《量子散射理论》PPT课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011/12/27,#,单击此处编辑母版标题样式,量子散射理论,一、量子散射理论的,引入,1,、散射的经典力学描述：,设一束粒子，以稳定的入射流密度（单位时间穿过单位面积的粒子数）,入射。由于散射作用，入射粒子沿不同方向出射。设在单位时间内有,个粒子沿,方向的立体角,出射。显然,，定义,，即,称为,散射截面,，,描述散射粒子沿不用角度,的分布,，对角度积分后可以得到,总截面,量子散射理论的引入,2,、,散射,的量子力学描述（弹性散射,）,：,散射作用以定域势,表示。设,具有一定的,力程,为短程势，即,在,时，比,更快地趋于零,。实际的入射粒子束都有一定的宽度,和长度,。它们相对于入射粒子波长,和力程,相比是很大的，即,，在这种情况下，可以将入射粒子束的波包简化为一个,平面波,对于上述相互作用只依赖于入射粒子和靶粒子相对坐标的作用势。这样的两体问题在质心坐标系中可以,化为一个质量为,m,（,m,为约化质量）的粒子在固定势场,中被散射的问题,。证明如下：,在质心坐标系中,量子散射理论的引入,上述方程可,分离变量化为质心运动和相对运动两部分,，即,其中第二式即为所求。,对于平面波入射，如果相互作用为一个中心势,，则在散射过程中,角动量守恒,（,动量,不,守恒，能量守恒,）,，,当,时，散射波的形式为,，即,往外出射的球面波，,称为散射波幅，量纲为长度，是,的函数，不依赖于,角,。,量子散射理论的引入,证明如下：,中心力场中的粒子，,能量,E,和轨道角动量,均为守恒量，由于入射粒子用,描述，这是,具有一定能量,和角动量,z,分量,（或磁量子数,）的态,，具有绕,z,轴的旋转对称性，在,散射过程中，这种对称性并不被破坏,，即波函数保持在能量为,和,的本征态。采用,为守恒量完全集,，则散射波一般形式为,。其中,为径向波函数。,若令,，则,当,具有有限力程，当,时,量子散射理论的引入,它的两个解可取为,，,取,出射,波,条件，即,。因此，散射波的渐近形式为,，考虑到,的完备性，此式可表示为,，其中,为,的任意规则函数，可以用,展开，但,不依赖于,（因为,）,。,这样在中心力场,作用下，波函数在,时的渐近行为为,为入射波，,为出射球面波,在上述波函数的渐近形式下，,入射,粒,子,流密度为,，而,散射,粒,子,流（径向）：,因此在,方向的立体角元,中单位时间的出射粒子数为,这就是,散射截面与散射波幅的关系,。,二、,定态,散射理论,1,、,弹性散射,的严格,解,量子力学中两个粒子（不考虑自旋）的碰撞，在质心坐标系中可以化为一个质量为,m,（,m,是粒子的约化质量）的粒子在固定势场,中被散射的问题。,写出,描写粒子运动的薛定谔方程,对于弹性散射，粒子的能量保持不变，故有,:,又记,，则可将薛定谔方程化为：,其中,，,叫做波矢，方向沿入射平面波方向，其绝对值,k,称为波数。,假设,在,时比,更快地趋于零，即所谓的短程势,，则可设上述方程的特解的渐近行为：,弹性散射的严格解,其中第一项为,入射平面波,，第二项为,出射球面波,。,但是上述方程也可以用另外一种方法求解，即把右端形式地看成一个非齐次项而用,Green,函数方法写出方程的形式解如下：,其中,为入射平面波，而,为散射的自由,Green,函数,，它们分别满足下列方程,弹性散射的严格解,其中,满足如下的正交完备性：,这样我们就将原来的,微分方程,（加边界条件）,化为,等价的,积分方程,，这个积分方程称为,Lippmann-Schwinger(L-S,),方程,。,L-S,方程中关键是,Green,函数，下面分析之：,Green,函数作为（无界空间）点源影响函数（基本解），是以,函数为非齐次项的最简单的非齐次方程的解，将,函数展开：,相应地将,作,Fouier,展开,弹性散射的严格解,代回,满足的微分方程，可以得到,被积函数,有两个极点，计算积分时需要注意。,首先在上式中记,，并且取,为对,积分的极轴方向，则,的球坐标表示为,弹性散射的严格解,其中：,上面做了两件事情：,1,.,通过变量代换将积分区间从,扩展到,；,2,.,通过,解析延拓，将被积函数拓展到,的复平面,，进一步计算需要采用,留数定理,：,围,道积分,弹性散射的严格解,通过围道积分与留数定理给出：,代回,上面过程也可以作如下等效计算：,将两个极点增加一个小的虚部,，其中,为大于,0,的小数，则当,时,给出与上面相同的,，但好处是可以直接作围道积分,。,进一步,写出自由,Green,函数的算符形式：,这是一个,Green,函数的普遍定义式，若回到我们上面的问题，则需要乘上一个系数,，并且令,和,弹性散射的严格解,Q1,：,试证明这种情况下，,在位形空间中的矩阵元就是,A1,：,在位形空间：插入,已知,而,从而推得上式,。,求得,Green,函数之后，我们就可以进一步求解严格的跃迁矩阵元。,弹性散射的严格解,当取正确的出射波边界条件后，,Lippmann-Schwinger,方程可写为：,这个方程的算符记法为：,对应,于超前格林函数，,表示含会聚球面波的态。,我们现在研究当,时，,L-S,方程的渐近行为,其中,为,方向的单位矢量，即被,散射后粒子的运动方向,，记,为末态动量，当假设,是个短程势时，我们有：,弹性散射的严格解,其中,就是前面定义的散射,振幅,。,定义跃迁矩阵元,而微分散射截面,上式定义了,T,算符,弹性散射的严格解,其中,为波算符也,称,摩勒,算符,，,T,算符在散射理论中也很重要，可以推出,反复选代可以得到,进一步,还可以证明：,与,之间满足,Dyson,方程,：,对于我们这里研究的问题，,为下列非齐次方程的解,它的算符形式,为,弹性散射的严格解,Lippmann-Schwinger,方程：,而由,，,可以,推出,或者记为：,。,此,之谓,Dyson,方程,。,反复选代之，可以得到：,Born,近似,对于散射问题，除了个别特殊的势（如方势阱、库仑势）外，我们无法得到精确的解析形式的解，需要借助于各种近似方法，如,Born,近似,、,分波法,等。,如果用逐级选代法求解,L-S,方程：,可以,得到,的各级近似解如下：,Born,近似,将其代入,其中：,如果记：,然后利用,的积分表示，可以得到,Born,近似,如果只算到,，就称为一级,Born,近似，而若算到,项就称为,n,级,Born,近似。,Born,近似的费曼图如下：,说明：,外势场,V,位于图形的每一个内部顶点上，表示粒子每被势场,V,作用一次，它的动量就改变一次。,Born,近似算到,n,级，,V,的作用就有,n,次。,Born,近似,在,被势场,V,相继散射两次的中间，粒子处于自由运动状态，此时出现的自由,Green,函数,是一个简单的数，也被称为传播子。,在振幅,一项中，共包含,和,这,个动量，,除始末两个动量,之外，其余,个内动量,都要积分,。,由此可见，介于两次散射之间的中间态是“,虚态,”，虚态粒子运动的能量与原始能量相差,可以很大，相应地存在时间,极短，符合测不准关系,，,最后末态能量保持与初态相等,，这是我们在质心系讨论弹性散射时应该有的结果。,下面用一实例演示,Born,近似下实际问题的处理过程。,Born,近似,例：,汤川势中弹性散射的一级,Born,近似,汤川势（屏蔽库仑势）：,其中,是势的强度,，,表征势场的力程长短,只,与有关而与方向无关,作一级,Born,近似：,Born,近似,其中,表示（质心系中的）入射粒子的动量改变值,（弹性散射中的动量转移），在对,积分时取,为极轴方向，用球坐标,，而,与,的夹角为,，则,的大小等于,一级,Born,近似下的微分散射截面为：,总截面：,三、分波法,1,、分波展开和相移,对于中心力场,，薛定谔方程可以在,球坐标下分离变量,，问题完全归结为讨论径向方程的解，它比较容易解析地或数值地求解，而同实验联系的弹性散射截面完全只由径向解的渐近行为所得出,的,相移,数值,来决定。,球坐标下，中心力场,的精确解可写为,其中,是球谐函数,，而波函数的径向部分,则满足如下方程：,引进径向波函数,它满足方程：,其中,，还可以引进无量纲变量,分波展开和相移,下面先给出,时的解,这个方程就是,球,Bessel,方程,，它有两个线性无关解，一个是,球,Bessel,函数,：,其中,为,阶,Bessel,函数,。另一个解是,球,Neumann,函数,：,当,为实数时，,和,都是实函数，但前者在原点,时解析而后者在,时有奇异性,，它们的前几个表达式（,）和渐近行为如下：,分波展开和相移,分波展开和相移,我们还可以引进两个互为复共扼的,球,Hankel,函数,：,它们与因子,乘在一起后分别描写,V,=0,情况下的,球面出射波和（会聚）入射波,，然而,的无奇异性要求限定它们只能以确定的线性组合形式出现，就是叠加起来得到,。如果我们利用平面波展开式,其中,是,阶,Legendre,多项式，上式还取定了,沿,轴方向，如果放开这一条件，设,沿单位矢量,方向，,则平面波展开式应该是如下的形式（,Rayleigh,展开式）,分波展开和相移,现在讨论,的情形，假定,有如下的性质：,上面（,1,）式表示,在远处比,更快地趋于零，即是一个,短程势,；（,2,）式表示,在原点的奇异性弱于,，即是一个“,非奇异性势,”。,在上述条件下，径向方程的解虽然在近距离处可能很复杂，但在原点必定满足边界条件,原因是,必定是有界的,。同时，在无限远处,必定有如下的渐近行为：,其中,称为,分波的相移,，是弹性散射理论中一个重要的物理量。下面对上式进行证明：,分波展开和相移,我们已知在势场范围,之外，出射波为球面波，径向方程即为上面对应,的,Bessel,球方程，也就是说，方程的解可以写为：,其中,然后利用,时，,和,的渐近行为，并且令,就可以得到,证明完毕后，我们把此结果代入初始的,分波展开和相移,而,另一方面，我们在前面的弹性散射理论中已经得到,现在要求二者一致，利用,，所以只要选,就可以使二者一致，而且可以定出散射振幅,弹性散射,截面完全只由径向解的渐近行为所得出的相移数值来决定。,2,、截面,和光学定理,上面给出了散射振幅同相移的依赖关系，由此可以得到,微分散射截面,的表达式,可以看到，各分波对微分散射截面是,相干叠加,的，但如果我们对,积分，求得散射总截面时：,证明时需要用到,:Legendre,多项式的正交关系：,我们看到，,各分波对散射总截面的贡献是不相干地叠加,。,截面,和光学定理,另外，还可以看到，每一个分波对散射截面的贡献有一个上限,近似地说，如果势场的力程为,a,，则只有,的分波才能对散射有贡献，这是因为,越大的分波所描述的粒子距力心的平均距离就越大，因而受到中心力场的影响就越小,。特别,地说，如果粒子能量很低，,，则只有,的波受到势场散射，此时的散射总截面：,光学,原理,：当取,中的,，我们得到,截面和光学定理,取此式的虚部：,与,比较,:,即可得到,这就是光学原理。它把弹性散射的前向,散射振幅的虚部与散射总截面联系起来，即,一个方向的散射幅包含了向一切方向散射总几率的信息。,这来源于量子力学中粒子的波动性和散射中几率守恒。有意思的是，,光学原理对非弹性散射也是成立的,。,3,、相移,的计算,我们回到势场范围,之处，径向方程的解,注意其中的归一化系数,的选取有一定的任意性，现选它为,1,，则,从径向方程出发：,对于,，写出方程,相移的计算,同样地，,在,处是有同,同样的渐近行为，不过,我们可以定义一个,Wronskian,行列式,对,从,积分，利用,，以及,时的渐近行为，我们有,现在取,，则,相移的计算,上式在形式上是严格的，但由于积分号下隐含着相移，并不能严格求解，我们只能用它作近似计算。如果简单略去第二式的第二项，就得到相移的,一级,Born,近似值,当,很小时，取近似,，,则由散射振幅公式给出：,相移的计算,利用公式,这与中心势场中的一级,Born,近似符合。,由此可见