(精品)2第二章线性空间 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法概论,主讲教师：白璐,联系电话：,15291456996,bluxidian.edu.c,n,之,（线性空间）,第二章 线性空间,线性空间,理论是,线性泛函分析,的重要组成部分。应用,线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的处理方法加以系统化，在更,抽象的意义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本质联系。,1,、线性空间；,2,、线性变换；,3,、线性变换的本征值与本征向量；,4,、内积空间；,5,、正交化法；,6,、自伴算子；,7,、等距变换；,8,、正规变换的本征值与本征向量；,9,、平方可积函数空间；,10,、完备正交归一函数集；,11,、多项式逼近,12,、完备正交归一集的例子；,13,、正交多项式,第二章 线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,一、群,设,G,是一元素集，“,.”,是某种定义在,G,上的运算，对任意,有,这种运算称为,封闭运算。,定义：群,为由集合,G,和封闭运算“,.”,所组成的系统，记为,它满足以下三个公理：,（,1,）运算满足结合律：,（,2,）存在单位元素,e,，有,（,3,）对任意的 存在,逆元素,满足,注意：当群满足运算的交换率：,则称为,Abel,群或交换群。,2,线性空间,2.1,线性空间,例,：（,1,）整数的集合，以普通的加法做运算，构成,Abel,群。,此时,0,是单位元素，,n,和,n,互为逆元素,。,（,2,）二维旋转矩阵,相对矩阵乘法也是一个,Abel,群。,是单位元。,和,互为逆元素。,二、域,域是满足以下三条公理的系统，记为,（,1,）系统 是一个具有单位元素,0,的,Abel,群；,（,2,）设 是除 以外的所有 的集合，,则系统 是一个具有单位元素,e,的,Abel,群；,（,3,）相对于，满足分配率，即,2,线性空间,2.1,线性空间,例：,所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法都构成了,域。,有了域的概念我们可以定义线性空间,（,1,）在非空集合,V,内的任一对元素间定义加法运算（），使,构成,Abel,群。,(,单位元素用,0,表示，,x,的逆元素用,x,表示,),结合律,交换律,零元素,负元素,满足：,三、线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,则称,V,是数域,F,上的线性空间（向量空间），记为,V(F),。,（以上,8,个公式为线性空间的,8,个公理,）,（,2,）在数域,F,中的数与,V,中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对,F,中任意数 与,V,中任一元素,都可由该运算唯一决定,V,中的一个元素,y,记为,数乘满足：,左分配律,右分配律,结合律,数,1,的数乘,2,线性空间,2.1,线性空间,例：,n,维向量空间的定义,：是一个以,n,重有序数,为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法,其中：,向量数乘：,零向量：,的逆元：,可以证明，这个,n,维向量空间是一个线性空间，记为,例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,对于线性空间 有以下定理存在：,定理,1,：（,1,）当,y,和,z,已知时，方程 有唯一解,x,（,2,）如果 ，则,（,3,）对每一个,（,4,）对每一个,（,5,）如果 ，则 或,定理,2,：,若把 定义为,x,和,y,之差，则有,2,线性空间,2.1,线性空间,设,V,是,F,上的线性空间，如果,（即 是,V,中的某些向量的集合），且满足：,（,1,）对任意的,（,2,）对任意的,则称 是,V,的线性,子空间,。,定理,：在,V(F),中任取一组向量 ，这组向量,的所有线性组合的集合 是,V,的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合 所张成,（生成）的子空间。,四、线性子空间,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,五、线性空间的基与维数,基,：指线性空间,V,中的最大线性无关的子集。,V,中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。,维数,：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。,例：实三维空间中的三个向量组成一组基,因为它们是线性无关的且任意向量,x,均可表示成这三个向量的线性组合,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,解：在 中设有 阶矩阵 ，其中位于 的元素为,1,，其他元素为,0,。如 ，容易证明,是 的一组基，且线性无关，任何矩阵 均可由它们线性表示。,所以,又由于 ，所以,A,在该基下的坐标为：,例：写出实数域,R,上矩阵空间 的一组基，求 ，并求,在此基下的坐标。,六、线性空间的同构,（,A,）映射的定义：,设,S,1,和,S,2,是两个非空集合，如果按照一定的法则,f,，对于,S,1,中的每个元素,x,，都存在,S,2,中的一个确定的元素,y,与之对应，则称,f,为定义在,S,1,上取值于,S,2,中的一个映射，记为 ，,y,称为,x,在映射,f,下的像。,S1,：,2,线性空间,2.1,线性空间,f,S2,x,y,集,S1,称为映射,f,的定义域,集,S2,称为映射,f,的值域,映射的种类：,满射、单射、双射,（,B,）线性空间的同构,设,S=,E,*和,S=,E,是分别具有封闭运算*和,的代数系统，假设,f,是一个从,E,到,E,的双射，即一一映射，它给每个属于,E,的元,a,，,b,，,c,，,E,，都有指定的属于,E,的元，,f,（,a,），,f,（,b,），,f,（,c,），,E,，与之对应,2,线性空间,2.1,线性空间,E,：,f,E,f,(,a,),设,a,*,b,=,c,，则,c,f,（,c,）,=,f,（,a,*,b,）同构即要求,a,f,(,b,),b,f,若,a,*,b=,c,则,f,（,a,）,f,（,b,）,=,f,（,c,）,线性空间同构的判定方法：,设,U,和,V,是同一数域,F,上的两个线性空间，,f,是从,U,到,V,的一个映射，如果,:,（,1,）,f,是一个双射；,（,2,）,f,是一个线性映射，即,则称,f,是,U,到,V,的同构映射，并说,U,与,V,同构,。,定理：,域,F,上每一个,n,维线性空间都和空间 同构。,（,即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的,。）,2,线性空间,2.1,线性空间,2,线性空间,2.1,线性空间,同构的意义：,在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。,同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即,x,*,y,=,z,f,（,x,）,f,（,y,）,=,f,（,z,）,2,线性空间,2.1,线性空间,例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述,6,个,2,X,2,矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。,例如,A,XB=F,，,从右向左：把,1,换为,3,，再把,3,换为,3,，,1 3 3,2 2 1,3 1 2,，所以 对应刚好是置换,F,。,2,线性空间,2.1,线性空间,而,A,XB,=F,，,刚好是置换,F,。,一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个,系统便是同构的，或结构等同的。,定义,：指在线性空间,V(F),中变换,A,对每一个,有确定的向量 ，且对任意的,有,则称,A,为线性变换也称线性算子。式中,a,，,b,为标量,2,线性空间,2.2,线性变换,一、线性变换的定义,线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。,即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变,换是把任意向量变换成自身的线性变换。,2.2,线性变换,证明：,满足线性变换定义，得证。,2,线性空间,例：设 是 空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量 ，若变换 的定义为,则 是一个线性变换。,2.2,线性变换,2,线性空间,2.2,线性变换,2,线性空间,2.2,线性变换,二、基本运算：,（,1,）变换加法：,（,2,）变换数乘：,（,3,）变换乘法：,其中,是线性变换,，,是线性空间,V,中的向量,。,说明,：（,1,）线性变换相乘一般不服从交换律。,（,2,）满足下述运算性质,2,线性空间,三、线性变换的逆变换：,如果线性变换,A,满足：,（,1,）,（,2,）,则存在,A,的逆变换，记为 ，称,A,是可逆的。且,可逆性的判定定理：,2.2,线性变换,2,线性空间,四、线性变换的矩阵表示：,于是，当 已知时 即可完全确定。,定理,1,：,设 是线性空间 的一组基，,A,是,上的一个线性变换，只要给出 的像向量,，则,A,完全确定。,证明：,只要证明对 中任一向量 ，其像向量 唯一确定即可。由于 是基，对 有,2.2,线性变换,2,线性空间,定理,2,：,设 是 的一组基，,是 中的任意,n,个向量，则存在唯一的线性变换,A,，使,定理,3,：,有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。,即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关运算法则对应,2.2,线性变换,2,线性空间,例：,求,F,x,n,的求导变换，在基,1,，,x,，,x,2,，,x,n-1,下的矩阵。,解：,因为,即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一一对应的关系。,2.2,线性变换,2,线性空间,所以,定理,4,：,同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。,即：若存在可逆矩阵,A,，使矩阵,B,和,C,满足,则称,B,和,C,是相似矩阵,。记,矩阵的相似是一种等价关系，具有：,2.2,线性变换,2,线性空间,例：设,A,是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一矢量 绕 轴右旋一个角度,求此变换在,Cartesian,基下的矩阵。,解：这里我们用 表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空间的一组基。,2.2,线性变换,2,线性空间,因此变换,A,在基 下的矩阵表示为,根据,A,的定义：,定义：,设,A,是,V(F),上的线性变换，如果,则称 为,A,的,本征值,，为,A,的属于 的,本征向量,。,上述条件也可以表示为：,不妨设有限维空间的基,x,可表示为：,又设,A,在此基下的矩阵为 ，则有,2.3,线性变换的本征值与本征向量,2,线性空间,即：,有,非零解的条件是,：,上式左边的行列式是 的,n,次多项式。在复数域上有,n,个零点，即,n,维空间上的任何线性变换在复数域上必有,n,个本征值。另外，由于 ，的秩必然小于,n,，所以每个本征值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选择无关。,2.3,线性变换的本征值与本征向量,2,线性空间,(1),线性变换,A,的本征值的集合称为,A,的,谱,，其中本征值的模的最大值称为,谱半径,。,(2),若 是,A,的本征多项式的,k,级零点，则说该本征值 的代数重数为,k,。当 时称,A,的谱是,简并的,。,(3),如果变换,A,有,n,个线性无关的本征向量（,n,为空间维数），则它的矩阵一定可以通过相似变换,对角化,，且对角元素为,A,的本征值。,说明：,注意：定理给出,A,的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充分条件，并非必要条件。,定理：,设 是线性变换,A,的两两相异的本征值，则相应地本征向量 线性无关。,2.3,线性变换的本征值与本征向量,2,线性空间,例：下列矩阵是否与对角矩阵相似,解：,（,1,）,属于特征值 的与线性无关的特征向量有两个，因为此时,2.3,线性变换的本征值与本征向量,2,线性空间,秩：,，与线性无关的特征向量有,3,1,2,个,因此,A,一定可以与对角阵 相似。,秩：，因此属于 的线性无关的特征