结构力学(ch6位移法)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 六 章,位 移 法,Displacement method,主 要 内 容,6,1,位移法的基本概念,6,2,单杆分析固端弯矩和刚度方程,6,3,位移法正则方程及其矩阵形式,6,4,位移法计算结构在荷载作用下的内力,6,7,对称结构的计算,6,5,位移法计算超静定结构在非荷载作用,下的内力,6,6,降低动不定次数,新单元的引入,6,8,位移法与力法的比较,6-1,位移法基本概念,位移法,displacement method,以超静定结构中的,结点位移,（线位移或角位移）,作为基本未知量，根据结点的,平衡条件,建立位,移正则方程，解出基本未知量后即可由结点位,移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平,衡方程解出全部支反力和内力。,一、力法和位移法的区别,1.,所选用的基本未知量不同，因而主攻目标不同，解决,问题的思路也不同,力 法：,原结构,静定基,多余未知力,基本未知量,原结构,过渡,位移法：,原结构,杆件,结点位移,基本未知量,原结构,过渡,2.,出发点不同,力法：,位移法：,静定结构,杆件,3.,力法只适用解超静定结构,位移法主要用于解超静定结构，但也可解静定结构,4.,位移法可采用标准化程序,基本假设,：忽略杆件轴向变形的影响。,A,B,C,l,l,图,a,原结构,P,1,1,B,C,图,b,P,1,A,B,1,图,c,二、位移法的,基本思路,1,基本未知量,为将,AB,和,BC,杆分开计算,B,点刚结,添加附加,刚臂约束,固定端,原结构,AB,和,BC,两根两端,固定梁的组合体,动定基本体系，即动定基。,利用叠加原理：,荷载位移,1,即：可把动定基拆开成两根两端固定的超静定梁分别计算，然后根据,一定的条件,（即使附加刚臂形同虚设）组合起来代替原结构,.,结点,B,的力矩平衡条件,位移法典型方程,(canonical equations in displacement method),拆,结构拆成杆件，得杆件的刚度方程,（变形协调条件）,搭,杆件组成结构，进行整体分析，得出基本方程,（静力平衡条件）,位移法求解超静定结构,需解决以下问题,：,1.,位移法的,基本未知量,包括哪些,位移,？,动定基,如何选取？,2.,两端固定的超静定梁在荷载和支座位移作用下的力法计算,单杆分析？,3.,如何建立位移法,正则方程,？,1、,基本未知量,(primary unknown in displacement method),(结点的角位移和线位移),二、位移法的基本概念,结点指结构中两根或两根以上的直杆件的,联结点,、,结构的,支承点,以及任何伸出杆件的,自由端,。,结构上各个结点独立位移的总数称为结构的,动不定度,或,动不定次数,（结点位移自由度）,既无线位移又无角位移的结点称为,动定结点,。如固定端结点,结点位移,A,B,C,D,B,C,B,C,1）、在刚结点处加上刚臂。,2）、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。,将可能产生的结点线位移和角位移都加入人为约束，使之成为动不定度为零的结构，即“动定基本结构”，简称“动定基”。,动定基,是原结构化成的、由若干超静定梁构成的组合体,。,两端固定的超静定梁动定基的基本单元类型,(,带有附加刚臂,( ),或附加链杆,),动定基,2、,基本体系,(primary system in displacement method),附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。,3、动不定次数的确定,将动不定结构变为动定结构使其变为几何不变所需添加的约束数即为,动不定次数,。,平面刚架,独立角位移动不定度刚结点数铰端数自由端数,独立线位移将所有刚结点（固定支座和自由端）铰,化，使之成为几何不变体系所需添加的,链杆数。,铰化,添加链杆,连续梁动不定度的确定可参照平面刚架。,如何确定基本未知量举例：,动不定度使原结构变成相应动定基所需施加的附加约束数,桁架,:,线位移自由度,2j-b,3,角1线,4,角2线,4,角2线,2,角1线,3,角,2,线,4,角2线,6-2,单杆分析固端弯矩和刚度方程,一、杆端力的表示方法和正负号的规定,1、弯矩：,MAB,表示,AB,杆,A,端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。,P,B,A,M,AB,0,M,BA,0,2、剪力：,Q,AB,表示,AB,杆,A,端的剪力。正负号规定同前。,P,B,A,Q,BA,0,Q,AB,0,3、固端弯矩,(,fixed-end moment,),、固端剪力,(,fixed-end shear force,),-,单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端,弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用,M,AB,、M,BA,、Q,AB,、Q,BA,表示,二、,两端固定梁在跨间荷载作用下的固端弯矩,(fixed-end moment),B,A,P,l,M,AB,M,BA,R,R,B,A,q,l,R,R,M,AB,M,BA,R=,P,/2,M=,Pl/8,R=,ql,/2,M=q,l,2,/8,载常数,f,Q,BA,Q,AB,P,q,A,B,AB,l,B,A,M,AB,M,BA,三、两端固定梁由于支座位移引起的杆端反力梁元刚度方程,刚度,(stiffness),-,两端固定梁由于杆端,单位位移,所引起的,杆端反力,A,B,X,1,X,2,X,3,X,4,如图示,:,支座位移,A,B,A,B,解：,2,次超静定，静定基如图所示,力法方程：,x,1,=1,l,M,l,图,x,2,=1,M,2,图,l,计算系数和自由项,l,称为,“,旋转角,”,，则：,AB,D,=,记,b,解得,：,称为,“,线刚度,”,则：,：,令,l,EI,i,=,其矩阵形式为：,即,梁元的刚度方程,描述了梁元的,杆端力,和,杆端位移,之间的关系,式中：,梁元刚度矩阵,对称矩阵,k,ij,由于“,j”,处的单位位移所引起的“,i”,处的杆端反力,“,形常数,”,B,A,l,1,2,3,4,人,B,A,l,1,2,3,4,人,杆端位移及相应反力序号规定：,四、一端固定、另一端铰支梁元的刚度方程,五、一端固定、另一端定向支承梁的刚度方程,2、荷载引起的固端力,p401,6-3,位移法正则方程及其矩阵形式,基本未知量符号的规定：,+,一、 位移法的基本原理,A,B,C,l,l,图,a,原结构,P,1,1,A,B,C,l,l,图,b,动静基,A,B,C,图,d,位移作用动定基,1,1,K,11,1,A,B,C,图,e,1,=1,作用静定基,1,1,1,A,B,C,l,l,图,c,荷载作用动定基,P,m,1,P,所以：,K,11,1,+m,1,P,=0,A,B,C,l,l,图,a,原结构,P,1,1,A,B,C,图,d,位移作用动定基,1,1,K,11,1,A,B,C,l,l,图,c,荷载作用动定基,P,m,1,P,( ),( ),K,11,-,结点,B,的刚度,K,11,代表了由于结点发生单位转角位移而引起的,结点反力距值,。它等于汇交于该结点的各杆端反力距之和。故称,“结点刚度”。,K,ij,-,由于“,j,”,的单位位移所引起的“,i,”,的反力,.,单元刚度,A,B,C,图,e,1,=1,作用静定基,1,1,1,位移法正则方程,结点,B,的力矩平衡方程,解得：,( ),然后利用单元刚度方程即可求得原结构各杆端弯矩，从而,作出原结构的,M,图。进而作,Q,图和,N,图。,也可利用叠加原理计算原结构未知反力和内力：,其中：,分别为动定基在单位位移状态下的弯矩、剪力值,分别为动定基在荷载状态下的弯矩、剪力值,载常数,形常数,( ),( ),( ),位移法的基本特点：以未知结点位移作为基本未知量,基本做法：先拆后搭,拆,施加与结点未知位移相应的附加约束（刚臂或链杆）,结构拆成若干单根杆件（梁单元）,搭,原结构,动定基,附加约束处,静力平衡条件,3,=1,(,f,),时的反力矩和反力,3,=1,2,=1,(,e,),时的反力矩和反力,2,=1,(,d,),时的反力矩和反力,1,=1,二、多次动不定结构的位移法正则方程及其矩阵形式,1,2,3,(a),原结构,(b),动静基,m,2p,m,3p,m,1p,(c),荷载单独作用,k,11,k,21,k,31,1,=1,k,12,k,22,k,32,k,13,k,23,k,33,由叠加原理，其位移法方程为：,K,11,1,+,K,12,2,K,13,3,m,1,P,=0,K,21,1,+,K,22,2,K,23,3,m,2,P,=0,K,31,1,+,K,32,2,K,33,3,m,3,P,=0,结点的力矩平衡条件,力的平衡条件,其实质：附加约束方向上的静力平衡方程。,注意：若结点上有外荷载，则在建立位移法方程时应予以考,虑，根据符号规定，可将其放在相应方程的右端项中。,K,ij,： 根据梁元刚度矩阵元素叠加可得,m,ip,： 查载常数可得。,利用内力叠加公式求结构支反力（力矩）、内力及绘内力图,M,P,、,Q,P,、,动定基,在荷载下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力,M,i,、,Q,i,、,i,动定基,在各单位位移下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力,推广：,n,次动不定结构的位移法正则方程为：,K,ij,结点刚度,m,ip,动定基在荷载下的固端弯矩（剪力），称为自由项。,K,11,1,+,K,12,2, ,K,1n,n,m,1,P,=m,1,K,21,1,+,K,22,2, ,K,2n,n,m,2,P,=m,2,K,n1,1,+,K,n2,2, ,K,n3,n,m,n,P,=m,n, ,m,i,作用于结点（结构）上与,i,方向相应的外荷载（力矩或,力），称为右端项。其方向按假设,i,的正向为基准,其矩阵形式为：,即：,结构刚度矩阵，其中,K,ij,为各结点的刚度,.,位移法典型方程,(canonical equations in displacement method),结构的刚度矩阵,(stiffness matrix),固端反力列向量,.,结点外荷载列向量,.,解得：,利用叠加原理求,M,、,Q,、,R,三、几点说明,（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。,（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。,（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。,四、解题步骤,分析结构的结点自由度，即,确定,位移法,基本未知量,1,、,2,n,（,2,）将可能产生位移的结点施以相应的约束，,得到,由若干,两端固定的超静定梁组合而成的,动定基；,（,3,）,列位移法正则方程；,（,a,）载常数表,m,ip,，处理作用于各杆的跨中荷载,;,（,b,）形常数表,k,ij,从而求结点刚度,K,ij,（,c,）建立方程的右端项,m,i,处理与未知结点位移相应的,结点外荷载,;,（4）解位移法方程；,（5）根据,M=M,1,X,1,+M,2,X,2,+M,P,绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。,6,4 位移法计算结构在荷载作用下的内力,例1、求图示连续梁的内力并作出,M,图。,q,C,l,l,B,B,B,A,a,原结构,C,B,B,B,A,b,动定基,1,q,2,解：,1).,此梁为二次动不定结构，,取结点,B,、,C,的转角位移为基本未知量,1,、,2,，得动定基如图（,b),示：,2,）列位移法正则方程,K,11,1,+,K,12,2,m,1,P,=,m,1,K,21,1,+,K,22,2,m,2,P,=,m,2,3),求载常数,m,iP,4),求结点刚度,K,ij,ql,2,/8,C,A,B,2,2,ql,/12,Mp,图,ql,2,/12,A,C,B,M,1,图,2,EI/,l,4,EI/,l,1,= 1,2,EI/,l,5),求右端项,m,i-,考虑与,i,相应的结点外荷载，以顺时针为正,C,B,B,B,A,b,动定基,1,q,2,6),代入正则方程，解之得：,（ ）,（ ）,7),求内力,:,( ),( ),绘弯矩图如图,(e),所示,C,B,A,e,M,图,2,ql/8,ql/28,ql/14,2,2,C,B,A,(f),Q,图,4,ql/7,3,ql/7,3,ql/28,依内力图求支座反力,:,M,A,=ql/28 ( ); V,A,=3ql/28 (, ),; V,B,=19ql/28 (, ),; V,C,=3ql/7(, ),2,同理：,绘剪力图,如图,(,f,),所示,:,例题,2,试计算图示刚架，绘弯矩图。,1,A,D,3EI,20kN/m,E,B,C,2m,4,m,(a ),原结构,2m,4,m,3EI,4EI,4EI,P=50kN,(b),动定基,A,D,E,B,C,1,2,解：,1).,此刚架为二次动不定结构，,取结点,A,、,B,的转角位移为基本未知量,1,、,2,，得动定基如图（,b),示：,2,）列位移法正则方程,K,11,1,+,K,12,2,m,1,P,=,0,K,21,1,+,K,22,2,m,2,P,=,0,3),求载常数,m,iP,4),求结点刚度,K,ij,5),代入正则方程，解之得：,6),求内力,:,( ),7EI,1,+,2EI,2,-80/3,=,0,2EI,1,+,11EI,2,5/3=,0,（ ）,（ ）,根据,( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),7),作弯矩图,如图（,c,）所示,(c) M,图,(kN.m),A,D,E,B,C,6.09,12.18,31.23,28.56,23.22,1.34,由结点,B,处的弯矩值校核,思考：此结构若用力法计算,六次超静定结构,?,位移法计算基本步骤,1）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力，得静定基,2）建立力法方程,4）求解力法方程，得基本未知量,5）根据叠加原理作内力图，并校核,3）作 图和 图， 计算,柔度系数 和自由项,力法计算基本步骤,1）确定基本未知量，添加约束，得动定基,2）建立位移法方程,3）计算刚度系数和自由项,4）求解位移法方程，得基本未知量,5）根据叠加原理作内力图，并校核,比较：,例题,3,试计算图示刚架，绘,M,图、,Q,图、,N,图。,A,D,EI,10kN/m,B,(a ),原结构,8,m,EI,2EI,6m,C,(b),动定基,A,D,B,C,1,2,3,解：,1).,此刚架为三次动不定结构，,取结点,B,、,C,的转角位移和,BC,杆的水平线位移为基本未知量,1,、,2,、,3,，得动定基如图（,b),示：,2,）列位移法正则方程,K,11,1,+,K,12,2,+,K,13,3,m,1,P,=,0,K,21,1,+,K,22,2,+,K,23,3,m,2,P,=,0,3),求载常数,m,iP,和结点刚度,K,ij,K,31,1,+,K,32,2,+,K,33,3,m,3,P,=,0,(b),动定基,A,D,B,C,1,2,3,4),代入正则方程，解之得：,（ ）,（ ）,( ),5),求内力,( ),根据,( ),( ),( ),( ),( ),6),作,M,图（略）,(b),动定基,A,D,B,C,1,2,3,课堂练习,:,求图示梁的弯矩图。,?,解：,1、基本未知量,2、求各杆端弯矩,求固端弯矩、,线刚度计算,3、建位移法方程,4、求基本未知量,5、求杆端弯矩,6-5,位移法计算超静定结构在,非荷载作用下的内力,K,11,1,+,K,12,2, ,K,1n,n,m,1,P,m,1,c,m,1,t,=0,K,21,1,+,K,22,2, ,K,2n,n,m,2,P,m,2c,m,2t,=0,K,n1,1,+,K,n2,2, ,K,n3,n,m,n,P,m,nc,m,nt,=0, ,问题归结为：求,m,ic,和,m,it,与力法类似,支座位移、温度改变等非荷载因素下：,例： 图示刚架的,A,支座下沉,a,，试用,位移法计算并绘其内力图。,超静定结构在支座位移(移动或转动)影响下一般会引起内力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样,不同的只有固端力一项,，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。,一、支座位移时超静定结构的位移法计算,(a),原结构,l,l,解：,1),此刚架为二次动不定结构，,取结点,B,、,C,的转角位移为基本未知量,1,、,2,，得动定基如图（,b),示：,2,）列位移法正则方程,K,11,1,+,K,12,2,m,1,C,=,0,K,21,1,+,K,22,2,m,2,C,=,0,(b),动定基,1,2,3),求,m,iC,和结点刚度,K,ij,4),代入方程得,解得,( ),( ),(b),动定基,1,2,5),求杆端弯矩,( ),根据,( ),( ),6),剪力图和轴力,( ),( ),( ),( ),课堂练习： 图示刚架的,A,支座产生了水平位移,a、,竖向位移,b=4a,及转角，试绘其弯矩图。,刚架的最后弯矩图为,6-6,降低动不定次数,新单元的引入,一、概述,两端固定梁,增加结构动不定度,二、一端固定、另一端铰支的梁元刚度方程形常数的计算,A,B,X,1,X,2,0,X,3,X,4,x,1,=1,l,M,l,图,力法方程,解：一次超静定结构,解 得,利用平衡可求得,即：,其矩阵形式为,型,梁元的刚度方程,描述了,型,梁元的,杆端力,和,杆端位移,之间的关系,式中：,型梁元,刚度矩阵,对称矩阵,k,ij,由于“,j”,处的单位位移所引起的“,i”,处的杆端反力,“,形常数,”,即,1,2,3,4,1,2,3,4,杆端位移及相应反力序号规定：,此外，,1,2,3,4,人,1,2,3,4,人,q,C,l,l,B,B,B,A,(,a),原结构,：,1,C,B,B,B,A,(,c),k,11,C,B,A,(,d),q,m,1P,C,B,B,B,A,(,b),动定基：,1,q,R,R,11,+,m,1,P,=0,1、基本体系,-,动静基,2、平衡条件,因为：,R,11,=,K,11,1,(,见图）,所以：,K,11,1,+m,1,P,=0,1,= m,1P,K,11,C,B,B,B,A,k,11,1,= ,例,1,：,例,2,：用位移法计算图示刚架,并作,M,图,已知,EI,为常数,.,A,B,C,4m,4m,图,a,原结构,P=10kN,q=2.5kN/m,D,4m,A,B,C,图,b,动定基,D,1,3,解：,1),此刚架为四次动不定结构，,取基本未知量为,1,、,2,、,3,、,，得动定基如图（,b),示：,2,）列位移法正则方程,K,11,1,+,K,12,2,+,K,13,3,+,K,1,m,1,P,=,0,K,21,1,+,K,22,2,+,K,23,3,+,K,24,4,m,2,P,=,0,3),求自由项,m,iP,和结点刚度,K,ij,K,31,1,+,K,32,2,+,K,33,3,+,K,34,4,m,3,P,=,0,K,41,1,+,K,42,2,+,K,43,3,+,K,44,4,m,4,P,=,10,A,B,C,图,b,动定基,D,1,3,4),代入正则方程，解之得：,5),求内力,(,略,),（ ）,（ ）,( ),（ ）,思考,:,是否还有其他解法,?,A,B,C,图,c,混合动定基,D,1,2,解二,:,采用,、,型梁元组成的混合动定基,K,11,1,+,K,12,2,+,m,1,P,=,0,K,21,1,+,K,22,2,m,2,P,=10,（ ）,( ),代入正则方程，解之得：,A,B,C,图,e,混合动定基,1,A,B,C,图,d,等效结构,P=10kN,q=2.5kN/m,=,kN,m,K,11,1,+,m,1,P,=,M,（ ）,解三,:,简化,的混合动定基,课堂练习,:,试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆,EI,相同。,动定基,EI/3,2,EI/3,EI/3,M,1,图,1,=1,2,EI/3,M,2,图,M,P,图,2,EI/3,EI/3,EI/2,45,45,22.5,22.5,45,2,=1,30,kn,10,kn/m,动定基,5、依,M=M,1,1,+ M,2,2,+ M,P,绘弯矩图,1,2,对称结构的内力与变形特点,对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对,称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形,。,半结构的选取原则,利用结构对称性取,半结构(或四分之一结构,)进行计算时, 其半结构分开处的,约束,支座是根据其,变形条件,来确定的。,6-7,对称结构的计算,一、半结构法,用半个结构的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。,回 顾,1.,奇数跨对称结构,在对称轴上的截面,C,无转角和水平位移,，但,有竖向位移,。,（1）对称荷载作用下（图,a）,计算中所取半边结构如图（,b）,所示，,C,处取为,滑动,支承端。,在对称轴上的截面,C,无竖向位移,，但,有转角和水平位移,。,（2）反对称荷载作用下（图,a）,计算中所取半结构如图（,b）,所示，,C,处取为,链杆,支座。,2.,偶数跨对称结构,在对称轴上的截面,C,无转角和水平位移,，柱,CD,无弯矩和剪力,。,因为忽略杆,CD,的轴向变形，,（1）对称荷载作用下（图,a）,故半边结构如图（,b）,所示，,C,端为,固定支座,。,可将中 间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，于是问题就变为,奇数 跨,的问题（图,b）,（2）反对称荷载作用下（图,a）,在对称轴上，柱,CD,无轴力和轴向位移,。但,有弯矩和弯曲变形,。,其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半边结构如图,c,示。,因为忽略轴向变形的影响，,C,处的竖向支杆可取消，半边结构也可按图,d,选取。中间柱,CD,的总内力为两根分柱内力之和。由于两根分柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。,算例1,解：,1、基本未知量,2、求各杆端弯矩,3、建位移法方程,4、求基本未知量,5、求杆端弯矩,6、绘弯矩图,例2：,80,kn,15,kn/m,40,kn,40,kn,15,kn/m,40,kn,40,kn,40,kn,15,kn/m,40,kn,用位移法计算图,a,所示结构，绘制弯矩图。,E=,常数。,根据,正对称性质,，图,a,中,AB,杆不会弯曲而只受轴力。在这里不计轴向变形影响，故将,AB,杆看作轴向刚度无限的链杆，则,A，B,两点的竖向位移相同，简化分析半结构如图,b,所示。,1,、试绘制结构弯矩图。已知：,A,B,C,D,12,m,6,m,原结构,课堂练习,2,、利用对称性绘制结构弯矩图。,P,P,a/2,a,a/2,3,、利用位移法求图示结构未知结点位移,EI,为常数。,4,m,4,m,2,m,P,P,Z,1,Z,2,6-8,位移法与力法的比较,力法,位移法,适用范围,超静定结构,超静定和静定结构,基本未 知量,多余约束处的未知力,未知结点位移,基本未知量数目,等于超静定次数（静不定度）,（与超静定次数无关）等于动不定次数（动不定度）,基本体系,静定基（去掉多余约束）,动定基（添加约束）,基本方程,多余约束的弥合相应的变形条件,人为约束失效相应的平衡条件,解题思路,超静定 静定基,原结构 动定基,解题基础,静定基的求解,组成动定基的各杆求解（力法）,作业：,P,173,6,1 6,2,6,5 6,6,8,8 6,10,8,9 6,11,本章结束,