恒定电流的电场和磁场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章,恒定电流的电场和磁场,第三章 恒定电流的电场和磁场,3.1,恒定电流的电场,3.2,磁感应强度,3.3,恒定磁场的基本方程,3.4,矢量磁位,3.5,磁偶极子,3.6,磁介质中的场方程,3.7,恒定磁场的边界条件,3.8,标量磁位,3.9,互感和自感,3.10,磁场能量,3.11,磁场力,基本方程,E,的旋度,边值问题,边界条件,电 位,一般解法,电导与接地电阻,特殊解,(,静电比拟,),恒定电流的电场知识结构,基本物理量,J,、,E,欧姆定律,J,的散度,磁矢位,（,A,）,边值问题,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,分离变量法,镜像法,电感的计算,磁场能量及力,磁路及其计算,基本实验定律,(,安培力定律）,磁感应强度,（,B,）,(,毕奥,-,萨伐尔定律,),H,的旋度,基本方程,B,的散度,分界面边界条件,磁位,(),恒定磁场,知识结构,3.1,恒定电流的电场,3.1.1,电流密度,I,、,电流的定义,：单位时间内通过某一横截面的电量。,三种电流：,传导电流,是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液 中的离子运动形成的电流。,运流电流,是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中,运动形成的电流。,位移电流,随时间变化的电场产生的假想电流。,II,、,电流密度,的定义：与正电荷运动方向相垂直的单位面积上的电流强度。,任意面积,S,上的电流强度,I,：,图,3-1,电流密度,(A/m,3,),I,d,I,d,S,III,、,面电流密度,：,图,3-2,面电流密度,n,IV,、的另一表达式：,设电荷体密度为,，,运动速度为,v,，,则：,注：,是垂直于,d,l,，,且通过,d,l,与曲面相切的单位矢量。,n,dI,v,vdt,ds,3.1.2,电荷守恒定律,1,、电荷守恒定律,:,单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量。,（注：指电荷量的代数和守恒）,要使这个积分对任意的体积,V,均成立，必须使被积函数为零。,散度定律,-,电流的“连续性方程”,所以：,（电流的“连续性方程”微分式）,意义：空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。,2,、恒定电流场的电流连续性方程：,恒定电流场的电流不随时间变化：,所以：,（恒定电流场方程）,（积分式）,3.1.3,欧姆定律的微分形式,U,由欧姆定律：,由电阻,得：,又由电场强度和电势的关系,则：,对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比,式中,称为,电导率,，其单位为,S/m,。,值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。,（,3-11,）,电导率为无限大的导体称为,理想导电体,。,上式又称为欧姆定律 的微分形式。,注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流电流就不遵从欧姆定律,材 料,电导率,/(S/m),铁,(99.98%),10,7,黄铜,1.4610,7,铝,3.5410,7,金,3.1010,7,铅,4.5510,7,铜,5.8010,7,银,6.2010,7,硅,1.5610,-3,表,3-1,常用材料的电导率,电源,在外源中一定存在,非静电力,作用，使正电荷不断地移向正极板,P,，,负电荷不断地移向负极板,N,。,极板上的电荷在外源中形成电场,E,。,E,导电媒质,P,N,E,外 源,显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非静电力时，外源的电荷运动方才停止，,极板上的电荷也就保持恒定。,开路情况下外源内部的作用过程。,电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。,非库仑场,非静电力,图,3-3,电动势,非静电力,：化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称,因此，对闭合环路积分,总场强：,电源电动势与局外场强,保守场,=0,电动势,所以：,3.1.4,焦耳定律,在导体中，沿电流线方向取一长度为,l,、,截面为,S,的体积元，该体积元,内消耗的功率由公式,P=UI,得：,J,与,E,之关系,其极限值：,或：,（焦耳定律的微分式）,注：焦耳定律不适应于运流电流。,导体内任一点的热功率密度,3.1.5,恒定电流场的基本方程,结论：恒定电场是无源无旋场。,积分形式,微分形式,构成方程,由以上结论可引入位函数,：,均匀导体,内部,(,为常数,),，有：,3.1.6,恒定电流场的边界条件,图,3-4,边界条件,说明：分界面上,J,的法向分量连续。,由,得,所以有：,即：,1,2,J,1,J,2,即,或,说明：分界面上,E,的,切向分量连续。,导体分界面上的电荷密度为：,所以有：,由,得,即,或,式中，,J,n,=,J,1n,=,J,2n,当,时，分界面上的面电荷密度为零。,（折射定律）,由,得,若,1,，则,2,0,结论：在理想导体表面上，,和,E,近似,的都垂直于分界面。,区别,例,3-1,设同轴线的内导体半径为,a,外导体的内半径为,b,，,内、外导体间填充电导率为,的导电媒质，如图,3-5,所示，求同轴,线单位长度的漏电电导。,图,3-5,同轴线横截面,漏电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴向方向单位长度（,L,1,）从内导体流向外导体的电流为,I,，,则在媒质内（,a,r,a,),的球面流出的总电流为,I,，则,欧姆定律的微分形式,3.2,磁 感 应 强 度,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为,恒定磁场,。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意,类比法,的应用。,基本要求,深刻理解磁,感应强度,、磁通、磁化、磁场强度的概念。,掌握恒定磁场的基本方程和分界面边界条件。了解磁位及其边值问题。,熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。,一、,安培定律,1,、两个电流元间的相互作用力,图,3-8,安培定律,安培定律的微分形式,安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。,I,1,d,l,1,对,I,2,d,l,2,的,作用力为：,式中：,2,、两个电流环间的相互作用力,在回路,C,1,、,C,2,上分别对上式积分得：,安培定律的积分形式,二、毕奥,萨伐尔定律（,Biot-Savart,Law,）,1,、磁场的定义：,磁力是通过磁场传递的。,电流或磁铁在其周围空间会激发磁场。,磁场对处于其中的运动电荷（电流）或磁体会产生力的作用。,电场力,定义：磁感应强度,力,=,受力电荷,电场强度,力,=,受力电流,磁感应强度,磁场力,单位,T,（,Wb/m,2,）,2,、毕奥,萨伐尔定律,毕奥沙伐定律,适用于无限大均匀媒质,体分布的电流,J,的,磁场,：,面分布的电流,J,s,的磁场,：,3,、磁场力：,电流元在外磁场中受力：,称为洛仑兹力公式。,以速度,v,运动的点电荷,q,，,其在外磁场,B,中受的力：,设在单位体积内载流子数目为,n,，,v,是平均漂移速度，,Q,为每个载流子的电荷，导线的横截面为,da,，则,I,n(,da,v)Q,作用力为：,如果空间还存在外电场,，则电荷,q,受到的力还要加上电场力：,例,3-4,求载流,I,的有限长直导线,(,参见图,3-9),外任一点的磁场。,图,3-9,例,3-4,用图,解,：,取直导线的中心为坐标原点，导线和,z,轴重合，在圆柱坐标中计算。,从对称关系能够看出磁场与坐标,无关。不失一般性，将场点取在,=0,，,即场点坐标为,(,r,0,z,),，,源点坐标为,(0,，,0,，,z,),。,所以,式中：,对于无限长直导线,(,l,),，,1,=/2,2,=-/2,，,其产生的磁场为,3.3,恒定磁场的基本方程,3.3.1,磁通连续性原理（恒定磁场的,散度,）,1,、磁通量：指磁感应强度在有向曲面上的通量。简称磁通。,如,S,是一个闭曲面，则,单位：,Wb,2,、磁通连续性原理：,由,对场点有：,所以：,P,由矢量恒定式,得：,由梯度场重要性质,可得：,（积分式）,使用散度定理得：,（,微分式）,关于恒定磁场散度的讨论,:,恒定磁场的散度处处为零，说明 恒定磁场是无源,场，不存在磁力线的扩散源和汇集源。,由磁通的连续性定律可知：磁力线是连续的。,恒定磁场的散度恒为零，联系旋度场的重要性质：,可推知,:,磁感应强度矢量,B,可用,一矢量函数,的旋度来表示。,3.2.2,安培环路定律（恒定磁场的,旋度,）,以下内容为研究在,C,产生的恒定磁场中沿闭合曲线,C,上的,B,的环量：,沿积分路径,C,向左移动,dl,相当于,C,向右移动,-dl,P,P,P,(,C,和,C,相交链,),(,C,和,C,不交链,),穿过积分回路,C,的电流是几个电流时：,根据斯托克斯定理，可以导出安培环路定律的微分形式：,积分式,由于,（,P48 3.2,）,所以,因积分区域,S,是任意的，因而有,（微分式）,对恒定磁场旋度的讨论：,恒定磁场是有旋场，电流为磁场的旋涡源。,安培环路定律中，电流为回路,C,所围电流的代数和。,C,C,C,和,C,相交链,I,空间任意点磁场的旋度只与该点电流密度有关,小结：,无源场，磁力线无头无尾且不相交。,有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路。,图,3.2.5,一对反向电流传输线,图,3.2.6,一对同向电流传输线,图,3.2.7,两对反相电流传输线,图,3.2.8,两对反向电流传输线,例,3-5,半径为,a,的无限长直导线，载有电流,I,，,计算导体内、外的磁感应强度。,解,:,在圆柱坐标系中计算，取导体中轴线和,z,轴重合，由对称性可知，磁场与,z,和,无关，只是,r,的函数，且只有,分量，即磁场是圆心在,z,轴上的圆。沿磁感应线取半径为,r,的积分路径,C,，依安培环路定律得,在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，,a,r,z,当,r,a,时，包围电流为,Ir,2,/,a,2,。,所以当,r,a,时,，,a,r,z,写成矢量形式为,当,r,a,时，积分回路包围的电流为,I,；,a,r,z,3.4,矢 量 磁 位,式中：,A,称为恒定磁场的,矢量磁位,。,一、矢 量 磁 位的引入,引入矢量磁位的意义,：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题。,二、库仑规范,要求：,B,与,A,间满足一一对应关系。,矢量位,A,不是唯一确定的，它加上任意一个标量,的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即：,1,、矢量位的任意性,若：则对于 有：,而：,上式表明：,A,和,A,具有不同的散度，这意味着满足条件 的,A,有无限多个。,2,、库仑规范条件,必须引入新的限定条件，对,A,取值,进行限定。这种新引入的限定条件称为,规范条件,。,由亥姆霍兹定律可知，矢量场的性质由其,散度,和,旋度,决定，对于矢量磁位函数,A,，,其旋度值已确定（等于,B,），,必须要引入限定条件对其散度值进行限定。,在恒定磁场中，一般采取,库仑规范,条件，即令：,注意：规范条件是人为引入的限定条件。,三、矢量磁位的解,使用矢量恒等式,（磁矢位的泊松方程）,对无源区,(,J,=0,),，,磁矢位满足,矢量拉普拉斯方程,，即：,设在直角坐标系中，有,将,磁矢位的泊松方程,展开,这样可得各分量方程,对照静电场中的泊松方程的解：,2.3,旋度,面电流的磁矢量位：,写成矢量的形式为：,线电流的磁矢量位：,上面的公式中，均假定电流分布在有限区域，磁矢位的,零点取在无穷远处,。,磁通的计算也可以通过磁矢位表示：,对矢量磁位的说明：,矢量磁位,A,的方向与电流,J,的方向相同。,引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。,例,3-6,求长度为,l,的载流直导线的磁矢位。,图,3-11,直导线磁矢位,解,:,当,lz,时，有,上式中，若再取,lr,则有,当电流分布在,无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，,就可以使磁矢位不为无穷大。,当指定,r,=,r,0,处为磁矢位的零点时，可以得出,从上式，用圆柱坐标的