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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,“数学是无穷的科学”赫尔曼.外尔,第三章 幂级数展开,学习要求与内容提要,目的与要求：,掌握,复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛,朗级数的概念、性质及基本计算方法、,孤,立奇点的概念及判定、零点与极点的关系,。,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,2,无穷级数,：,一无穷多个数构成的数列,w,1,，,w,2,，,w,3,，,w,n,，,写成,w,1,+,w,2,+,w,3,+,w,n,+,就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？,为什么要研究级数,？,(1),级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；,(2),常微分方程的级数解。,研究级数需关心的,问题：,(1),级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；,(2),收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,3,3.1,复数项级数,(,一,),复数项级数,定义,形如,的表达式被称为,复数项级数,，,其中 是复数,。,部分和,级数最前面,n,项的和,4,复数项级数的,收敛,:,即为两个实数项级数,极限存在并有限,收敛性问题,若在区域内某一点,z,0,点，,前,n,项和极限存在,则,那么级数 在,z,0,点收敛，,为该无穷级数的和；否则称为发散。,例,1,解,5,绝对收敛定义,若,收敛，则称,绝对收敛,注,1,：,一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和,.,收敛的充要条件,柯西判据,：,对于任一小的正数,，,必存在一,N,使得,n,N,时有,式中,p,为任意正整数,.,注,2,：,级数,绝对收敛的充分必要条件是实数项级数,与,都绝对收敛。,6,绝对收敛级数判别法：,的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即,正项级数,的判别法。,注,3,：,两个绝对收敛级数的,和,，,积,，,仍绝对收敛,。,7,解,所以原级数发散,.,例,3,所以原级数收敛,.,8,（二）复变函数项（简称函数项）级数：,设复变函数列,w,k,(,z,),定义在区域,B,上，则由,w,k,(,z,),构成的级数称,函数项级数,当选定,z,的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。,由于函数项级数定义在区域,B,上,，,所以,它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。,9,10,一致收敛条件,-,柯西判据,函数项级数收敛条件,-,柯西判据,函数项级数在其定义域,B,中的收敛条件,可由,柯西判据,判定：,对于,任意给定的,正数,，,必存在一,N,(,z,),使得,n,N,(,z,),时有,则,函数项级数,收敛，,但,N,(,z,),与复变量,z,有关,。,11,一致收敛级数的性质,性质,1,：若,w,k,(,z,),在,B,内连续，函数级数 在,B,内一致收敛，则和函数,w,(,z,),也是,B,内的连续函数,。,性质,2,：,若级数 在区域,B,内的分段光滑曲线,l,上一致收敛，且,w,k,(,z,),为,l,上的连续函数，则,级数可沿,l,逐项积分,：,这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收,敛,级数可以逐项求极限。,12,绝对一致收敛,13,14,15,这是一种,特殊形式的常用函数项级数,。,3.2,幂级数,幂级数,：通项为幂函数的级数,:,（一）,定义,16,（二）幂级数的敛散性,2.,收敛半径的求法,达朗贝尔判别法,（比值法）,:,那末收敛半径,0,lim,1,=,+,l,k,k,k,a,a,如果,1.,阿贝尔,Abel,第一,定理,如果级数 在,z,0,点,收敛，那么在以,a,点为圆心，为半径的圆内,绝对收敛，而 上一致收敛,。,如果级数 在,z,1,点,发散，则在 内处处发散,。,17,证,由于,分析,：（,1,）,级数,的,柯西判据,所以,18,所以,收敛半径为,注意,:,幂级数在,收敛圆上的敛散性需具体分析！,（,2,）当,C,R,z,0,R,19,如果,:,即,(,极限不存在,),20,方法,2:,根值法,那末收敛半径,0,lim,=,l,k,k,k,a,如果,说明,:,(,与比值法相同,),如果,21,4.,复变幂级数在收敛圆内的性质,那么,设幂级数,的收敛半径为,=,-,0,0,),(,k,k,k,z,z,a,是收敛圆,内的解析函数,。,(1),=,-,=,0,),(,),(,k,k,k,z,0,z,a,z,w,它的和函数,R,z,0,z,-,22,(2),在收敛圆内可以逐项积分,),(,z,w,即,=,-,-,=,0,.,d,),(,d,),(,k,c,k,k,c,R,a,z,c,z,z,0,z,a,z,z,w,且,可表为连续函数的回路积分。,23,记,C,R1,上点为,，,C,R1,内任一点为,z,，,则圆上的幂级数可写为,利用柯西公式,用有界函数,相乘后，在,C,R1,上一致收敛,24,且幂级数在收敛圆内可任意,逐项求导,证,:,幂级数,乘以,(3),在收敛圆,内的导数可将其幂,级数逐项求导得到,),(,z,w,.,),(,),(,1,1,=,-,-,=,k,k,k,z,0,z,ka,z,w,即,R,z,0,z,-,25,故收敛半径,例,1,求幂级数 的收敛半径,:,解,26,解,所以,例,2,求 的收敛半径,.,27,例,3,计算,解,28,思考,思考题答案,不一定。,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定,?,由于在收敛圆周上,确定,可以依复数项级,数敛散性讨论。,思考题答案,29,3.2,3.(1),（,4,）,(5,）,4.(1)(3),本讲作业,30,(,一,),问题的引入,问题,:,任一个解析函数能否用幂级数来表达？,3.3,泰勒级数展开,思路,:,1,区域内任一个,解析函数,能用,它在边界上,回路积分,表示（,柯西积分公式,），,2,幂级数,又可表为连续函数的,回路积分,。,31,(,二,),泰勒展开定理,其中,泰勒级数,定理,设,在区域,内解析,为,内的一,为,到,的边界上各点的最短距离,那末,点,时,成立,当,=,-,=,0,0,),(,),(,k,k,k,z,z,a,z,f,L,L,2,1,0,),(,!,1,0,),(,=,=,k,z,f,k,a,k,k,32,),(,内解析,在区域,设,函数,B,z,f,0,内以,为,z,B,为中心的任一圆周,C,R,B,记为,它与它的内部全包含于,.,内任意点,如图,:,.,C,R,.,r,z,=,-,0,z,圆周,由柯西积分公式,有,其中,C,R,取正方向,。,为了得到幂级数，我们展开公式的,“核”,为,z,-,z,0,幂的几何级数：,33,则,的内部,在,点,上,取在圆周,因为积分变量,C,R,z,C,R,z,.,1,0,0,-,-,z,z,z,z,所以,用有界函数,相乘后得,34,=,+,-,-,=,0,0,1,0,),(,),(,d,),(,2,1,),(,k,k,C,R,k,z,z,z,f,i,z,f,z,z,z,由,高阶导数公式,:,我们即可得,泰勒级数,的,泰勒展开式,。,在,L,),(,!,1,0,),(,z,f,k,a,k,k,=,35,;,0,0,级数称为,麦克劳林级数,时,当,=,z,因为解析，可以保证无限次可各,阶导数的连续性,;,注意：,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。,说明,:,问题：,利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数,，,展开式是否唯一？,36,当展开点：,z,=,z,1,=,z,0,时：,即,因此,解析函数展开成幂级数的结果,唯一的。,L,+,-,+,-,+,=,2,1,2,1,1,0,),(,),(,),(,z,z,b,z,z,b,b,z,f,),(,1,L,+,-,+,k,k,z,z,b,L,),(,1,另有一不同,泰勒,级数,:,设,在,z,z,f,),(,!,1,0,),(,z,f,k,a,k,k,=,b,k,=,分析：,37,(,三,),将函数展开成泰勒级数,常用方法,:,直接法和间接法,.,1.,直接法,:,由泰勒展开定理计算系数,.,),(,0,展开成幂级数,在,将函数,z,z,f,例,1,，,故有,38,在复平面内处处解析,因为,z,e,。,=,R,所以级数的收敛半径,2.,间接展开法,:,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质,(,逐项求导,积分等,),和其它数学技巧,(,代换等,),求函数的泰勒展开式。,间接法的优点,:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛。,39,例,2,.,0,sin,的泰勒展开式,在,利用间接展开法求,=,z,z,40,附,:,常见函数的泰勒展开式,41,42,例,3,解,上式,两边逐项求导,1,1,),1,(,1,2,-,=,=,+,z,z,z,上有一奇点,在,由于,1,区域内解析,即在,z,故可在其解析区域内展开成,的幂级数,z,43,例,4,*,分析,如图,-,1,O,R,=1,x,y,.,1,的幂级数,内可以展开成,所以它在,z,z,=,1,1,),1,ln,(,是它的一个奇点,平面内是解析的,向左沿负实轴剪开的,在从,-,-,+,z,44,即,将展开式两端沿,l,逐项积分,得,解,0,1,的曲线,到,内从,为收敛圆,设,z,z,l,45,复,1,解,复习,而被积函数可在,|,z|,0,内连续且可导,（,2,）,递推公式,函数的性质,对 进行分部积分，可得递推公式,1.,积分区间为无穷,;,函数,特点,:,2.,当,z,-,1 0,z,0,B,2,:,Re,z,-,1,z,0,在,B,1,中：,f,1,(,z,)=,f,2,(,z,),f,2,(,z,),是,f,1,(,z,),在中的解析延拓,.,54,（,4,）,的其他形式,令,t,=,y,2,有,令,t,=,py,就有,同理,在,B,2,中：,f,2,(,z,)=,f,3,(,z,),f,3,(,z,),是,f,2,(,z,),在中的解析延拓,.,55,例,1,计算,解,56,57,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点,?,思考题,奇函数的泰勒级数只含,z,的奇次幂项,偶函数,的泰勒级数只含,z,的偶次幂项,.,答案,思考,58,3.3,(1),（,3,）,(6,）,(8),本讲作业,59,3.5,洛朗级数展开,(,一,),问题的引入,60,例,1.,都不解析,但在圆环域,及,内都是解析的,.,而,1,1,1,1,2,+,+,+,+,+,=,-,z,z,z,z,z,k,L,L,:,1,0,内,在圆环域,z,所以,1,2,1,L,L,+,+,+,+,+,+,=,-,k,z,z,z,z,即,内可以展开成幂级数,.,61,L,L,+,-,+,+,-,+,-,+,-,=,k,z,z,z,z,),1,(,),1,(,),1,(,1,1,1,2,.,),1,(,),1,(,),1,(,1,),1,(,1,2,1,L,+,-,+,-,+,-,+,+,-,=,-,-,k,z,z,z,z,由此推想,，若,f,(,z,),在,R,2,z,-,z,0,R,1,内解析,f,(,z,),可以展开成含有负幂次项的级数,即,双边幂级数,内，,在圆环域,1,1,0,-,z,62,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,k,k,k,z,z,a,),(,.,1,0,-,-,=,双边幂级数,=,-,=,-,=,k,k,k,k,z,z,a,),(,0,k,k,k,k,k,k,z,z,a,z,z,a,),(,),(,0,0,0,1,-,+,-,=,-,=,-,本节将讨论在以,z,0,为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。,它是后面将要研究的解析函数在,孤立奇点,邻域内的性质以及定义,留数,数和计算留数的基础。,63,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,D,:,r,z,0,z,0,R,1,z,0,R,2,D,f,
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