重积分三重积分

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的题型和分值分布,二重积分,三重积分,第一类曲线积分,第二类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲面积分,总和,2012,10,4,14,2011,11,4,15,2010,4,4,10,18,2009,4,4,4,10,22,2008,9,4,13,2007,4,4,10,18,2006,4,12,14,30,2005,12,15,27,2004,4,4,12,20,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,二、二重积分的性质,第一节,一、二重积分的定义与可积性,三、,二重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,曲顶柱体体积,:,平面薄板的质量,:,一定义 如果 在,D,上可积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分的性质,(,k,为常数,),为,D,的面积,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,由于,则,5.,若在,D,上,6.,设,D,的面积为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.,(,二重积分的中值定理,),在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.,二重积分的对称性定理,（,1,）如果积分区域,D,关于,x,轴对称，,f(x,y,),为,y,的奇偶函数，则,(2),如果积分区域,D,关于,y,轴对称，,f(x,y,),为,x,的奇偶函数，,(3),轮换对称性：,（,4,）如果积分区域,D,关于直线,y=x,对称，则,(5),如果积分区域,D,关于原点对称，关于原点对称的两部分为,真题研讨,例,1.,计算,其中,D,由,所围成,.,解,:,令,(,如图所示,),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,设,D,是平面上以（,1,1),（,-1,1,）,（,-1,，,-1,）为顶点的三角形区域，,D,1,是,D,在第一象限的部分，则,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,(1),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2),若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域或,Y,-,型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,f,1,则可求得,D,的面积,思考,:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答,:,问,的变化范围是什么,?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、,三重积分的概念,和性质,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,定义,.,设,称为,体积元素,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似,.,性质,:,例如,中值定理,.,在有界闭域,上连续,则,存在,使得,V,为,的,体积,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对称性的应用,关于,yoz,面对称，,若区域关于原点对称，且,f(x,y,z,),关于,(,x,y,z,),是奇函数，则,二、三重积分的计算,1.,利用直角坐标计算三重积分,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),方法,3.,三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算,.,的密度函数,方法,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),该,物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),为底,d,z,为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,投影法,方法,3.,三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,的柱坐标,.,直角坐标与柱面坐标的关系,:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图,所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围,:,1),积分域,表面用柱面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用柱面坐标表示时,变量互相分离,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,的球坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围,:,1),积分域,表面用球面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用球面坐标表示时,变量互相分离,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,考研真题研讨,三重积分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。,例,3.,计算三重积分,解,:,用“,先二后一,”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,为由,例,4.,计算三重积分,所围,解,:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,计算三重积分,解,:,在柱面坐标系下,所围成,.,与平面,其,中,由抛物面,原式,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,设,计算,提示,:,利用对称性,原式,=,奇,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提示,:,利用对称性,用,球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第九章,一、立体体积,曲顶柱体,的顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二,.,曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三,.,若物体为占有,xoy,面,上区域,D,的平面薄片,(,A,为,D,的面积,),得,D,的,形心坐标,:,则它的质心坐标为,其面密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四如果物体是平面薄片,面,密度为,则转动惯量的表达式是二重积分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、物体的转动惯量,物体,对,z,轴 的转动惯量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对,x,轴的转动惯量,对,y,轴的转动惯量,对原点的转动惯量,物体的质心坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则得,形心坐标,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,