离散傅立叶变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章离散傅立叶变换,CHARPTER 3 DISCRETE FOURIER TRANSFORM,第一节傅立叶变换的几种形式,第二节周期序列的傅立叶级数,第三节离散傅立叶变换定义及性质,第四节离散傅立叶变换的应用,10/17/2024,1,第一节 离散傅氏变换的形式,傅氏变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的一种变换关系，当自变量“时间”和“频率“取连续值或离散值时，就形成不同的形式的傅立叶变换对。,10/17/2024,2,一、非周期连续时间、频率傅氏变换,非周期连续时间信号x(t)和它的频谱密度函数X(j)构成的傅立叶变换对为：,以连续时间矩形脉冲为例：,x(t),t,(a)非周期连续时间函数x(t),X(j,),(b)非周期连续频谱X(j,),10/17/2024,3,二、周期连续时间、离散频率傅氏级数,周期为T的连续时间信号x(t)傅氏级数系数为X(jk)：,X(jk)是以角频率为间隔的离散函数(离散频谱)，与时间信号周期之间的关系：,傅氏级数将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为整数倍的谐波，k为各次谐波序号。,x(t),T,-T,(a)周期连续时间函数x(t),X(jk,),(b)非周期离散时间函数X(jk,0,),10/17/2024,4,三、非周期离散时间、连续频率序列傅氏变换,非周期离散时间信号(序列)的傅氏变换：,式中是数字频率。,若序列x(n)由模拟信号x(t)抽样所得，抽样间隔为Ts，则抽样角频率为,S,=2,/Ts。由于=T，所以,S,=,S,T,S,，上式亦可表示为:,10/17/2024,5,时域的离散造成频域的周期延拓,时域的非周期性对应与频域的连续性,t,T,S,x(nT),(a)离散时间序列,X(e,jT,),S,-,S,0,(b)序列的频谱,离散时间序列及其频谱:,10/17/2024,6,对于一个有限长序列,将其以N为周期进行周期性延拓得：,由于周期序列不是绝对可和，无论z取任何值，其z变换都是不收敛的，即：,因此周期序列不能用z变换或傅立叶变换来进行讨论。,第二节,周期序列的离散傅氏级数,10/17/2024,7,一、离散傅立叶级数定义,设 是周期为T的模拟信号 的抽样，每个周期抽样N个，即 。则 也是周期的，周期为 或N，将 展成付氏级数：,是付氏级数系数，离散非周期.,对上式 抽样：,10/17/2024,8,抽样间隔为 的序列 的频谱函数应以,S,=2,/Ts为周期；因为 是离散和周期的，所以频谱函数 也是离散、周期的。,上式表明频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅氏变换的时间序列和频率序列的周期都是N。,10/17/2024,9,10/17/2024,10,(a)周期离散时间序列,t,x(n),T,S,T,0,2T,0,-T,0,-2T,0,0,0,S,-,S,X(k),(b)周期离散时间序列的频谱,从而得到离散傅立叶变换对为：,10/17/2024,11,离散傅立叶级数表明 是以N为周期的周期序列，其基波成分为，k次谐波成分为，为DFS的k次谐波分量的复系数。,由于 的周期性，当已知0N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确定其余的谐波分量。,令 ，则DFS变换对可写成：,10/17/2024,12,二、离散傅立叶级数的性质,假定 和 是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为,、线性,式中 为任意常数，可见由两个离散周期序列,和 线性组合成一个新的周期序列,的DFS也是周期为N的离散周期序列。,10/17/2024,13,、移位特性,时域移位,频域移位,如果N,那么,证明：,10/17/2024,14,、时域卷积特性,两个周期都为N的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即,m的取值由0（N-1），因此称为周期卷积。,10/17/2024,15,设,若,则有,这就是时域卷积定理。,周期卷积与DFS的关系,10/17/2024,16,证明：,10/17/2024,17,、频域卷积特性,对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。,若,则,10/17/2024,18,第三节离散傅立叶变换,设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列 的一个主周期，而将 看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即,同理,10/17/2024,19,反变换：,离散傅立叶变换的正变换：,10/17/2024,20,二、离散傅立叶变换的性质,、线性,若两个有限长序列 和 的线性组合：,则有：,式中为任意常数。,若 和 长度均为N，则 长度为N；若 和 的长度不等，分别为N1和N2，则 的长度为N=maxN1，N2。,若和都是N点的有限长序列，有：,10/17/2024,21,有限长序列x(n)的圆周移位是以其长度N为周期，将其延拓成周期序列并进行移位，然后取主值区间（n=0到N-1）上序列值。,一个有限长序列的右圆周移位定义为：,、序列的圆周移位,x(n),x(n),N,x(n-2),N,x(n-2),N,R,N,(n),n,n,n,n,0,0,0,0,N-1,N-1,N-1,N-1,10/17/2024,22,证明：由周期序列的时域移位性质,由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列，有,（）时域移位定理,10/17/2024,23,若：,则：,上式称为,频率移位定理,，也称为,调制定理,，此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。,（）频域移位定理,10/17/2024,24,任一序列都可表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。,周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量都是周期的，且周期为N，其主值序列为有限长序列，分别称为,圆周共轭对称分量,和,圆周共轭反对称分量,。,、共轭对称性,10/17/2024,25,设序列x(n)的长为N，以N为周期的周期延拓序列为：,该延拓序列的共轭对称分量和共轭反对称分量为：,10/17/2024,26,有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量定义为：,由于满足，有：,10/17/2024,27,DFT的一系列的对称性质：,（）,式中x,*,(n)是x(n)的共轭复序列。,（）,（）复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称部分：,10/17/2024,28,（）复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分，即：,（）若x(n)是实序列，则X(k)只有圆周共轭对称部分，即：,（）若x(n)是纯虚数序列，则X(k)只有圆周共轭反对称部分，即满足：,（7）,10/17/2024,29,例：设x1(n)和x2(n)都是实数序列，,试求X1(k)和X2(k)。,解：先利用这两个实数序列构成复序列，有,又,故,同样,故,因此可以用一次DFT计算出Y(k)，然后用上面的公式计算出X1(k)和X2(k)。,10/17/2024,30,例：试利用DFT的对称特性求和的DFT。,解：设,因为,所以,10/17/2024,31,而因为,所以,10/17/2024,32,、帕斯瓦尔（Parseval）定理,证明：,若y(n)=x(n),则,即,10/17/2024,33,、圆周卷积,）时域圆周卷积,设x,1,(n)和x,2,(n)都是N点的有限长序列，有,若,则,此卷积过程与周期卷积和过程一致，不过要取结果的主值序列。仅在0mN-1取值，因而是圆周移位，因此这个卷积和称为,圆周卷积和。,10/17/2024,34,）频域圆周卷积,利用时域与频域的对称性,若,则,）圆周相关定理,若,则,10/17/2024,35,若信号x(n)和单位抽样响应h(n)都是有限长序列，能否用圆周卷积的运算来代替线性卷积运算？,设x,1,(n)、x,2,(n)分别为N,1,点、N,2,点有限长序列,x,1,(n)和x,2,(n)的线性卷积：,x,1,(m)的非零区间为0mN,1,-1，x,2,(n-m)的非零区间为0n-mN,2,-1，则：0nN,1,+N,2,-2,）用圆周卷积求线性卷积,10/17/2024,36,设x,1,(n)和x,2,(n)进行L圆周卷积，Lmax(N,1,N,2,)。将两个序列都补零为长度为L点的序列，即,则,x1(n)和x2(n)的圆周卷积：,10/17/2024,37,将任一序列变成L点周期延拓序列，即,L点的圆周卷积y(n)是线性卷积y,l,(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列,若LN,1,+N,2,-1，则L点圆周卷积能代表线性卷积。,10/17/2024,38,两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积,0,0,0,n,n,n,1,1,2,3,4,x,1,(n),y(n)=x,1,(n)x,2,(n),0,n,3,4,0,n,4,y(n)=x,1,(n)x,2,(n),y(n)=x,1,(n)*x,2,(n),n,1,3,4,y(n)=x,1,(n)x,2,(n),0,3,1,2,(a),(b),(c),(d),(e),(f),x,2,(n),10/17/2024,39,第四节 离散付氏变换应用,一、对连续时间非周期信号傅氏变换逼近,连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换对为,10/17/2024,40,、采样：对,x(t),以T为间隔进行采样，由于,因此：,、截断：将x(n)截成长为N的有限长序列，有,由于时域抽样频率为f,S,=1/T，频域产生以f,S,为周期的周期延拓，若频域为带限信号，则有可能不产生频域混迭，而成为连续周期频谱。,10/17/2024,41,、频域抽样：,在频域一个周期中取N个样点，样点间隔为F0，fSF0。频域抽样使频域积分变成求和，而在时域就得到原截断离散时间序列的周期延拓，时域周期为F0。因此有,从而得：,10/17/2024,42,因此得到：,10/17/2024,43,二、对连续时间周期信号的傅氏级数的逼近,连续时间周期信号x(t)的傅立叶级数对为：,T,0,为连续时间周期信号的周期.,1、时域抽样x(n)=x(nT)=x(t)|,t=nT,设一个周期内的样点数为,10/17/2024,44,因此得到逼近连续时间周期信号傅立叶级数对的公式:,、将频域离散序列截断，截断长度为一个周期（时域抽样造成频域周期延拓的一个周期），有,10/17/2024,45,三、DFT计算模拟信号可能出现的问题,、频域的混迭失真及参数的选择,、截断效应,、栅栏效应,10/17/2024,46,）由采样定理可知仅当采样频率f,S,大于信号最高频率f,h,两倍时才能避免频域混迭。即抽样间隔满足=1/f,S,1/2f,h,实际信号持续时间有限，其频谱宽度无限，所以一般先对信号进行低通滤波（抗混迭滤波）以限制高频分量。,）,DFT得到的频率函数是离散的，其频域间隔为F,0,(频率分辨力),T,0,=1/F,0,为最短信号记录长度。为了对全部信号进行采样，必须使抽样点数N满足条件,、频域的混迭失真及参数的选择,10/17/2024,47,例:某频谱分析用FFT处理器,其抽样点数必须是2,的整数幂,假定没有采用任何特殊的数据处理措施,已知给定的条件为:频率分辨率10Hz,信号最高频率4kHz.试确定以下参量：最小记录长度,；抽样点间最大时间间隔（最小抽样频率）；在一个记录中最少点数,解：最小记录长度,抽样点间的最大时间间隔,10/17/2024,48,实际序列x(n)长度往往很长，用DFT对其进行谱分析时，须将它截为长度为N的有限长序列，即：,根据频率卷积定理，有,式中，,其中 部分称为主瓣。,假设 ，则,、截断效应,10/17/2024,49,|R,N,(,e,j,)|,|X(,e,j,)|,|Y(,e,j,)|,2/N,-2/N,/4,-/4,0,(a)R,N,(,e,j,)的幅频曲线,(b)X(,e,j,)的幅频曲线,(c)Y(,e,j,),的幅频曲线,10/17/2024,50,序列截断后的频谱与原序列频谱有着明显的差别，对谱分析带来两方