3.2 线性相关性

-,*,-,第三章,向量空间,R,n,3.5,欧氏空间,R,n,3.3,向量组的秩,3.2,一个,n,元向量组的线性相关性,3.1,向量及其线性组合,3.4,向量空间,1,3.1,向量组及其线性组合,一、,n,维向量的概念,及运算,二、向量组的线性组合与线性表示,三维空间向量复习,三维空间的向量,:,有向线段。,建立标准直角坐标系后，,3,向量和坐标一一对应后，向量的运算转化为数,(,坐标,),的运算,.,我们还定义了向量的,加法,(,即平行四边形法则,),和向量的,数乘,两种运算。,4,5,定义,1,一、,n,维向量,分别,叫做,n,维行向量，,n,维列向量。,或,数,a,i,叫做向量的第,i,个分量（或坐标）,n,叫做向量的维数,。,6,特别：零向量,O=,（,0,，,0,，,，,0,），,实向量,7,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,矩阵,A,m,n,中的每一行都是,n,维行向量；,每一列都是,m,维列向量；,它们分别称为矩阵的行向量和列向量。,8,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,9,由若干个同维数的列,(,行,),向量组成的集合称为一个,向量组,.,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,10,矩阵和向量组的关系高度注意,甚至矩阵和向量组可以不加区分,11,向量是矩阵的特例，,向量的相等、加、减、数乘,运算对应于矩阵的相应运算。,向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算。,在,R,n,中的向量满足以下,8,条规律：,其中,a,、,b,、,g,都是,n,维向量，,k,、,l,为实数。,向量的线性运算：,(1),，,(2),，,(3),a+,o,=a,(4),a+,(,-a,),=,o,，,(5),(6),(7),(8),12,方程组的向量表示,13,14,15,二、线性组合与线性表示：,16,对于向量组,表达式,称为向量组,A,的一个,线性组合,.,则称向量 可由向量组,A,线性表示,.,定义,又如果 是向量组,A,的一个线性组合,即,17,特别：,（,1,）,零向量总可以由一组同维的向量线性表示。,因为,o,=0,a,1,0,a,2,0,a,m,（,2,）,向量组,a,1,，,a,2,，,，,a,m,中的任一向量,a,i,(1,i,m,),都是,此向量组的线性组合。,因为,a,i,=,0,a,1,+,1,a,i,0,a,m,18,（,3,）,任何一个,n,维向量,=(,a,1,a,2,a,n,),都是,n,维向量组,e,1,=(1,0,0),，,e,2,=(0,1,0),，,，,e,n,=(0,0,1),的线性组合，且表示法唯一。,并称,e,1,，,e,2,，,，,e,n,为,n,维单位坐标向量组。,因为,=,a,1,e,1,a,2,e,2,a,n,e,n,。,19,例,1,设,a,1,=,(1,0,0),，,a,2,=,(0,1,0),，,a,3,=,(0,0,1),，,b,=,(2,-,1,1),是,a,1,，,a,2,，,a,3,的线性组合，或,b,可由,a,1,，,a,2,，,a,3,线性表示。,b,=,2,a,1,-,a,2,+,a,3,=,(2,-,1,1),，,2(1,0,0),-,(0,1,0),(0,0,1,),即,解,由于,20,解,例题,21,22,总结,23,通过以上过程,向量,能由向量组,a,1,，,a,2,，,，,a,n,线性表示的,充要条件,是：以,x,1,，,x,2,，,，,x,n,为,未知量的线性方程组,x,1,a,1,x,2,a,2,x,n,a,n,有解。,AX,=,24,向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,即,有解,学会这种转换就可以了,!,注意,:,符号混用,另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的,.,如果,(,按定义,),(,转换为方程组,),(,用矩阵的秩,),方程组,定理,3.1.1,25,例,2,解,记,不能由,A,线性表示,;,能由,A,唯一表示,;,能由,A,有无穷多种表示,并求所有表示方法,.,设向量组,A,:,问 为何值时,向量,只需讨论,解的情况,.,具体解方程组过程略。,时,方程组无解,不能由,A,表示,.,时,方程组有唯一解,可由,A,唯一表示,.,26,时,方程组有无穷多解,可由,A,无穷多种表示,.,通解为,所有表示方法,:,其中,k,为任意实数,.,即,27,第三章,3.5,欧氏空间,3.3,向量组的秩,3.2,一个,n,元向量组的线性相关性,3.1,向量及其线性组合,3.4,向量空间,向量空间,R,n,28,3.2,一个,n,元向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量,(,如图,),设 可表为,说明,这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示,说明它们是异面的,.,这三个向量在一个平面内,(,共面,).,29,我们把上面这种向量之间的最基本,的关系予以推广,并换一种叫法,.,定义,向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组,线性相关,;,否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组,线性无关,(,或独立,).,设向量组,如果其中一个,定理,3.2.1,线性相关与线性表示之间的关系,(,证明略,),30,当,m,2,时，向量组,线性无关 向量组,中,任一个向量都不能用其余,m,-1,个,向量线性表示。,定理,3.2.1,逆否命题,等价定义,如果存在,不全为零,的数,使得,则称该向量组,线性相关,.,否则,如果设,便能推出,则称该向量组,线性无关,.,如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性,?,定义,1,31,存在不全为零的数 使,即,有非零解,.,还是转换！转换线性无关,向量组,线性相关,(,按定义,),(,转化为方程组,),齐次,方程组,(,用矩阵的秩,),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,定理,3.2.3,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,32,问向量组,和,的线性相关性,?,线性相关,.,线性无关,.,例,1,33,证明向量组 线性无关,.,证,利用条件设法推出,即可,.,设,(1),(1),式左乘,得,(1),式成为,(2),(2),式左乘,同理推出,例,3,34,例,2,设向量 可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的,.(p99,定理,3.2.2),证,设有两种表示方法,由 线性无关,35,(,参见,P.99101),(1)“,部分相关,则整体相关,.,等价地,”,观察知 相关,从而 相关,.,设,相关,要证,相关,.,使用方便的一些推论,书,P.98,例,2,36,(2)“,个数大于维数必相关”,A,的列组是,4,个,3,维向量,必相关,.,设,要证,A,的列组线性相关,.,P.101,推论,1,如：,37,(3),无关,相关,则 可由,A,唯一表示,.,这由,有唯一解,.,为以后引用方便,给它起个名子叫,唯一表示定理,.,P.99,定理,3.2.2,38,写成矩阵乘积,:,从而,(4),向量 组,B,可由向量组,A,表示,则,(,后者的,A,B,是矩阵,),存在矩阵,C,使得,B,=,AC,为以后引用方便,给它起个名子叫,表示不等式,.,也体现在,P.108,性质,3,39,(5),如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（,Steinitz,定理,）,.,则,必相关,如果,可由,表示,又,m,n,由表示不等式,从而,B,必相关,.,P.107,引理,1,40,(6)“,短的无关,则长的也无关,.,等价地,”,是无关的,.,也是无关的,.,P.101,推论,3,再如：,41,(7),含有,n,个向量的,n,元向量组线性相关（无关）,P.101,推论,2,由它,构成的,n,阶,矩阵的行列式,t,取何值时,下列向量组线性相关,?,解,记,当,t,=5,时,上面向量组线性相关,.,例,4,42,A,B,为非零矩阵且,AB,=,O,则,(A),A,的,列,组线性相关,B,的,行,组线性相关,(B),A,的,列,组线性相关,B,的,列,组线性相关,(C),A,的,行,组线性相关,B,的,行,组线性相关,(D),A,的,行,组线性相关,B,的,列,组线性相关,设 说明,Ax=,0,或,AX=O,有非零解,故,r(,A,)0,r(,B,)0,得,r(,A,),n,和,r(,B,),n,从而,A,的列组线性相关,B,的行组线性相关,.,例,5,解,43,设 线性无关,问 满足什么条件,线性相关,.,向量组,:,分析,:,这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。,P.104,则,例,6,44,设,(,要讨论上面方程组何时有非零解,),(,由,),45,线性相关,46,另证,:,由于 是列满秩矩阵,故,线性相关,上面秩,3,殊途同归,47,例,7,重要结论,设向量组 能由向量组,线性表示为,且,A,组线性无关。证明,B,组线性无关的充要条件是,证法一,(,适用于一般的线性空间,),设,48,上面方程组只有零解,即,由 线性无关,上式成立的充要条件是,49,证法二,由 线性无关,与上例一样,50,证明：,例,8,51,第三章,向量组的线性相关性,3.5,欧氏空间,3.3,向量组的秩,3.2,一个,n,元向量组的线性相关性,3.1,向量及其线性组合,3.4,向量空间,52,3.3,向量组的秩,对于给定的向量组,(,可以含无穷多向量,),如何把握向量之间的线性关系,?(,即哪些向量可由另外一些向量线性表示,),，它们的本质不变量是什么？,希望,:,在一个向量组中能找到个数最少的一些向量,而其余的向量都可由这些向量线性表示,.,由,P.102,例,7,，我们来研究向量组之间的关系,53,如果向量组 中的每个向量都可由向量组,线性表示,则称,向量组,B,可由向量组,A,线性表示。,有解,(,改写为矩阵,),(,转换为矩阵方程,),(,用矩阵的秩,),一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系,!,设,B,由,A,表示如下：,定义,1,向量组的等价,54,如果向量组 与向量组,可以相互表示,则称这两个,向量组等价,.,向量组,A,与向量组,B,等价,向量组的,等价关系,是不是,等价关系,?,矩阵的等价与矩阵的行、列向量组等价有何关系？,(,用矩阵的秩,),定理,3.3.1,设矩阵,A,经过有限次初等行（列）,变换为,B,，则,A,，,B,的行（列）向量组等价。,55,证明：,注：,56,在 中,能表示所有的,3,维向量,而且个数是最少的,.,因为,如果有 也能表示所有的向量,那么 也能表示,这与 线性无关矛盾,(Steinitz).,这样 就可以作为 的坐标系,.,极大无关组，向量组的秩,57,假设向量组,A,的部分组,A,0,是所找的,即,A,0,是,A,中所含向量个数最少的又能表示,A,中所有向量的向量组,.,首先,A,0,要是线性无关的,.,否则,A,0,中至少有一个向量可由其余的向量表示,说明,A,0,中向量个数不是最少的,;,其次,A,0,中无关向量个数还要是最多的,.,否则,如果还有无关的部分组,B,0,所含向量个数比,A,0,多,那么因,B,0,可由,A,0,表示,B,0,必相关,这就矛盾了,.,我们把,A,中满足上面两个条件的向量组叫做,A,的一个,最大无关组,，容易证明,(,稍后,),最大无关组一定可以表示,A,中所有向量且表法是唯一的。,58,(1),线性无关,(2),A,中任意,r,+1,个向量,(,如果有的话,),都线性相关,.,定义,2,如果在向量组,A,中找到,r,个向量 满足,则称向量组,A,0,是向量组,A,的一个,最大无关组,.,(2),A,中任一向量都可由,A,0,表示,.,定义,(1),线性无关,如果在向量组,A,中找到,r,个向量 满足,则称向量组,A,0,是