(精品)三维图形变换

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,章 三维图形变换,1,6.2,几何变换,6.2.1,二维几何变换,6.2.2,三维几何变换,2,6.2.2,三维几何变换,1.,平移变换,2.,缩放变换,3.,旋转变换,4.,变形变换,5.,对称变换,3,1.,平移变换,每个三维点,(x,y,z),对应于一个齐次坐标,x,y,z,1,。,所有的三维变换都可通过乘以一个,44,的变换矩阵来进行。,平移变换点,(x,y,z),沿,x,轴方向平移,T,x,距离，沿,y,轴方向平移,T,y,距离，,沿,z,轴方向平移,T,z,距离，变成点,(x,y,z),，,这一变换过程的变换矩阵为,:,T,x,T,z,T,y,4,2.,缩放变换,设一个点沿,x,，,y,，,z,轴缩放的比例分别为,S,x,，,S,y,，,S,z,，则缩放变换矩阵可表示为：,当,|,S,x,|,|S,y,|,|S,z,|,分别大于,1,时，为物体的放大；小于,1,时，为缩小变换；,当,|,S,x,|,|S,y,|,|S,z,|,皆等于,1,时，即为恒等变换；,当,S,x,，,S,y,，,S,z,分别小于,0,时，作相应坐标平面的镜面变换。,5,3.,旋转变换,绕坐标轴旋转,绕,X,轴变换,空间上的立体绕,X,轴旋转时，立体上各点的,X,坐标不变，只是,Y,、,Z,坐标发生相应的变化。,y,o,(,y,z,),(y,z),z,x=x,y=,cos(+,)=y*,cos,-z*sin,z=sin(+)=y*,sin+z,*,cos,(,x,y,z,),(,x,y,z,),x,y,z,6,3.,旋转变换,绕坐标轴旋转,绕,Y,轴旋转,此时，,Y,坐标不变，,X,，,Z,坐标相应变化。,x,o,z,x=,sin(+,)=x*,cos,+z*,sin,y=y,z=,cos(+,)=z*,cos,-x*,sin,x,y,z,(,x,y,z,),(,x,y,z,),7,3.,旋转变换,绕坐标轴旋转,绕,Z,轴旋转,此时，,Z,坐标不变，,X,，,Y,坐标相应变化。,x,y,o,(,x,y,z,),(,x,y,z,),x=,cos(+,)=x*,cos,-y*,sin,y=,sin,(,+,)=x*,sin,+y*,cos,z=z,x,z,y,8,绕,x,轴旋转：,绕,y,轴旋转：,绕,z,轴旋转：,3.,旋转变换,绕坐标轴旋转,9,3.,旋转变换,旋转的方向,旋转角度为,时，点的旋转方向：,旋转轴 相应的旋转方向,x,轴从,y,轴到,z,轴,y,轴从,z,轴到,x,轴,z,轴,从,x,轴到,y,轴,这样定义旋转方向的原因是为了保证所用的旋转矩阵是相同的。,z,x,y,10,3.,旋转变换,绕任意轴旋转,求绕任意直线旋转的矩阵的原则：,任意变换的问题 基本几何变换的组合,饶任意直线旋转的问题 绕坐标轴旋转的组合,11,绕任意轴旋转,点,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,y,x,z,P,2,y,x,z,P,1,P,2,z,y,x,P,2,P,1,P,2,z,y,x,P,2,(a,b,c),a,b,c,12,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,绕直线,P,1,P,2,旋转,角的过程可分解为下列步骤：,把点,P,1,(x,1,y,1,z,1,),移至原点；,绕,x,轴旋转，使直线与,xoz,平面重合；,绕,y,轴旋转，使直线与,z,轴重合；,绕,z,轴旋转,角；,执行步骤,(3),的逆变换；,执行步骤,(2),的逆变换；,执行步骤,(1),的逆变换；,13,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,步骤,(1),：把点,P,1,(x,1,y,1,z,1,),移至原点，变换矩阵为：,P,1,P,2,z,y,x,P,2,P,1,14,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,步骤,(2),：绕,x,轴旋转，使直线与,xoz,平面重合。可知：,P,2,z,y,x,P,2,(a,b,c),a,b,c,设,d,1,=(b,2,+c,2,),1/2,，,则变换矩阵为,:,15,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,步骤,(3),：绕,y,轴旋转，使直线与,z,轴重合，此刻,P,2,的坐标已变为,P,2,(a,0,d,1,),，可知：,y,x,z,P,2,(a,0,d,1,),令,d,2,=(a,2,+b,2,+c,2,),1/2,，则变换矩阵为,:,16,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,步骤,(4),：绕,z,轴旋转,角，变换矩阵为,:,y,x,z,17,绕任意轴旋转,绕直线,P,1,P,2,旋转,角,步骤,(5),，执行步骤,(3),的逆变换，变换矩阵为,R,y,(-,),；,步骤,(6),，执行步骤,(2),的逆变换，变换矩阵为,R,x,(-),；,步骤,(7),，执行步骤,(1),的逆变换，变换矩阵为,T,3,(x,1,y,1,z,1,),。,综上，绕直线,P,1,P,2,旋转,角的变换矩阵为：,R(,)=T,3,(x,1,y,1,z,1,)R,x,(-),R,y,(-,),R,z,(,),R,y,(,),R,x,()T,3,(-x,1,-y,1,-z,1,),注意：变换的过程有多种选择。如果中间的几个旋转次序变了，则各个矩阵的对应矩阵参数也会不同。,18,4.,变形变换,(,错切变换,),对于过原点的一条直线，如果希望把它变换成另一条不同的过原点的直线，可以通过变形变换来实现。它可以产生变形的效果。例如：一个正方体可通过三维变形变换变成一个平行六面体。,z,x,y,这里只考虑比较简单的情况。把一条不在,xoy,平面上的过原点的直线变换成,z,轴，对应的,z,轴坐标都保持不变。,这样的“,z-,变形”变换可以考虑在,yoz,平面和,xoz,平面上进行组合变形。,19,4.,变形变换,(,错切变换,),对于,yoz,平面上的变形情况，考虑直线,y=-,bz,，则变形后的直线方程为：,对于,xoz,平面上的变形情况，考虑直线,x=-,az,，则变形后的直线方程为：,z,y,y=-,bz,z,x,x=-,az,z,x,y,20,4.,变形变换,(,错切变换,),则,z-,变形变换的矩阵表达式如下：,其中,a,b,参数由直线方程所决定。,设直线上任一点,P(x,1,y,1,z,1,)0,经过,z,变形变换，将变成,P(0,0,z,1,),，,即：,如果该直线位于,x,，,y,平面，则,z,1,=0,，,无法把它变换,成,z,轴。,z,x,y,21,4.,变形变换,(,错切变换,),z,y,x,沿,z,含,x,错切,z,y,x,沿,z,含,y,错切,z,y,x,沿,y,含,x,错切,z,y,x,沿,y,含,z,错切,z,y,x,沿,x,含,y,错切,z,y,x,沿,x,含,z,错切,22,5.,对称变换,关于坐标平面,xoy,的对称变换：,关于其它坐标平面的变换类似。,23,第,6,章 图形变换,6.1,变换的数学基础,6.2,几何变换,6.3,坐标变换,6.4,投影变换,6.5,图形的显示流程,6.6,三维裁剪,24,6.3,坐标变换,6.3.1,坐标系,6.3.2,坐标变换,6.3.3,几何变换和坐标变换的关系,25,6.3.1,坐 标 系,对图形的描述、图形的输入输出都是在坐标系中进行的。,现实的物体具有高度、宽度、和深度。它们可以用三维坐标系的,x,轴、,y,轴和,z,轴来表示。,三维坐标系是一个直角坐标系；坐标系内任何一点可以由一个有序的三元组,(x,y,z),来表示。每个坐标表示该点与坐标原点之间沿相应坐标轴的距离。,z,x,y,x,y,z,26,6.3.1,坐 标 系,在现实世界中，人们通常使用,右手坐标系,表示物体的位置，因此它又经常被称为世界坐标系,(World Coordinate System),。,在计算机图形显示时，一般采用另一种三维坐标系：计 算机的屏幕是一个平面。指定它的左下角为原点，,x,轴正向向右延伸，,y,轴正向向上延伸。另外，定义,z,轴从原点开始，指向屏幕内部，表示深度。这个坐标系称作,左手坐标系,。,z,x,y,x,y,z,27,6.3.1,坐 标 系,世界坐标系,WC(World,Coordinate System),：包括常用的直角坐标系、几何坐标系等各种坐标系，用来直接描述对象。或称为,用户坐标系,UC,(User Coordinate System),，取值范围为整个实数域。,设备坐标系,DC(Device,Coordinate System),：图形的显示是在设备上进行的，在设备上描述图形的坐标系称为设备坐标系,DC(Device,Coordinate System),，取值范围受设备的输入输出的精度以及画面有效范围的限制。屏幕上显示的图形均以其一个像素点单位为量化单位。,28,6.3,坐标变换,6.3.1,坐标系,6.3.2,坐标变换,6.3.3,几何变换和坐标变换的关系,29,6.3.2,坐标变换,同一物体在不同的坐标系中描述时，会有不同的坐标值。在甲坐标系中定义一个物体，那么只要把乙坐标系的坐标轴及坐标原点变换成甲坐标系的坐标轴及坐标原点，就可以在乙坐标系中定义物体了。,y,o,x,P(4,5),y,o,x,(2,4),例,1,：坐标系平移,坐标系,xoy,的原点,o,在坐标系,xoy,的坐标为,(2,4),则从,xoy,到,xoy,的变换矩阵为,T,2,(-2,-4),，,xoy,坐标系中一点,P(4,5),在,xoy,坐标系中的坐标矢量为：,T,2,(-2,-4),4,5,1=2,1,1,30,6.3.2,坐标变换,例,2,：坐标系旋转,xoy,坐标系与,xoy,坐标系原点重合，将,xoy,坐标系逆时针旋转,45,就变成了,xoy,坐标系，则变换矩阵为：,y,x,x,y,o(o),45,。,P,31,6.3.2,坐标变换,例,3,：坐标系复合变换,求变换矩阵为平移矩阵和旋转矩阵的乘积矩阵：,R,2,(/4),T,2,(-2,-4),y,y,o,o,x,x,32,6.3,坐标变换,6.3.1,坐标系,6.3.2,坐标变换,6.3.3,几何变换和坐标变换的关系,33,6.3.3,几何变换和坐标变换的关系,两者的原理及效果是相同的。都是利用变换矩阵来实现对图形的变换。,根据条件的不同，灵活选用几何变换或坐标变换可以简化问题。,几何变换：直观；,坐标变换：便于求解复杂问题。,34,6.3.3,几何变换和坐标变换的关系,前面利用几何变换求解的问题：,绕空间中的直线,P,1,P,2,旋转的问题。,也可以利用坐标变换来实现：,以,P1,点为坐标原点，,P1P2,为,z,轴构建一个直角坐标系。则问题就简化为绕,z,轴旋转的问题。,如何选择,x,轴、,y,轴？,P,1,P,2,z,y,x,35,第,6,章 图形变换,6.1,变换的数学基础,6.2,几何变换,6.3,坐标变换,6.4,投影变换,6.5,图形的显示流程,6.6,三维裁剪,36,6.4,投影变换,6.4.1,概 述,6.4.2,透视投影,6.4.3,平行投影,37,6.4.1,概 述,在二维屏幕上如何表示三维物体？,显示器屏幕、绘图纸等是二维的,显示对象是三维的。,解决方法,？,投影,三维显示设备,要把现实世界的三维物体在计算机的二维屏幕上表示出来，必须经过投影变化这一步骤，把物体从三维表示形式转化为二维表示形式。,A,B,A,B,z,y,A,B,A,B,z,y,38,6.4.1,概 述,根据投影中心,(,COP:Center,of Projection,),与投影平面之间的距离，投影变换可分为平行投影以及透视投影。,投影面,COP,投影线,A,B,A,B,平行投影,投影面,投影线,A,B,A,B,COP,透视投影,39,平面几何投影分类,40,6.4,投影变换,6.4.1,概 述,6.4.2,透视投影,6.4.3,平行投影,41,6.4.2,透视投影,透视投影是一种中心投影法，在日常生