角函数形式的傅里叶级数

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,长春理工大学,4.2傅立叶级数,傅里叶生平,1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”,1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,拉格朗日反对发表,1822年首次发表在“热的分析理论”,一书中,4.2傅立叶级数,傅立叶的两个最主要的贡献,“,周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点,“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,4.2傅立叶级数,周期信号与傅立叶级数,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：,三角函数式的 傅立里叶级数 cosn,1,t,sinn,1,t,复指数函数式的傅里叶级数 e,j n,1,t,4.2傅立叶级数,一、三角函数形式的傅里叶级数,直流,分量,基波分量,n =1,谐波分量,n1,4.2傅立叶级数,直流系数,余弦分量,系数,正弦分量,系数,4.2傅立叶级数,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点；,在一个周期内有有限个极值点；,在一个周期内函数绝对可积，即,一般周期信号都满足这些条件.,4.2傅立叶级数,三角函数是正交函数,4.2傅立叶级数,周期信号的另一种三角函数正交集表示,4.2傅立叶级数,几种系数之间的关系,4.2傅立叶级数,周期信号的频谱,周期信号频谱的周期信号频谱的数学表达式,4.2傅立叶级数,信号的频谱:振幅谱,相位谱.,f(t),t,T,解:,(n,为奇数),(n,为偶数为0),例1：,计算下图傅立叶级数和频谱,4.2傅立叶级数,(n,为奇数)(n为偶数时为0),4.2傅立叶级数,单边谱和双边谱,4.2傅立叶级数,1单边频谱,若周期信号 的傅里叶展开式为：,则对应的幅度频谱 和相位频谱 称为单边频谱,（a）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱,周期信号的单边频谱,4.2傅立叶级数,2双边频谱,若 周期信号的傅里叶展开式为：,4.2傅立叶级数,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；,Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和相位， 幅度谱和相位谱合一。,4.2傅立叶级数,周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，,C,n,4.2傅立叶级数,频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。,频谱的每条谱线都只能出现在基波频率,的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。,频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有收敛性。,周期信号频谱特点,4.2傅立叶级数,二、周期信号的复指数级数,由前知,由欧拉公式,其中,引入了负频率,4.2傅立叶级数,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,4.2傅立叶级数,两种傅氏级数的系数间的关系,4.2傅立叶级数,周期复指数信号的频谱图,-,4.2傅立叶级数,周期复指数信号频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；,c,n,是实函数，,F,n,一般是复函数，,F,n,=(1/2)c,n,;,每个分量幅度分在对称的频率分量上；,当,F,n,是实函数时，可用,F,n,的正负表示,0,和,相位，,幅度谱和相位谱合一,；,4.2傅立叶级数,三、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率,符合帕斯瓦尔定理,4.2傅立叶级数,四、对称信号的傅里叶级数,四种对称：,偶函数 ：f (t )=f (-t),奇函数 ：f (t )= - f (-t),半周期重叠对称：f(t)=f(t,T/2),奇谐函数 ：半周期镜像对称f(t)=-f(t,T/2),任意周期函数有：,偶函数项 奇函数项,4.2傅立叶级数,周期偶函数只含直流和,其中a是实数,b,n,=0,F,n,是实数,4.2傅立叶级数,例2,:周期三角函数是偶函数,E,f(t),T,1,/2,-T,1,/2,t,4.2傅立叶级数,周期奇函数只含正弦项,F,n,为虚数,4.2傅立叶级数,例3：,周期锯齿波是奇函数,E/2,-E/2,T,1,/2,-T,1,/2,f(t),t,0,4.2傅立叶级数,半周期重叠对称,半周期对称,平移半个周期与原波形完全重合,波形不变,4.2傅立叶级数,半周期重叠对称波形,实际周期为T/2，实际角频率为2,0,，基波和谐波频率均为,0,的偶数倍，只有偶次谐波分量。,0,T,/2,-T/2,A,4.2傅立叶级数,半周期重叠对称的傅氏级数,4.2傅立叶级数,奇谐函数,：,沿时间轴移半个周期；,沿时间轴反转重合；,波形不变；,半周期对称,4.2傅立叶级数,奇谐函数,的波形,：,f(t),T,1,/2,-T,1,/2,0,t,4.2傅立叶级数,奇谐函数的傅立叶级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,4.2傅立叶级数,例4,：,利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,4.2傅立叶级数,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,4.2傅立叶级数,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n= ;,实际中，n=N, N是有限整数。,如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小,若用2N1项逼近，则,4.2傅立叶级数,误差函数和均方误差,误差函数,均方误差,4.2傅立叶级数,例5,:,对称方波, 是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T,1,/4,-T,1,/4,t,4.2傅立叶级数,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1,N=2,N=3,4.2傅立叶级数,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,4.2傅立叶级数,由以上可见,：,N越大，越接近方波,快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；,慢变信号，低频分量，主要影响顶部；,任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真,有吉伯斯现象发生,4.2傅立叶级数,典型周期信号的傅立叶级数,周期矩形脉冲信号,周期锯齿脉冲信号,周期三角脉冲信号,周期半波脉冲信号,周期全波脉冲信号,4.2傅立叶级数,1. 周期矩形脉冲信号,f(t),t,0,E,-T,T,4.2傅立叶级数,4.2傅立叶级数,2.周期矩形脉冲的傅立叶级数,4.2傅立叶级数,x(t),F,n,t,0,0,E,T,-T,4.2傅立叶级数,频谱分析表明：,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。,各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。,各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：,主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,4.2傅立叶级数,周期矩形的频谱变化规律,：,若T不变，在改变的情况,若不变，在改变T时的情况,T,4.2傅立叶级数,对称方波是周期矩形的特例,T,1,T,1,/4,-T,1,/4,实偶函数,周期矩形,奇谐函数,对称方波,奇次余弦,4.2傅立叶级数,对称方波的频谱变化规律,T,T/4,-T/4,奇次谐波,0,0,0,1/n,4.2傅立叶级数,傅立叶级数,傅立叶级数,的系数,T,1,信号的周期,脉宽,基波频率,1,傅立叶级数小结,4.2傅立叶级数,