(精品)第6章一阶电路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 一阶电路,本章主要内容：,2,、,RC,、,RL,电路的,零输入响应,；,3,、,RC,、,RL,电路的,零状态响应,；,4,、一阶电路的,全响应,；暂态与稳态,；,5,、一阶电路的,三要素法,；,6,、阶跃函数和阶跃响应；子区间,分析法。,1,、动态电路的分解与等效；,引言,一、什么叫一阶电路？,2,）用一阶微分方程描述其变量的电路。,1,）只含一个动态元件,(C,、,L),的电路。,二、如何分析一阶电路？,电路变量依旧受到两类约束：,元件约束,拓扑约束,但有变化：动态元件的,VAR,为微积分方程。,6-1,分解的方法在动态电路分析中的应用,一、把,一阶,电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：,其中,N,为一般的线性含源单口网络。而,N,可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图（,b,）。,这样一阶电路的分析问题，转化为图（,b,）,RC,或,RL,电路的分析问题。,二、,RC,电路的分析,这是常系数非齐次一阶微分方程。,RC,电路的分析归结为该方程的求解。,代入,:,1,、布列微分方程,2,、一阶微分方程的求解：,1,）,齐次方程,通解：,2,）,非,齐次方程,特解：,W=Q,常数,*,3,）,K,确定：,常系数非齐次一阶微分方程,由初始条件解出,K,完全解为,：,特解的形式：,3,、以,RC,电路为例，了解微分方程的求解,初始条件代入（,2,）：,对于,RL,电路，则有,三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。,这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。,四、小结,利用分解方法分析一阶电路的方法：,把电路分解为一个动态元件和一个单口网络；,把单口网络化为最简单的形式，得到,RC,或,RL,电路；,布列,RC,或,RL,电路的微分方程，解出状态变,量；,用电压源或电流源置换动态元件，得到纯电,阻电路；,分析纯电阻电路，求解余下变量。,以上方法可以处理所有一阶电路。,6,3,一阶电路的零输入响应,一、,RC,电路的零输入响应,（输入为零）,电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。,图,(a),所示电路，开关原来在,1,端，电容电压已,经达到,U,0,，在,t,=0,时开关由,1,端转换到,2,端，如图,(b),求：,u,C,(t,),；,i,C,(t,),t,0,t,0,充电,t=0,换路,t0,放电,1.,定性分析,建立图,(b),电路的一阶微分方程,其解为：,根据初始条件,齐次方程,通解：,2.,定量分析,最后得到电路的零输入响应为,:,u,C,(0,+,),0,2,3,4,u,C,(t,),t(s),t(s),O,2,3,4,i,C,(t,),电流可以跃变,U,0,0,2,3,4,u,C,(t,),t(s),t,0,2,3,4,5,u,c,(,t,),U,0,0.368,U,0,0.135,U,0,0.050,U,0,0.018,U,0,0.007,U,0,0,以 为例，说明电压,的变化与时间常数的关系。,当,t,=0,时，,u,C,(0)=,U,0,，当,t,=,时，,u,C,(,)=0.368,U,0,由于波形衰减很快，实际上只要经过,4,5,的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义,4,为稳定时间,。,0.368,U,0,换 路,：电路由电源接入或断开，元件参,数或电路结构突然改变。,过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳,定状态过渡的过程。,时间常数：,=,RC,它决定了,u,C,衰减的快慢,大，表示衰减的慢,;,小，表示衰减的快。,换路定律：,由以上分析得出的概念及结论：,二、,RL,电路的零输入响应,如图,a),，,求,i,L,(t,),u,L,(t,),t,0,。,解：,1.,定性分析,t,0,储磁场能,t=0,换路,t0,衰减到零,列出,KCL,方程，得到微分方程,通解为,代入初始条件,i,L,(0,+,)=,I,0,求得,最后得到,三、结论：,RC,电路（或,RL,电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。,2,表达式：,X(0,+,),初始值,时间常数,二者零输入响应、时间常数具有对偶性。,=,R,o,C,=,G,o,L,=L/R,o,注意这里的,R,o,和,G,o,为等效电阻,例,1,：电路如图,(a),所示，已知电容电压,u,C,(0,-,)=6V,。,t,=0,闭合开关，求,t,0,时,u,C,(,t,),、,i,C,(,t,),、,i,R,(,t,),。,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为,电阻中的电流,i,R,(,t,),，可以用与,i,C,(,t,),同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得,i,R,(,t,),例,2,：,3,6,2,i,1,u,C,+,_,100,F,已知,u,C,(0,+,)=18V,求：,u,C,(t),i,1,(t),t,0,例,3,：,3,1,i,u,+,_,4 H,0.5u,已知,i,(0,+,)=2A,求：,i,(t),u(t),t,0,利用外接元件法求,R,o,6,3,一阶电路的零状态响应,一、,RC,电路的零状态响应,C,R,t=0,+,_,u,C,(t,),+,_,U,S,i(t),已知：,u,C,(0,)=0,，,求,u,C,(t,),i,(t),t,0,。,零状态响应,:,电路中动态元件的,初始状态为零,，,电路只在,外加激励作用下,产生的响应。,+,+,_,_,U,S,u,C,(t,),R,i,C,(t,),解：,1,、,布列微分方程：,2,、,解微分方程：,1,）,u,C,(,t,),的零状态响应是从零,按,指数规律,上升到它的稳态值,u,C,(,);,t,u,C,(,),u,C,(,t,),O,2,）当,t4,u,C,(,)=Us,是,电容,C,开路时,u,C,的值,。,表示为,i,C,=0,，,3,、分析：,u,C,(0,)=0,Us,4,4,、求电容电流：,解,一：,解,二：,t,O,i,C,RC,+,+,_,_,U,S,u,C,(t,),R,i,C,(t,),二、,RL,电路的零状态响应,I,S,t=0,L,+,_,u,L,R,i,R,i,L,已知：,i,L,(0_)=0,，,求,i,L,(t,),u,L,(t,),t,0,R,L,+,_,u,L,i,L,i,R,I,S,2,、,解微分方程：,解：、布列微分方程：,1,）,i,L,的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值,i,L,(,),。,当,t,4,，,i,L,（,t,）,接近稳态值。,i,L,(,)=,I,S,是电感短路时的值。,t,i,L,(,),i,L,I,S,2,）,i,L,零状态响应的快慢，取决于电路的时间,常数,（,=L/R,）。,越小，,上升,越快。,3,、,分析：,4,解,一：,解,二：,t,O,u,L,RI,S,4,、,求电感电压：,R,L,+,_,u,L,i,L,i,R,I,S,三、结论：,1,、,u,C,(,t,),和,i,L,(t,),的零状态响应是从零按指数,规律上升到它的稳态,u,c,(,),和,i,L,(,),；,i,C,(,t,),和,u,L,(t,),是按指数规律衰减到零。,X(),稳态值,;,时间常数,3,、非状态变量：,i,C,(,t,),和,u,L,(t,),。,求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。,2,、状态变量：,例,1,电路如图,(a),，,已知,u,C,(0,-,)=0,。,t,=0,打开开关，,求：,t,0,的,u,C,(,t,),，,i,C,(,t,),及电阻电流,i,1,(,t,),。,解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图,(b),电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得,根据图（,a,）,所示电路，用,KCL,方程得到,t(s),i,C,(,A),2,3,4,O,0.4,t(s),u,C,(,V,),120,2,3,4,O,例,2,电路如图,(a),所示，已知电感电流,i,L,(0,-,)=0,。,t,=0,闭合开关，求：,t,0,的,i,L,(,t,),，,u,L,(t,),，,i,(,t),。,解：电感电流不能跃变，即,将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图,(c),6,4,线性动态电路的叠加定理,一、,RC,电路的完全响应：,由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为完全响应。,例：已知电路如图,(a),所示，,u,C,(0,-,)=,U,0,，,t,=0,时开关倒向,2,端。求：,u,C,(t,),t,0,。,以电容电压,u,C,(,t,),为变量，列出图,(b),电路微分方程,其解为,代入初始条件,求得,于是得到电容电压表达式：,第一项是对应微分方程的通解,u,Ch,(,t,),，,称为电路的固有响应或自由响应。,将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为,暂态响应,。,第二项是微分方程的特解,u,Cp,(,t,),，,其变化规律与输入相同，称为强制响应。,当,t,时,u,C,(,t,)=,u,Cp,(,t,),也称为,稳态响应,。,固有响应：与输入无关，由电路本身决定。,暂态响应：在过渡过程,(0-4,),的响应。,强制响应：与外加激励有关。,稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。,t,u,C,(0,+,),U,S,U,S,u,C,(0,+,),全响应,注意,线性动态电路中任一支路电压或电流的,完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,零输入响应,+,零状态响应,全,响应,=,二、线性动态电路的叠加定理,：,u,C,(0,+,),t,2,3,4,O,u,C,U,S,三、完全响应的三种分解方式：,1.,完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,线性动态电路的叠加定理说明：,2.,完全响应,=,暂态响应,+,稳态响应,3.,完全响应（完全解）,=,通解,+,特解,1,）适用于任意线性动态电路,2,）电路中储能元件的等效叠加,四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电路叠加定理的关系,若,把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态电路叠加定理与线性电阻定理叠加定理是一致的。,线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。,例,1,下图所示电路原来处于稳定状态。,t=,0,时开关断开，求,t,0,的电感电流,i,L,(,t,),和电感电压,u,L,(,t,),。,i,L,(0,+,)=0.25A,解法一：在,t,0,时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图,(b),所示电路，该电路的微分方程为,其全解为,式中,代入上式得到,代入初始条件,其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过,(4,5),的时间，即经过,(8,10)ms,的过渡时期，就达到了稳态。,于是,可以得到,解法二：电感电流,i,L,(,t,),的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流,i,L,(,t,),的零输入响应为,电感电流,i,L,(,t,),的,零状态响应为,i,L,(,t,),的,全响应为零输入响应与零状态响应之和,电感电压的全响应可以利用电感元件的,VCR,方程求得,例,2,电路如下图,(a),所示。已知,u,C,(0,-,)=4V,，,u,S,(,t,)=(2+e,-2,t,)V,，,求电容电压,u,C,(,t,),的全响应。,解：将全响应分解为,(,零输入响应,),(2V,电压源引起的零状 态响应,),(e,-2,t,电压源引起的零状态响应,),。现在分别计 算响应的几个分量然后相加得到全响应。,首先列出图,(a),电路的微分方程和初始条件,1.,求电路的零输入响应,见图,(b),电路,求得,列出齐次微分方程和初始条件,2.,