(精品)2.3　数学归纳法（1）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,(1),对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,由特殊 一般,特点,:,a,2,=a,1,+d,a,3,=a,1,+2d,a,4,=a,1,+3d,a,n,=a,1,+(n-1)d,如何证明,:1+3+5+(2n-1)=n,2,(,nN,*),二、数学归纳法的概念：,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性,:,(1),验证,当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时命题成立,(2),假设,当,n=,k(k,N,*,，,kn,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立。这种证明方法叫做,数学归纳法。,验证,n=n,0,时命题成立,若,当,n=k(,kn,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立,命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立。,所以,n=k+1,时结论也成立,那么,求证,注意,1,.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可,.,2,(1)(,归纳奠基,),是递推的基础,.,找准,n,0,(2)(,归纳递推,),是递推的依据,n,k,时命题成立作为必用的条件运用，而,n,k+1,时情况则有待,利用假设,及已知的定义、公式、定理等加以证明,证明：当,n=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立。 假设,n=k(kN ,k1),时等式成立,即：,1+3+5+,+(2k-1)=k,2,，,当,n=k+1,时：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1=k,2,+2k+1=(k+1),2,，,所以当,n=k+1,时等式也成立。 由和可知，对,nN,，,原等式都成立。,例、用数学归纳法证明,1+3+5+,+(2n-1)=n,2,（,nN,）,.,请问：,第步中,“,当,n=k+1,时,”,的证明可否改换为：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+,+(2k-1)+(2k+1),= = (k+1),2,?,为什么？,例,:,用数学归纳法证明,注意,1,.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可,.,2,(1)(,归纳奠基,),是递推的基础,.,找准,n,0,(2)(,归纳递推,),是递推的依据,n,k,时命题成立作为必用的条件运用，而,n,k+1,时情况则有待,利用假设,及已知的定义、公式、定理等加以证明,例、求证,:,(,n+1)(n+2),(n+n)=2,n,1,3,(2n-1),证明：,n=1,时：左边,=1+1=2,，右边,=2,1,1=2,，,左边,=,右边，等 式成立。, 假设当,n=k(kN,）,时有：,(k+1)(k+2),(k+k)=2,k,1,3,(2n-1),当,n=k+1,时：,左边,=(k+2)(k+3),(k+k)(k+k+1)(k+k+2),=(k+1)(k+2)(k+3),(k+k),= 2,k,1,3,(2k-1)(2k+1),2,= 2,k+1,1,3,(2k-1),2(k+1)-1=,右边，,当,n=k+1,时等式也成立。,由 、可知，对一切,nN ,原等式均成立。,