数理方程热传导方程的导出

电子科技大学,*,/12,热传导方程的导出,三维热传导方程推导,记,与,Laplace,算子相关的另一算子,(,梯度算子(grad),),或,(,Laplace,算子,),则有,显然,梯度算子,其中,k,是导热系数,u,(,x,y,z,),是导热体中的温度,付里叶热传导定律,:,在,d,t,时段内,通过面积元,d,S,流入体积元的热量,d,Q,与沿面积元外法线方向的温度变化率,成正比,也与,d,S,和,d,t,成正比,通过曲面进入导热体的总热量:,三维热传导方程推导,通过曲面进入导热体的总热量,:,温度升高所需热量,:,Q,1,=,Q,2,三维热传导方程,:,u,t,= a,2,u,xx,+ u,yy,+ u,zz,Q,1,=,Q,2,记,a,2,=,k,/(,c,),初始条件,:,u,(,x,y,z, 0)=,(,x,y,z,),u,t,= a,2,u,xx,+ u,yy,+ u,zz,=,u,II.,第二类边界条件,:,III.,第三类边界条件,:,I.,第一类边界条件,:,(,已知边界,温度,),(,边界上有,热流,进入,),(,边界上有,热交换,),热传导问题三类边界条件,一维热传导方程,:,u,t,= a,2,u,xx,热传导方程的初边值问题,(,第一类边界条件,),例如,L,长的细杆边界上有,热流进、出,u,(,x,t,),L,O,1,.,在,x = L,处有热流,q,流出,u,x,|,x=L,= q,/,k,2,.,在,x = L,处有热流,q,流入,u,x,|,x=L,= q,/,k,3,.,在,x =,0,处有热流,q,流出,u,x,|,x=L,= q,/,k,4,.,在,x =,0,处有热流,q,流入,u,x,|,x=L,= q,/,k,这里 为沿热流方向的方向导数,边界上有,热交换,拉普拉斯方程与拉普拉斯算子,二维热传导方程,:,u,t,= a,2,u,xx,+ u,yy,三维热传导方程,:,u,t,= a,2,u,xx,+ u,yy,+ u,zz,热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。,u,t,=,0,u,xx,+ u,yy,+ u,zz,=0 (Laplace,方程,),或,正方形区域上第一边值问题,准确解,:,O,1,x,1,y,习题2.6（P.26）1,高斯公式,格林公式与高斯公式,O,x,y,z,s,v,