,讲,（,1,）本题第（,2,）问是一个开放性题，平移,方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵,坐标互为相反数即可,.,（,2,）已知图象与,x,轴的交点坐标，通常选择,交点式,.,【,中考,杭州,】在平面直角坐标系中，设二次函数,y,1,(,x,a,)(,x,a,1),，其中,a,0.,(1),若函数,y,1,的图象经过点,(1,，,2),，求函数,y,1,的表达式；,(2),若一次函数,y,2,ax,b,的图象与,y,1,的图象经过,x,轴上同,一点，探究实数,a,，,b,满足的关系式；,(3),已知点,P,(,x,0,，,m,),和,Q,(1,，,n,),在函数,y,1,的图象上，若,m,n,，求,x,0,的取值范围,知,3,练,1,知,3,练,(1),由函数,y,1,的图象经过点,(1,，,2),，,得,(,a,1)(,a,),2,，解得,a,1,2,，,a,2,1.,当,a,2,时，函数,y,1,的表达式为,y,(,x,2)(,x,2,1),，,即,y,x,2,x,2,；,当,a,1,时，函数,y,1,的表达式为,y,(,x,1)(,x,2),，,即,y,x,2,x,2.,综上所述，函数,y,1,的表达式为,y,x,2,x,2.,解：,知,3,练,(2),当,y,1,0,时，,(,x,a,)(,x,a,1),0,，,解得,x,a,或,x,a,1,，,所以,y,1,的图象与,x,轴的交点是,(,a,，,0),，,(,a,1,，,0),当,y,2,ax,b,的图象经过,(,a,，,0),时，,a,2,b,0,，即,b,a,2,；,当,y,2,ax,b,的图象经过,(,a,1,，,0),时，,a,2,a,b,0,，即,b,a,2,a,.,知,3,练,(3),由题易知,y,1,的图象的对称轴为直线,x,.,当,P,在对称轴的左侧,(,含顶点,),时，,y,随,x,的增大而减小，,因为,(1,，,n,),与,(0,，,n,),关于直线,x,对称，,所以由,m,n,，得,0,x,0,；,当,P,在对称轴的右侧时，,y,随,x,的增大而增大，,由,m,n,，得,x,0,1.,综上所述，,x,0,的取值范围为,0,x,0,1.,设,列,解,答,步骤,类型,一般式（三点式）,顶点式,交点式,待定系数法求二次函数解析式,1,知识小结,