(精品)线性代数--习题选讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.利用画线法计算下列行列式：,解,D=,64,第一章习题,A,（22,页）,解,D=,4584961057248,=2,0,解,D=,a,3,b,3,c,3,abcabcabc,解,D=,60+0000,=,a,3,b,3,c,3,3abc,=6,2,.计算下列排列的逆序数:,解,(1),(35214)=0+0+2+3+1=6,(,1)35214;(2)12 3(,n1)n；(3)n(n1)321;,(4),1 3,5,(2,n1,),246,(2n),(2),12 3(,n1)n,=0,(3),n(n1)321,=0+1+2+(n1)=,n(n1)/2,(4),1 3 5(2,n1)246(2n),=0+0+0+0+(,n1)+,(n2)+1+0,=,n(n1)/2,3,.在所有,n,级排列中，试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一？又逆序数介于它们之间的排列是否唯一？,(1)125,i86j94,为奇排列；(2)61357,ij48,为偶排列。,解,123,n,逆序数最小，,(,12 3,n,)=0,是唯一的。,4.选择,i，j,使,解,(1),(,125786394,)11，故,i7，j3。,n321,逆序数最大，,(,n321,),=,n(n1)/2，,也唯一。,逆序数介于它们之间的排列不唯一，如：,(,2134,n,),=,(,1324n,)=,2,(2),(,613572948,)12，故,i2，j9。,5.在四阶行列式,D=|a,ij,|,4,的展开式中，(1)确定含有因子,a,14,a,33,的项；(2)确定带负号并含有因子,a,21,的项。,解,因为通项为,所以(1)含有因子,a,14,a,33,的项为,a,14,a,21,a,33,a,42,和,a,14,a,22,a,33,a,41。,6.证明:若一个,n,阶行列式中等于零的元素个数大于,n,2,n,则此行列式值为零。,证明,因为,n,阶行列式通项为,(2)带负号并含有因子,a,21,的项为:,a,12,a,21,a,33,a,44,和,a,13,a,21,a,34,a,42,和,a,14,a,21,a,32,a,43,而,n,阶行列式共有,n,2,个元素，所以最多有,n1,个元素非零，所以行列式的值为零。,7.用行列式定义计算下列,n,阶行列式,解,解,8.计算下列行列式,解,解,解,解,9.证明下列等式：,证明,证明,10.按第三行展开行列式,并计算其值,解,11.计算下列行列式,解,按第一列展开,有,解,后行减去前行可得,解,n=1,时,原式=|1|=1,n=2,时,n,3,时,让各列都减去第三列,则有,=6(,n,3)!,解,按第一列展开,有,12 证明,证明,按第一列展开,有,证明,即有,而,D,1,=1+a,n,带入可得,13 解下列方程式,解,将行列式按第一行展开可见,此方程式是关于,x,的,n-1,次多项式方程.所以方程应该有,n-1,个解.,而由行列式性质可见,当,x=a,i,时,行列式等于零.所以,x=a,i,(i=1,2,n-1),是方程的,n-1,个解.,所以 方程共有,n-1,个解,分别为,a,1,a,2,a,n-1,.,解,将行列式2,n,列都减去第1列可得,即:-,x(1-x)(2-x)(n-2,-,x)=0,所以 方程共有,n-1,个解,分别为0,1,2,n-2.,14 利用,Laplace,展开定理计算,解,将行列式按第一,三行展开得,=1,(-1)(-2)=2,解,将行列式按第一,二行展开得,=1,12=2,15.解下列方程组,解,因为,可得:,所以,方程组的解为:,解,因为,所以,方程组的解为:,x,1,=1,x,2,=-1,x,3,=0,x,4,=2.,1.设,j,1,j,2,j,n-1,j,n,为一个,n,级排列,求,解,由于对排列,j,1,j,2,j,n-1,j,n,和,j,n,j,n-1,j,2,j,1,进行相应两个元素的相邻对换,其逆序数一个增加1,一个减少1.,第一章习题,B（25,页）,于是有,(,j,1,j,2,j,n-1,j,n,)+,(,j,n,j,n-1,j,2,j,1,),(,j,1,j,2,j,n-1,j,n,)+,(,j,n,j,n-1,j,2,j,1,),=(,1,2,n-1,n)+,(,n,n-1,2,1),=0,+,n(n-1)/2,=,n(n-1)/2,2 设,n,阶行列式,D=|a,ij,|,n,求,解,3 证明,解,左=,1.设,(,1)求3,A4B;(2),求,AC,BD;(3),求,A,T,A,T,B,D,T,D,DD,T,.,第二章习题,A,（48,页）,解,2.求与 乘法可交换的所有矩阵,解,令 ,则得,可见,只要,z=0,x=w.,即 ,x,y,为任意数.,3.设,A=,求,A,n,.,解,由于,4.设,解,求:(1),A,2,-B,2,;(2)(A-B)(A+B);(3)AB-BA.,5.设,AB=BA,试证下列等式:,(1)(,A+B),2,=A,2,+2AB+B,2,;,(2),A,2,B,2,=(A,B)(A+B)=(A+B)(A,B).,证明:(1)(,A+B),2,=(A+B)(A+B),=,A,2,+AB+BA+B,2,=,A,2,+2AB+B,2,(2)(,A,B)(A+B)=A,2,+AB,BA,B,2,=A,2,B,2,(,A+B)(A,B)=A,2,AB+BA,B,2,=A,2,B,2,解,6.设,求,A,6,.,=-4,A,所以,A,6,=(-4A),3,=-64A,3,=256A,2,=-1024A,解,所以,7.求下列矩阵的逆矩阵,A,11,=1,A,12,=0,A,13,=0,A,21,=-2,A,22,=1,A,23,=0,A,31,=7,A,32,=-2,A,33,=1,所以,解,解,解,8.设,试,计算(,A+2E),-1,(,A,2,-4E),及(,A+2E),-1,(,A-2E),所以,(,A+2E),-1,(,A-2E),所以,所以,A,6,=(-E)(-E)=E,A,12,=E,9.设 ,求,A,6,及,A,11,.,解,由于,A,11,=A,-1,=,10.解矩阵方程,解,11.设,求,B.,解,由,AB,=,A,+,B,可得,B,=,(A,-,E),-,1,A,所以,B,=,(A,-,E),-,1,A=,12.已知,AP,=,PB,求,A,A,5,.,解,由,AP,=P,B,可得,A,=,PBP,-,1,且,A,5,=,PB,5,P,-1,.,所以,13.,求(,P,-1,AP,),n,A,n,(n,为正整数).,解,(,P,-,1,AP,),n,=,P,-1,A,n,P.,所以,14.设4,4矩阵,A=(,2,3,4,),B=(,2,3,4,),其中,2,3,4,均为,4,1矩阵,已知|,A|=4,|B|=1,求|,A+B|.,证明:|,A+B|=|,+,2,2,2,3,2,4,|,=32+8=40,设,n,阶,方阵,A,|A|=a,0,求|,A,*,|.,解,由于,A,*,=,|,A|A,-1,=aA,-1,所以,=8|,+,2,3,4,|,=8|,2,3,4,|+8|,2,3,4,|,|,A,*,|=|aA,-1,|=a,n,|A,-1,|=a,n-1,17.设实方阵,A,0,且,A,*,=,A,T,证明|,A|,0.,证明 由于,AA,T,=AA,*,=|A|E,记,A=(a,ij,),n,若|,A|=0,则,证明,由于(,E-A)(E+A+A,2,+A,k-1,),AA,T,=,0,即,a,i1,2,+a,i2,2,+a,in,2,=0,i=1,2,n,所以|,A|,0.,=,E-A,k,=E,由于,A,是实矩阵,所以有,a,ij,=0,i,j=1,2,n,即,A=0,矛盾.,18.设,A,为,n,阶方阵,若,A,k,=,0,其中,k,为正整数,证明,(,E-A),-1,=E+A+A,2,+A,k-1,=(,E+A+A,2,+A,k-1,)-(A+A,2,+A,k-1,+A,k,),所以 (,E-A),-1,=E+A+A,2,+A,k-1,19.若,A,B,为,n,阶方阵,且,E+AB,可逆,试证,证明,(,E+BA)E-B(E+AB),-1,A,(,E+BA),-1,=E-B(E+AB),-1,A,所以,=,E-B(E+AB),-1,A+BA-BAB(E+AB),-1,A,=,E-B(E+AB),-1,-E+AB(E+AB),-1,A,=,E-B(E+AB)(E+AB),-1,-EA,=,E-BE-EA,=,E,(,E+BA),-1,=E-B(E+AB),-1,A,解,20.利用分块矩阵乘法计算,AB,其中,所以,用分块矩阵求:,(1),AB;(2)BA;(3)AB-BA;(4)A,-1,.,21.设,解,4.证明:(1)两个上三角矩阵的乘积还是上三角的;,证明,设,A=(a,ij,),B=(b,ij,),是上三角矩阵.(1),AB=(c,ij,).,第二章习题,B（50,页）,则,a,ij,=b,ij,=0,n,ij,1.,于是,ij,时有,(2)可逆上三角矩阵的逆矩阵还是上三角的.,c,ij,=a,i1,b,1j,+a,i2,b,2j,+a,ij,b,jj,+a,i(j+1),b,(j+1)j,+a,in,b,nj,=0,(2),A,的代数余子式,A,ij,则可得,A,ij,=0,(ji,时),即矩阵,AB,是上三角矩阵.,于是,A,*,是上三角矩阵,所以,A,-1,是上三角矩阵.,证明,(1)由于,于是有,5.设,A,B,分别是,n,m,阶和,mn,阶矩阵,证明:,(1)=|,E,n,-AB|=|E,m,-BA|;,(2)|,E,n,-AB|=,n-m,|,E,m,-BA|,其中数0.,但,所以有,(2)由于,于是有,所以有:,m,|E,n,-AB|=|E,m,-BA|,n,即:|,E,n,-AB|=,n-m,|E,m,-BA|,证明,由于,于是有,6.设矩阵,A,及,D-CA,-1,B,都是可逆,矩阵,证明:分块矩阵,也是可逆的,并求它的逆矩阵.,所以,又由于,所以,第三章习题,A（63,页）,解,3,1,+5,2,3,=(1,4,25,7),2.从以下方程中求向量,其中,1,T,=(2,5,1,3),2,T,=(10,1,5,10),3,T,=(4,1,1,1).,3(,1,)+2(,2,+),=5,(,3,+),证明,由已知有：3,1,+2,2,5,3,6,所以，1/6(,3,1,+2,2,5,3,),1.求向量,1,T,=(4,1,3,2),2,T,=(1,2,3,2),3,T,=(16,9,1,3),的线性组合,3,1,+5,2,3,.,1/6(,6,12,18,24)=(1,2,3,4),3.证明:向量组,1,2,s,中的任一向量,i,可由这个向量组线性表示.,证明,因为,i,=0,1,+0,2,+1,i,+0,s,即,i,可由这个向量组线性表示.,4.证明:包含零向量的向量组线性相关.,5.设有,m,个向量,1,2,m,.,证明:若,i,=,j,(ij),则向量组,1,2,m,线性相关.,而1,0,0不全为零，所以,0,1,2,s,线性相关.,证明,因为,1,0,+0,1,+0,2,+0,s,=,0,证明,因为,0,1,+,+1,i,+(-1),j,+0,m,=,0,而0,1,(-1),0不全为零,所以,1,2,m,线性相关.,6.,判断下列向量组,的线性相关性：,解,令,k,1,(1,1,0)+k,2,(0,1,1)+k,3,(3,0,0)=,0,即,(,2)(2,0),(0,-1);,证明,因为,(2,0),k,(0,-1),故(2,0),(0,-1)线性无关.,(,1)(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0);,所以,k,1,=k,2,=k,3,=0,故(1,1