阶电路的瞬态分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 一阶电路的瞬态分析,第一节 概述,电路结构，参数或电源的改变，称为换路。,电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为过渡过程,。,（,1,）,对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变化是,“,立即,”,完成的。,K,闭合 ，,K,打开,（,2,）,对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。,例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容电压从,0,变为 。电容电流,若电容电压能,“,瞬间,”,从,0,升到 ，则必需有,:,电容电压上升需要时间！,例：原来电感,，,K,闭合稳态时,若电感电流,能,“,瞬时,”,从,0,升到,则需一个无穷大端电压。,电感电流上升需要时间！,过渡过程分析方法：,1.,经典法,2.,拉普拉斯变换法,3.,状态变量法,4.,积分法,由,KCL,、,KVL,及元件电压电流关系（）列出电路方程，然后解出微分方程。,例：经典法解过渡过程,一阶微分方程,若,Us(t)=Us,从方程解出电容电压,的一般解,(,一阶微分方程解,),再由初始条件确定各系数。,第二节 换路定则与初始条件,1.,换路法则：（一般情况）,（,1,）电容电压在换路前后的值不变,由,当 ，而 为有限值，则有,（,2,）电感电流在换路前后的值不变,由,当 而 为有限值时，则有 。,例,：图示电路，开关闭合已久。求开,关,打开瞬间,电容电压电流,电感电压电流,，,电阻电压,。,由换路定则，,解：开关闭合时的电容电压,与电感电流,为,利用换路定则计算换路后,瞬间电路状态,等效电路如图，,得：,电感等效于一电流源,因此计算,电路时，电容等效于一电压源,，,例,：,图示电路,，开关闭合已久，,求开关打开瞬间电阻,R,1,上的电流,解：开关闭合时有,开关打开后等效电路如图,由换路定,可,知,：,可以看到：,换路前后瞬间,连续,；,和,和,不连续,。,的导数和,在换路前后都是,不连续的,的导数,因此,：,第三节 一阶电路的零输入响应,零输入响应：当换路后的电路无外加激励源，仅由储能元件的初始储能引起的响应,利用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路,开关合向右边后，电路方程建立：（,KVL,）,得：,电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：,一、,RC,电路零输入响应,特征方程：,RCS,+1=0,一阶线性常系数齐次微分方程,电路方程解：,式中：,为电路时间常数，单位为秒。,由初始条件,得,电容电压响应（变化规律）：,电压波形为,负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反,响应与电源（激励）无关，,又叫,自由响应（,natural response),暂态响应（,transient response,）,零输入响应特点：,（,a,）,零输入响应是初始值的线性函数，满足,齐次性，可加性,U,0,：,KU,0,：,U,01,+,U,02,：,（,b),能量传输,t=0,电容能量：,电阻消耗能量：,电容上的能量完全被电阻消耗掉,反映了电容电压下降为,原值,0.368,时所需时间。,（,c,）,时间常数,（,Time constant,）,反映电路达到稳态所需要的时间,t,0+2 3 4 5 ,u,C,U,0,0.368,U,0,0.135,U,0,0.050,U,0,0.018,U,0,0.007,U,0,0,4,5,时间，电路达到稳定,.,改变电阻会改变电容电压的下降速度,利用,RC,电路可做成简易延时电路,（,d,）时间常数的计算：,确定时间常数需简化电路为,R-C,形式。,电容以外的电路,去掉独立电源后,简化为一个等效电阻。,（无源网络简化）,=,R,eq,C,eq,R,eq,=,R,1,+,R,2,/,R,3,C,eq,=,C,1,/(,C,2,+,C,3,),u,1,(,t,1,)=,u,C,(,t,1,),次切线法,tangent at P,例,1,：,如,图所示为换路后的电路，其中,求零输入响应,解：在外围电路中应用,KVL,，可得,于是,可得等效电阻为,：,时间常数为,：,零输入响应为,：,例,2,：,K,闭合前电路处稳态，,R,1,=1,，,R,2,=2,，,R,3,=3,，,C,1,=1,F,，,C,2,=2,F,，,I,S,=1,A,，,t,=0,时,K,闭合，求,t,0,时,u,C,1,、,u,C,2,、,i,1,、,i,2,、,i,。,C1,R,1,i1,Is,i,i2,R,2,K,R,3,C,2,+,u,C1,-,+,u,C2,-,1,=,R,1,C,1,=1s,，,u,C,1,(0,+,)=,u,C,1,(0,)=5,V,R,1,Is,R,2,R,3,+,u,C1,-,+,u,C2,-,t=0,-,u,C,1,(0,)=(,R,2,+,R,3,),I,S,=5V,，,u,C,2,(0,)=,R,3,I,S,=3,V,C,1,+,u,C,1,-,i,1,R,1,解：,R,=,R,2,/,R,3,=1.2,2,=,RC,2,=2.4s,u,C,2,(0,+,)=,u,C,2,(0,)=3V,C,2,+,u,C,2,-,i,2,R,3,R,2,C,1,R,1,i,1,I,s,i,i,2,R,2,K,R,3,C,2,+,u,C1,-,+,u,C2,-,为时间常数，,初始条件,方程解,由初始条件解得,:,二、,RL,电路的零输入响应,开关合向下后可建立方程：,一阶线性常系数齐次微分方程,指数规律衰减，最终衰减至零,对应的电阻电压,：,电感电压,：,与,RC,电路中的时间常数一样，它反映了过渡过程进程的快慢,（,1,）,RL,电路零输入响应与,RC,电路一样是初始值的线性函数，满足,齐次性，可加性,（,2,）,在整个过渡过程中，电阻上消耗的总能量为,：,电阻上消耗的能量就等于电感,L,上的初始储能,第四节 一阶电路的零状态响应,零状态响应,：,当所有的储能元件均没有初始储能，即电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应,。,电路状态是,指电路储能元件的状态（电压、电流值）。,电路响应由外加激励引起：,零状态响应。,一、直流激励下,RC,串联,电路的零状态响应,电路中电容电压初始值为零,式中,一阶线性常系数,非齐次,微分方程,特解,：,齐次方程的通解,：,全解为,：,强制响应,(,forced response),或稳态响应,(,steady-state response),自由响应或暂态响应（,transient response,）,（,b,）,充电过程电阻耗能：,电容最终储能：,充电过程有一半能量消耗在电阻。,（,a,）零状态响应与电源（激励）成正比,（,c,）,Time constant,=RC,tangent at P,u,1,=,k,(,t,t,1,)+,u,P,4,5,电路达到稳态,解,：,0,t,0,时的,u,C,。,k=,2,i,S,R,1,R,2,C,+,u,C,(1),-,图,(b),i,S,K,R,1,R,2,C,+,u,C,-,t,6s,：,2,=,RC,=2s,二、直流激励下,RL,串联电路的零状态响应,一阶线性常系数,非齐次,微分方程,方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和,特解对应的分量为,强迫分量,，此处的激励是直流电源，强迫分量,即,稳态分量。,通解为,：,例,：,图示电路,t,=0,开关,S,闭合，求零状态响应,：,解：,三、正弦交流激励下,RL,串联电路的零状态响应,激励为正弦交流电压源,：,初始条件仍为,：,设该特解,：,代入微分方程可得：,令,:,有,:,式（,1,）,令,:,式（,1,）,左,边,可改写为,：,则：,特解为,：,全解为,：,从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程比较繁琐,。可采用,后述的“相量法”，简化计算过程。,第五节,一阶电路的全响应和三要素法,由外施激励和储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应,。,全响应即意味着微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。,开关,S,处位置,1,已久,在开关,S,切换后,：,通解为,：,全响应,：,零输入响应,零状态响应,全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,电路全响应,=,通解 特解,=,零输入响应,+,零状态响应,暂态分量,（自由响应）,+,稳态分量,（强制响应）,稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，,暂态分量形式 决定于电路结构参数。,说明：,外施激励为,直流源或者正弦交流电源,时，强迫响应也分别为恒定值或者正弦函数，这时的强迫分量就是稳态分量。,如果激励是一个,指数函数,，例如,e,指数函数时，强迫响应就是一个相同变化规律的指数函数，,此时强迫响应就不能称为稳态分量。,一阶电路的三要素法,（公式法）：,电路响应（解）一般形式,由初始条件,可解出,有：,由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：,（,1,）稳态解；（,2,）初始值；（,3,）时间常数,例,1,求,K,闭合后,解：由三要素公式,得：,已知,例,2,：,求：,K,闭合后 。,的稳态值可用,相量法,求出。,（,a,）,（,b,）时间常数,:,确定时间常数需简化电路为,R-C,形式。,电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效,电阻。（无源网络简化）,故,电容电压：,（,c,）初始值：,例,3:,求,K,闭合后 。,解：,注意：,除电容电压和电感电流外，其它量换路前后一般不相等。,求,：由,时电路状态来计算。,得：,例,4,：如图电路，,R=1,，,C=1F,，,I,S,=1A,，,=0.5,，电路已达稳态。求当突变为,1.5,后的电容电压。,解：用三要素法求解,（,1,）电容电压初始值,（,2,）电容电压稳态值,（,3,）时间常数,(a),(b),图,(b),电路的入端电阻,图,(a),电路的入端电阻,电容电压为,R,例,5,（指数激励），,注意,:,三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。,求,K(t=0,时,),闭合后的,。,，通解,，特解,代入原式,，得,特解为,全解,由,得,有,例,6,如图电路，,已知,Us,=18V,，,=8,，,R,=6,，,L,=0.9H,，,C,=,0.5F,，,i,L,(0,)=,0A,，,u,C,(0,)=0V,，,t,=0,时开关,S,闭合，试求,i,L,(,t,),和,u,C,(,t,),。,解：根据换路定则可得,:,当开关,S,闭合后电路到达稳态时，,在左侧电路中应有,:,在电路右侧部分回路中，由于激励,含有指数函数，此时的电路,强迫响应不是稳态分量,不可以用,利用,KCL:,解此微分方程得,:,【,参见,教材,附录,A】,第六节,一阶电路的阶跃响应,在分析线性电路过渡过程时，基于工程应用,，通常研究,一些典型奇异函数所描述的激励下一阶电路的响应。,奇异函数,是本身不连续、或者有不连续导数与积分的一类函数。,一、阶跃函数,单位阶跃函数,将单位阶跃函数乘以常数,K,，得到阶跃函数,也,称为开关函数,延时的单位阶跃函数,利用阶跃函数和延时阶跃函数，可以表示,矩形脉冲函数,二、阶跃响应,阶跃函数激励的电路，相当于电路在,时刻接通电压值为,K,（,V,）的直流电压源或者电流为,K,（,A,）的直流电流源。,可见,，阶跃响应与直流源激励时电路的响应相同，可以用上节所述的三要素法。,例：,在如图所示,电路中，,电压,分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为,：,和,分别求,该电路的零状态响应,解：,相当于在,时刻接通,10V,的直流电压，应用三要素法，可求出其阶跃响应为,：,仍以,时刻设定计时起点,，,可得,：,该电路的激励延时,，,响应也随之延时,这种电路称为,非时变电路,若电路中的,R,、,L,、,C,、,M,均为常系数，这样的电路都是非时变电路,例,：,在所示电路中，,计算,时,解：,在,3A,电流源作用下的稳态响应为：,时：,三、脉冲序列响应,激励呈现为脉冲序列的特征,一个方波序列信号,电