(精品)第二章连续系统的时域分析

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 连续系统的时域分析,2.2,冲激响应和阶跃响应,2.1,LTI,连续系统的响应,2.3,卷积积分,2.4,卷积积分的性质,1,元件端口的电压与电流约束关系,C,2,对于一个线性系统，其激励信号,x,(,t,),与响应函数,y,(,t,),之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述,上式就是一个常系数,n,阶线性常微分方程。,2.1 LTI,连续系统的响应,一、微分方程的经典解,3,此方程的完全解由两部分组成，这就是,齐次解,和,特解,。齐次解应满足,特征方程为,1,）特征根为单根，微分方程的齐次解为,2,）特征根有重根，假设 是特征方程的,K,重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有,K,项,4,3,）若 、为共轭复根，即,那么，在齐次解中，相应于 、的部分为,5,下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。,自由项 特解,E,(,常数,),(,常数,),6,例,2.1,求微分方程,y,(t)+5y (t)+6y(t)=f(t),1),当,f(t)=2e,-t,t,0;y(0)=2,y,(0)=-1,时全解,；,2),当,f(t)=2e,-2t,t,0;y(0)=1,y,(0)=0,时全解,。,解,:1),特征方程为,2,+5,+6=0,特征根,1,-2,，,2,-3,齐次解,y,h,(t,)=c,1,e,-2t,+c,2,e,-3t,当,f(t)=2e,-t,时特解为,y,p,(t)=,pe,-t,代入得,pe,-t,-5pe,-t,+6pe,-t,=2e,-t,p=1,7,全解为,y(t)=c,1,e,-2t,+c,2,e,-3t,+e,-t,y(0)=c,1,+c,2,+1=2,y,(0)=-2c,1,-3c,2,-1=-1,c,1,=3,c,2,=-2,可得：,y(t)=3e,-2t,-2e,-3t,+e,-t,t,0,齐次解,特解,自由响应,强迫响应,8,2),齐次解仍为,y,h,(t,)=c,1,e,-2t,+c,2,e,-3t,当,f(t)=e,-2t,时特解为,y,p,(t)=p,1,te,-2t,+p,0,e,-2t,代入得,(4p,1,-10p,1,+6p,1,)te,-2t,+(-4p,1,+4p,0,+5p,1,-10p,0,+6p,0,)e,-2t,=e,-2t,p,1,=1,全解为,y(t)=c,1,e,-2t,+c,2,e,-3t,+te,-2t,+p,0,e,-2t,其一阶导数,y,(t)=-2(c,1,+p,0,)e,-2t,-3c,2,e,-3t,+e,-2t,-2 te,-2t,代入初始条件得：,y(0)=c,1,+c,2,+p,0,1,y,(0)=-2(c,1,+p,0,)-3c,2,+10,9,c,1,+p,0,=2,c,2,=-1,得,微分方程的全解,y(t)=2e,-2t,-3e,-3t,+te,-2t,t,0,全响应中随时间衰减的分量称为,瞬态响应,，不随时间衰减的部分是,稳态响应,如,P43,例,全,响应零输入响应零状态响应,自由响应强迫响应,瞬态响应稳态响应,不能区分自由响应和强迫响应,10,二、关于,0,+,与,0,-,初始值,为了确定待定系数所需的初始值,y(0),、,y,(0),等都是指,t=0,+,时刻的值。而,t,0,-,时激励尚未接入，才真正反映系统的初始情况。而且比较容易求得。因此解,LTI,系统微分方程时需要由,y,(j),(0,-,),求出,y,(j),(0,),。,例,2.2,y,(t)+3y,(t)+2y(t)=2 f (t)+6 f(t),已知,y(0,-,)=2,y,(0,-,)=0,f(t)=,(t),求,y(0,+,),、,y,(0,+,),。,解：将,f(t),代入得,y,(t)+3y,(t)+2y(t)=2 (t)+6,(t),11,对等式两边求积分得：,a=2,y(0,+,)=y(0,-,)=2,y,(0,+,)=y (0,-,)+2=2,12,三、零输入响应和零状态响应,LTI,系统的全响应,y(t),可以分解为,零输入响应,y,zi,(t,),和,零状态响应,y,zs,(t,),。即,y(t)=,y,zi,(t,)+,y,zs,(t,),。,用经典法求零输入和零状态响应时需要用响应及其各阶导数的初始值来确定待定系数。,y,(j),(t)=,y,(j),zi,(t,)+,y,(j),zs,(t,),y,(j),(0,+,)=y,(j),zi,(0,+,)+y,(j),zs,(0,+,),y,(j),(0,-,)=y,(j),zi,(0,-,)+y,(j),zs,(0,-,),对于零状态响应，由于,t=0,-,时激励尚未接入，故,y,(j),zs,(0,-,)=0,y,(j),(0-)=y,(j),zi,(0-),13,例,2.3,某,LTI,系统的微分方程为,y,(t)+3y,(t)+2y(t)=2 f (t)+6 f(t),已知,y(0,-,)=2,y,(0,-,)=0,f(t)=,(t),，求该,系统的零输入响应和零状态响应。,解：,1,）零输入响应,y,zi,(t)+3y,zi,(t)+2y,zi,(t)=0,特征根,1,-1,，,2,-2,故零,输入响应,y,zi,(t,),c,1,e,-t,+c,2,e,-2t,对于零输入响应，由于激励为零，故,y,(j),zi,(0,+,)=,y,(j),zi,(0,-,)=y,(j),(0,-,),14,y,zi,(0,+,)=y,zi,(0,-,)=y,(0,-,)=0,y,zi,(0,+,)=y,zi,(0,-,)=y(0,-,)=2,y,zi,(0,+,)=-c,1,-2c,2,=0,y,zi,(0,+,)=c,1,+c,2,=2,c,1,=4,c,2,=-2,故系统的零输入响应为,y,zi,(t,),4e,-t,-2e,-2t,，,t,0,2,）零状态响应,y,zs,(t)+3y,zs,(t)+2y,zs,(t)=2(t)+6(t),15,t0,时系统的微分方程可写为：,y,zs,(t)+3y,zs,(t)+2y,zs,(t)=6,齐次解为,d,1,e,-t,+d,2,e,-2t,，,特解为,3,y,zs,(0,+,)=,y,zs,(0,-,)=0,y,zs,(0,+,)=2,16,y,zs,d,1,e,-t,+d,2,e,-2t,3,y,zs,(0,+,)=d,1,+d,2,3,0,y,zs,(0,+,)=-d,1,-d,2,=2,d,1,=-4,d,2,=1,故系统的零状态响应为,y,zs,(t,),-4e,-t,+e,-2t,+3,，,t,0,17,18,一、冲激响应,2.2,冲激响应和阶跃响应,LTI,系统初始状态为零时，由单位冲激函数引起的响应称为,单位冲激响应,h(t),。,例,2.4,求系统,y,(t)+5y (t)+6y(t)=f(t),的单位冲激响应,解：当,f(t),=,(t),时，,y,zs,(t,),h(t),h,(t)+5h (t)+6h(t)=(t),h(0,-,)=h,(0,-,)=0,冲激函数仅在,t=0,时作用，,t=0,+,以后系统的输入实际为零。因此,h(t),和零输入响应具有相同的形式,19,故h(t)=(c,1,e,-2t,+c,2,e,-3t,),(t),h,(0,+,)-h,(0,-,)=1,h,(0,+,)=1,h(0,+,)=0,h(0,+,)=c,1,+c,2,=0,h,(0,+,)=-2c,1,-3c,2,=1,c,1,=1,c,2,=-1,得h(t)=(e,-2t,-e,-3t,),(t),h(0,+,)-h(0,-,)=0,20,对,n,阶微分方程,y,(n),(t)+a,n-1,y,(n-1),(t)+a,0,y(t)=f(t),求,冲激响应,h(t),即：,h,(n),(t)+a,n-1,h,(n-1),(t)+a,0,h(t)=,(t),其,初始条件为,h,(j),(0,+,)=0,j=0,1,n-2,h,(j),(0,-,)=0,j=0,1,n-1,h,(n-1),(0,+,)=1,21,对于更一般的情况，可以利用,LTI,系统的特性求解,例,2.5,求系统,y,(t)+5y (t)+6y(t)=f (t),+2,f (t),+3,f(t),的单位冲激响应,解：设,y,1,(t),满足,y,1,(t)+5y,1,(t)+6y,1,(t)=f(t),其,冲激响应为,h,1,(t),，,则原系统的单位冲激响应,h(t),满足,h(t)=,h,1,(t),+2,h,1,(t),+3 h,1,(t),由上题知,h,1,(t)=(e,-2t,-e,-3t,),(t),可得,h(t)=,(t),+(3e,-2t,-6e,-3t,),(t),22,二、阶跃响应,LTI,系统初始状态为零时，由单位阶跃函数引起的响应称为,单位阶跃响应,g(t),对,n,阶微分方程,y,(n),(t)+a,n-1,y,(n-1),(t)+a,0,y(t)=f(t),当,f(t)=,(t),时，,g,(n),(t)+a,n-1,g,(n-1),(t)+a,0,g(t)=,(t),g,(j),(0,+,)=0,j=0,1,n-1,g,(j),(0,-,)=0,j=0,1,n-1,初始条件为,g,(n),(t),中,包含阶跃函数，,g(t),以及其至,n-1,阶的各阶导数不包含阶跃函数，且在,t=0,均连续,23,由,(t),和,(t),的关系可得：,24,例,2.6,求系统,y,(t)+3y (t)+2y(t)=-f (t),+2,f(t),的单位阶 跃响应,解：设,g,1,满足,g,1,(t)+3,g,1,(t)+2,g,1,(t),=(t),特征值,1,-1,，,2,-2,，,特解为,1/2,g,1,(t)=(,c,1,e,-t,+c,2,e,-2t,+1/2,)(t),g,1,(0,+,)=-c,1,-2c,2,0,g,1,(0,+,)=c,1,+c,2,+1/2 0,c,1,=-1,c,2,=1/2,得到,g,1,(t)=(,-e,-t,+0.5e,-2t,+0.5,)(t),g,1,(t)=(,-e,-t,+0.5e,-2t,+0.5,)(t)+(,e,-t,-e,-2t,)(t)=(,e,-t,-e,-2t,)(t),原系统的阶跃响应,g(t)=,-,g,1,(t),+2 g,1,(t)=(-3,e,-t,+2e,-2t,)(t),25,例,2.7,如图所示的二阶电路，已知,L=0.4H,C=0.1F,G=0.6S,若以,u,s,(t),为输入，以,u,c,(t,),为输出，求该电路的冲激响应和阶跃响应,解：,1,）列写微分方程,根据电压定理和电流定理，有：,i,L,=,i,C,+i,G,=Cu,C,+Gu,C,u,L,+u,C,=,u,S,=,LCu,C,+,LGu,C,26,整理得：,根据已知条件，电路的微分方程为,u,c,(t)+6,u,c,(t)+2 5,u,c,(t)=25,u,s,(t),2,）求冲激响应,当,u,s,(t)=(t),时，电路的冲激响应,h(t),满足：,h,(t)+6,h,(t)+2 5,h,(t)=25(t),h(0,-,)=h(0,+,)=0,h,(0,-,)=0,h,(0,+,)=25,27,微分方程的特征根,1,-3+j4,，,2,-3-j4,h(t)=e,-3t,(Ccos4t+Dsin4t),(t),h(0,+,)=C=0,h,(0,+,)=4D-3C=25,C=0,D=6.25,系统的冲激响应,h(t)=6.25e,-3t,sin4t,(t),3,）求阶跃响应,当,u,s,(t)=(t),时，电路的阶跃响应,g(t),满足：,g,(t)+6,g,(t)+2 5,g,(t)=25(t),g(0,-,)=g(0,+,)=0,g,(0,-,)=0,